初中数学复习课的思维转型路径

孙朝仁

摘  要：以“一元二次方程”复习课为例，说明初中数学复习课思维转型的基本路径，包括问题情境的连续性、变式整合的全息性及关联思考的支架性，涉及点动成线、线动成面、面动成体等维度知识体系的建立. 通过对数学复习课思维转型的研究，旨在让学生“好复习”和“复习好”，落地“学好数学”的课程目标.

关键词：思维转型;一元二次方程;复习课;课例研究

一直以来，“概念 + 练习”是初中数学复习课的普遍模式. 学生做得多、想得少，教师批改得多、研究得少，复习效果可想而知. 在努力实现“学好数学”的当下，探讨数学复习课的思维转型就显得非常必要而且十分重要.

本文以苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册（以下统称“教材”）第1章“一元二次方程”的复习课为例，在重组花圃问题、藏书问题、围矩形问题、利润问题、衬衫降价问题等经典问题的条件下，说明思维转型的积极意义和行动路径. 主要包括问题情境的连续性、变式整合的全息性、关联思考的支架性. 落地“学会数学—学好数学”的课程目标.

一、问题情境的连续性，建构“点动成线”的一维知识体系

学生必须理解地学习数学，根据先前的经验和知识，积极建构新知识. 显然，“理解地学习数学”至少要具备两个条件：一是问题情境与学生的认知水平一致;二是问题情境必须贴近学生的生活实际且具有“一意性”（“一意性”指同一个问题情境）. 简单地说，就是要求问题情境的设置要具有连续性特征. 这样才能根据个体先前的知识经验，进行积极有效的新知建构，形成“点动成线”（知识链）的一维知识体系. 例如. 我们研究一次函数，就需要二元一次方程、一元一次方程和一元一次不等式等先前经验提供支持，也就是问题情境的设置需要关注这些知识要素的连续渗透，这样才能建立系统的概念谱系. 问题情境的连续性是复习课与新授课的思维分水岭，能让新知增值、旧知丰富、认知结构外扩.

“一维知识体系”是线性知识体系的替代概念，是由“生活—数学”的常见思维方式，也是数学再抽象的过程，有助于思维的延伸，进而让知识成线、思想连续、经验缓存. 换句话说，问题情境的连续性是将学生的知识结构转化为认知结构的重要载体.

环节1：“连续性”问题情境重组及其变式.

在“一元二次方程”复习课的起始环节，构造连续性问题情境需要做出如下努力：一是对教材问题进行有序重组，落地“用好教材”的目标;二是关注内源变式，形成线性概念体系;三是赋予恰当的“一意性”问题情境，落地有效复习的目标.

具体来说，可以建构以下连续性问题情境.

题目1  如图1，某农场要围成一个矩形南瓜育苗场，一边利用足够长的墙，另外三边用总长为32米的栅栏恰好围成.

（1）试问能围成面积是96平方米的矩形育苗场吗？如果能，说明围的方法;如果不能，说明理由.

（2）能围成面积为130平方米的矩形育苗场吗？

解析：（1）设AB为[x]米，则BC为[32-2x]米. 根据题意，得[x32-2x=96.] 进而可得，当AB的长为12米或者4米时，能围成条件矩形.

同时，教师也可以基于不同角度看问题的能力培養角度，引导学生通过设BC的长为[x]米解决问题.

（2）设AB为[x]米，则BC为[32-2x]米. 根据题意，得[x32-2x=130，] 即[x2-16x+65=0.] 因为[b2-4ac<0，] 所以不能围成条件矩形.

这个问题情境包括两个重组因素：一是花圃问题;二是铁丝围矩形问题. 此题抓住两个问题的共性图形特征——矩形，构造了连续性的问题情境，旨在突出“抽象—建模—解模”的体系化再认知特征，改善重复认知状态，有助于学生形成线性知识体系，为数学复习提供支持.

变式1：如图2，某农场要围成一个矩形南瓜育苗场，一边利用足够长的墙，另外三边用总长为32米的栅栏恰好围成. 农场主想给育苗场BC边打开一个宽1米的门，且使得育苗场的面积为96平方米，试问该怎么围？

解析：设AB为[x]米，则BC为[32-2x+1]米. 根据题意，得[x32-2x+1=96;] 或者设BC为[x]米，则[AB]为[32-x+12]米，根据题意，得[x∙32-x+12=96.]

变式2：如图3，某农场要围成一个矩形南瓜育苗场. 一边利用足够长的墙，另外三边用总长为32米的栅栏恰好围成. 农场主想在育苗场里面修两条宽度为1米的供水道，且使育苗场余下的面积为86.25平方米，试问应该怎样围？

解析：设AB为[x]米，则BC为[32-2x]米. 根据题意，得[x-132-2x-1=86.25;] 或者设[BC]为[x]米，则AB为[32-x2]米. 根据题意，得[x-132-x2-1=86.25.]

综上可知，原问题与变式问题具有内源性思想渊源，突出了问题情境建设的“一意性”和“连续性”思维特征. 变式1的创设，既是一种逆向思考，又是一种补偿思维，有助于培养学生解决实际问题的能力，反映了数学与生活的内部意义;变式2是由教材习题改编而来，在平移变换的参与下，可以调用学生的已有知识经验，发展学生的知识关联能力，促进学生产生线性概念体系. 这是传统的数学变式教育给数学复习课带来的好处.

二、变式整合的全息性，架构“线动成面”的二维知识体系

一直以来，数学变式在传统的数学教育中发挥着重要作用. 然而，很少有人对“变式”内涵的全息性进行系统研究. 事实上，这里的“变式”不仅是简单的外源变式（位置的变化、数量的变化等），而且是全息性内源变式（参数的变化、某些隐性条件的增减等）. 也就是说，要在“变式—整合”的基础上迁移知识、增值经验、增长数学才干. 例如，对于“一元二次方程”的复习，不是“概念 + 练习”，也不是“试卷 + 讲评”，而是要打破教材原有的结构体系变式整合相关问题，建立更高级的思维结构体系，透过“树木”（问题）看到“森林”（知识体系），让学生通过复习能够建立左右关联、上下贯通的概念网络，这就是“线动成面”的二维知识体系.

正如章建跃博士所言，数学育人必须用数学的方式，即学生运用数学的思维和语言进行阅读、运算、推理和表达的方式. 一般来说，数学复习课蕴含更大的育人价值，关键是需要有效的变式整合，不能让学生的思维在原地打转，只有这样才能发挥数学复习课的最大功能.

教之道在于“度”，学之道在于“悟”，复习之道在于“变式 + 整合”. 变式是数学生生不息的思想源头，是“活动—思考”的思维手段;整合是知识迁移的前提，是“线动成面”的思维机制.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“实施建议”中明确指出，要把课堂教学知识置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析、从不同层次进行理解. 这就要求在变式整合过程中，把握好三个层面的教学，包括内源变式、外源变式、“一意性”整合和全息教学. 这样才能增值经验，建立全息性二维知识体系及其目标体系.

环节2：“一意性”问题的整合及其探究.

在“一元二次方程”复习课的中间环节，可以创设基于背景“一意性”的问题. 旨在让学生通过复习，建立“面积问题—增长率问题”的思维关联，落地数学复习课目标.

题目2  某农场2018年的南瓜亩产量为2 000 kg，由于改进了种植技术，农场主预测2020年亩产量将达到2 420 kg.

（1）每年亩产量平均增长的百分率是多少？

（2）按照这样的增长率. 该农场2021年南瓜的亩产量能否达到2 660 kg？试说明理由.

解析：（1）设平均增长率为[x.] 根据题意，得[2 0001+x2=2 420.] 解得增长率为10%.

（2）因为[2 4201+10%=2 662]，所以畝产量能达到2 660 kg.

不难理解，这个问题的设计至少涵盖教材中两个问题因素的变式与整合——藏书问题和利润问题. 将两个背景问题整合为亩产量增长问题，这样变式整合的价值在于让学生的思维产生“育苗场面积问题—南瓜亩产量问题”的关联，体现二维知识体系建立的基本方法，有助于学生复习好数学. 同时，第（2）小题有助学生全息化学习，使得新授课与复习课有了明显的思维落差，有利于发展学生增值经验的能力. 如果说亩产量增长问题的设置是一种以“一意性”问题进行的整合，那么“亩产量能否达到2 660 kg”的问题则是一种综合变式，有助于学生全息认知的发生.

在史宁中看来，数学是一门创造性的、受审美因素支配的学科. 笔者认为，数学创造就是整合变式，审美因素就是对“一意性”的恰当把握. 唯有建立“一意性”的问题块或问题链，方能让复习课从“练习—再练习”走向“思考—再思考”.

三、关联思考的支架性，重构“面动成体”的三维知识体系

关联思考是数学三维知识体系建立的关键. 三维知识体系的建立起于认知需要，成于过程目标和目标过程，终于“面动成体”. 例如，一元二次方程的学习与复习，起于对概念对象的理解与把握，以“会做—会考”为目标. 为了“会做”，适当的支持性练习就是思考支架. 而问题的重组与关联，就是学生在过程目标的指导下，走向目标达成的表现形式，有助于学生在关联中思考，在思考中关联，较好地重构知识技能体系、思想方法体系和基本活动经验体系的“三维知识体系”. 可以说，独立思考、表达思考和关联思考一直是数学课堂教育的实践命题，是数学智慧生长的必经思维路径. 尤其是“关联”与“思考”相遇，在“支架”思维的参与下，数学复习课的思维转型可以预期. 换句话说，“会一题、通一类、连一片”这样三维知识体系的建立，是关联与思考反复作用的结果，是“问题情境—模型抽象—模型讨论与解释—模型拓展与使用”等支架支持的产物，这些行为支架能让学生在最近发展区内，形成结构定向的知识经验及其思想方法，形成隐性的数学智慧，这就是关联思考的最大贡献. 例如. 举例说明就是独立思考的一个支架，举一反三就是关联思考的常见方式，有助于学生的认知结构定向. 在数学复习课“做”与“考”单线思维模式下，“习题练不完、试题考不完、试卷讲不完”的背景下，研究关联思考对数学复习课的思维转型意义重大、影响深远.

文[2]指出，理解是对对象本质的认识，也是内在概念网络的建构. 数学知识之间的相互关联性决定了借助知识的联系. 形成新的知识是理解的重要环节，也是解决问题的基本依据. 这里的关键词“关联”“联系”“理解”突出了关联思考的积极意义. 一是问题情境关联;二是知识结构关联;三是思想方法关联. 这种联系与理解有助于学生在复习过程中将一知半解的问题转化为熟悉的问题，将静态问题转化动态问题，将教育的学术性转化为教育的教育性，这就是数学复习课的有效支架. 是学生“复习好”和“学得更好”的通用技术，是数学复习课的未来. 当然，问题组块的顶层设计，需要依据学生的思维事实和已有经验在最近发展区创设与建设，方能形成不同层面的三维知识体系，促进数学复习课的思维转型. 为此，在关联思考维度下做好以下三个方面的工作，方能“面动成体”：一是情境关联;二是算法关联;三是思考关联. 这些行为关联是数学知识结构转化为认知结构的通途，是构建网络知识体系的一种支架，有助于学生在最近发展区内获得学习效果的最大化.

环节3：“一意性”问题的拓展及其探究.

在“一元二次方程”复习课的最后环节呈现以下问题，有助于学生在关联思考的过程中形成结构性知识体系，落地“学好数学”目标.

题目3  某南瓜批发商以每箱100元价格销售南瓜，平均每天可出售南瓜20箱. 为了扩大销售量，让利顾客，采取降价措施. 市场调研发现，如果每箱降价1元，那么平均每天就可以多销售2箱. 要想平均每天销售6 000元，每箱定价为多少？

解析：设每箱降价[x]元. 根据题意，得[100-x ·][20+2x=6 000.] 可知每箱的定价是50元或60元. 但需要扩大销量，故答案为50元. 如果设每箱南瓜定价为[y]元. 根据题意，得[y20+2100-y=6 000.] 也可知答案是50元.

变式：某南瓜批发商以每箱100元价格销售南瓜，平均每天可出售南瓜20箱. 为了扩大销售量，让利顾客，采取降价措施. 市场调研发现，如果每箱降价1元，那么平均每天就可以多销售2箱. 若每箱南瓜进货价为60元，要想平均每天销售盈利1 200元. 试计算每箱南瓜定价为多少？

解析：设每箱南瓜定价为[a]元. 根据题意，得[a-6020+2100-a=1 200.] 解得南瓜每箱定价为80元或90元时，均可实现每天盈利1 200元. 但需要让利顾客，故南瓜每箱定价为80元.

如果说“育苗场面积问题—南瓜亩产量问题—南瓜批发销售问题”是情境关联，那么“方程关系的建立与求解”就是算法关联，而“多种解法的探讨与确立”则是思考关联的基本思维方式，有助于学生在关联中思考，在思考中关联，形成立体概念产生式系统，落地真正意义上的系统复习，提高复习课的质量.

目前，随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》的颁布及高中新教材的使用，“大单元、大情境、大任务”统领下的单元教学应运而生，旨在做到“情境—任务—知识”合一，发展学生的数学学科核心素养. 笔者认为，本文所提出的“连续性”问题情境设置、“一意性”情境问题的设计，正体现了“大单元、大情境、大任务”的思想. 尤其对于初中数学复习课来说，这种教学设计可以有效避免知识复习的碎片化和孤立化，追求知识复习的条件化和任务化，使得复习课不再是“重复学习”的课，进而成为真正意义上的“深度学习”课.

参考文献：

[1]王丽琳. 应用意识：数学核心素养培养的着力点[J]. 教育与教学研究，2018，32（9）：111-117.

[2]刘咏梅. 吴立宝. 信息技术对促进数学基本思想教育的价值分析[J]. 数学教育学报，2017，26（1）：41-46.