2020年中考“抽样与数据分析”专题命题分析

石树伟 周斌

摘  要：信息时代要求中考加强对“抽样与数据分析”内容的考查，文章依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》梳理了“抽样与数据分析”內容的考点和能力素养要求，以及2020年全国各地区中考统计试题，举例分析“抽样与数据分析”的命题趋势，并针对命题趋势提出了相应的复习建议.

关键词：抽样与数据分析;命题分析;复习建议

数据中蕴含的丰富信息已日益成为信息时代重要的宝藏资源. 为了更好地认识各种自然现象和社会现象，做出正确的判断和决策，人们必须学会利用数据. 数据分析已经成为信息时代每一位公民必备的基本素养，“用数据说话”的数据分析观念已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式. 为了适应时代发展对人才培养的要求，当前中考普遍加强了对统计内容的考查. 笔者就2020年全国各地区中考“抽样与数据分析”试题的命题情况进行如下分析.

一、考点分析

1. 能力素养层面

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）是中考命题的根本依据.《标准》在课程内容中提出了要发展学生的数据分析观念，包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，只要有足够的数据就可能从中发现规律. 数据分析是统计的核心.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》进一步凝练提出数据分析素养，即针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养. 主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识.

从能力素养层面上看，上述观念或素养的主要表现也就是当前中考“抽样与数据分析”内容命题的考点.

2. 知识内容层面

从《标准》对“抽样与数据分析”的具体内容要求来看，本专题中考查的考点分析如表1所示.

二、命题趋势分析

笔者收集了2020年全国各地区中考试卷130余份，对其中的300余道与“抽样与数据分析”内容相关的试题进行梳理分析，发现当前中考统计试题的命题注重在具体实际背景下围绕数据的收集、描述、分析、应用等统计活动过程，以及统计与概率相结合进行命题，考查学生对统计基本概念和原理实际意义的理解和应用，评测学生数据分析素养的养成情况.

1. 数据的收集

数据的收集主要考查具体实际背景下调查方式的选择是否合适、可行，或样本抽取的方式是否具有代表性. 题型以填空题、选择题为主，也有在综合性解答题中考查统计活动的全过程，涉及对数据收集的考查.

（1）考查具体问题情境下调查方式的选择.

调查方式有全面调查（普查）和抽样调查（抽查），各有适用范围. 当前中考命题已基本避免了对概念的记忆考查，而是在具体问题情境下考查学生对调查方式的选择.

例1 （湖南·张家界卷）下列采用的调查方式中，不合适的是（    ）.

（A）了解澧水河的水质，采用抽样调查

（B）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查

（C）了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查

（D）了解某班同学的数学成绩，采用全面调查

【评析】此题考查具体情境下调查方式的选用. 选择全面调查还是抽样调查要根据调查对象的具体特征和实际情况灵活选择. 一般来说，对于调查对象数量不大、人力物力花费不多、容易进行的调查，或精确度要求高、事关重大的调查，往往选用普查;对于具有不可逆转的破坏性的调查、难以进行普查，或普查的意义和价值不大的调查，选择抽样调查.

（2）考查具体问题情境下样本抽取方式是否合适可行.

抽样是否合理决定着调查结果的可靠性. 当前中考命题比较注重考查具体问题情境下样本抽取方式是否合适可行，进而通过分析、应用可靠的调查数据做出推断和决策.

例2 （吉林卷）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查. 将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式. 他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表2、表3和表4.

根据以上材料，回答下列问题.

（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.

（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级[600]名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数.

【评析】此题综合考查了一个统计活动过程的头（数据收集）和尾（做出推断）. 第（1）小题判断哪位学生的抽样调查方式合理，从而确定第（2）小题用来做出推断的数据. 第（1）小题判断正确是第（2）小题做出正确推断的前提.

2. 数据的描述

初中阶段对于数据的描述，要求学生掌握制作有关统计图表的方法，但随着信息技术和人工智能的发展，制作统计图表的工作将逐渐被计算机所替代. 因此，中考中对数据描述和统计图表的制作已经不再是考查的重点，而对于图表的特点和选用、图表制作原理的理解，以及图表信息的提取和运用等逐渐成为考查的重点.

（1）呈现杂乱无章的数据，要求学生通过适当的方法进行整理.

考查数据信息的提取要先呈现数据. 中考试题中数据的呈现方式多样，可以呈现一些原始的、未经整理的数据，要求学生先通过适当的方法整理数据，然后再提取信息，意在让学生经历统计活动的全过程. 囿于考试时间和阅卷，命题实践中较多的让学生经历部分数据的整理过程.

例3 （云南·昆明卷）某鞋店在一周内销售某款女鞋，尺码（单位：cm）数据收集如下：

24，23.5，21.5，23.5，24.5，23，22，23.5，23.5，23，22.5，23.5，23.5，22.5，24，24，22.5，25，23，23，23.5，23，22.5，23，23.5，23.5，23，24，22，22.5.

绘制以下不完整的频数分布表（表5）及频数分布直方图（图1）.

（1）试补全频数分布表和频数分布直方图.

（2）若店主要进货，她最应该关注的是尺码的众数，上面数据的众数为      .

（3）若店主下周对该款女鞋进货120双，尺码在[23.5≤x<25.5]范围的鞋应购进约多少双？

【评析】此题提供了一组杂乱无序的数据，需要学生先参与数据整理的过程，然后再分析数据、提取信息，应用统计分析的结果解决实际问题.

（2）呈现数据整理的结果，要求学生阅读图表提取信息.

现代信息社会，人们会通过各种媒介得到一些统计图表，这就要求我们能阅读图表提取信息. 因此，中考统计试题可以呈现初步整理数据的结果或比较规范的图表，要求学生读懂图表，并做出推断和决策.

例4 （江苏·南京卷）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置. 根据国家统计局发布的数据，2012 — 2019年年末全国农村贫困人口的情况如图2所示.

根据图中提供的信息，下列说法错误的是（    ）.

（A）2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人

（B）2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9 000万人

（C）2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1 000万人以上

（D）为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口任务

例5 （浙江·嘉兴卷）小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区A，B，C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如图3、图4、图5所示.

根据上述三个统计图，请解答：

（1）2014—2019年三种品牌电视机销售总量最多的品牌是      ，月平均销售量最稳定的品牌是       .

（2）2019年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？

（3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由.

【评析】例4和例5都是通过呈现整理好的统计图表，让学生从中提取信息做出判断和决策，考查学生适应未来生活所应具备的信息素养.

（3）呈现不完整的图表，要求学生提取信息补全图表.

统计图表的制作费时费力，中考试题为考查学生图表制作的原理和技能，可以呈现几幅还需继续完善的统计图表，要求学生提取信息，完善尚不完整的图表. 这样既考查了学生绘制图表的能力和对图表制作原理的理解，又克服了考试时间和阅卷的限制，这是考查学生统计图表制作技能较为可行的办法，但存在的不足就是部分试题情境不够真实自然，人为拼凑的痕迹严重.

例6 （江苏·扬州卷）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手. 为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图6和图7所示的两幅尚不完整的统计图.

根据以上信息，回答下列问题.

（1）本次调查的样本容量是      ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角度数为      .

（2）补全条形统计图.

（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2 000名学生，试估计该校需要培训的学生人数.

【评析】此题需要学生对比阅读两幅统计图，提取信息完善统计图，通过补全统计图考查学生统计图的制作技能，通过求扇形圆心角的度数考查学生对扇形统计图制作原理的理解. 第（3）小题用样本估计总体考查学生的数据分析观念和统计应用意识.

3. 数据的分析

在初中阶段，数据分析需要学生掌握的统计量包括两类：一类是刻画数据集中趋势的统计量，包括平均数、中位数、众数;另一类是刻画数据离散程度的统计量，包括极差、方差. 对于上述统计量的考查，有关统计量的计算固然需要学生掌握，但中考中概念的记忆与运算已不再是考查的重点，而学生对统计量现实意义的理解及统计量的选择使用，或基于统计量计算应用数据分析的结果做出推断和决策成为中考考查的重点.

（1）考查對统计量概念及现实意义的理解.

为了计算而计算的统计量计算工作将逐渐被计算机所替代，各种统计量概念的记忆与运算已不再是中考考查的重点，而对统计量概念及现实意义的理解已经成为中考考查的重点.

例7 （湖北·黄冈卷）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表6所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选择（    ）.

【评析】此题中应选择平均分高且成绩稳定（方差小）的学生参加竞赛，考查了平均数和方差的实际意义.

例8 （浙江·台州卷）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ）.

（A）中位数 （B） 众数

（C）平均数 （D）方差

【评析】此题没有让学生去计算一组数据的中位数，而是考查学生对中位数现实意义的理解.

例9 （山东·烟台卷）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（    ）.

（A）众数改变，方差改变

（B）众数不变，平均数改变

（C）中位数改变，方差不变

（D）中位数不变，平均数不变

【评析】如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，但方差不变. 此题没有让学生去计算一组数据的众数、中位数、平均数和方差，而是考查学生对上述统计量概念的理解.

（2）在具体问题情境中自主选择适当的统计量解決问题.

设计一定的问题情境，让学生在具体问题情境中自主选择适当的统计量解决具体问题，考查学生的应用意识和数据分析观念，体会统计学习的价值和意义.

例10 （湖南·怀化卷）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（    ）.

（A）众数 （B）中位数

（C）方差 （D）平均数

例11 （湖南·郴州卷）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如表7所示.

则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（    ）.

（A）中位数 （B）平均数

（C）众数    （D）方差

【评析】例10和例11都考查了学生在实际情境中自主选择适合的统计量解决问题的能力，体现统计在日常生产生活中应用广泛，有利于考查学生的数据分析素养.

（3）以统计图表呈现数据计算各种统计量.

统计试题中数据的呈现逐步多样化，以统计图表呈现数据，要求学生从统计图表中提取数据信息计算各种统计量，从而体现这组数据的集中趋势和离散程度. 在今后的中考中此类试题会越来越多.

例12 （黑龙江·齐齐哈尔卷）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成如图8所示的条形统计图. 由图可知，全班同学答对题数的众数为（    ）.

（A）7 （B）8

（C）9 （D）10

例13 （山东·泰安卷）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表8所示.

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数、中位数分别是（    ）.

（A）3，3 （B）3，7

（C）2，7 （D）7，3

【评析】例12和例13通过图表形式呈现数据，考查统计量的计算. 以图表形式呈现加权数据计算统计量对学生要求较高，不仅需要学生正确区分数据和数据的权数（该数据出现的次数），还需要学生正确区分数据的种类和数据的个数. 计算中位数时学生容易把数据的种类数当作数据的个数，忽视了权数. 例如，例13中其实有20个数据，要求找20个数据的众数和中位数. 这类试题能很好地考查学生对统计量概念意义的理解，以及对图表形式呈现数据的阅读理解，具有较高的信度和区分度.

4. 数据的应用

统计活动中，数据处理不是为了整理而整理、为了计算而计算. 在近几年的中考中已不多见单纯考查统计量计算技能的试题，更多的是让学生在数据收集、整理、分析的基础上应用统计结果做出推断和决策，前面已有举例，如例2、例3、例5、例6等. 下面再看一例.

例14 （宁夏卷）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到如表9和表10所示的频数分布表.

（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量.

（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算.）

【评析】此题中，计算出使用节水龙头前后的日平均用水量不是最终目的，最终目的是用样本去估计总体，估算该家庭使用节水龙头一年能节省的用水量，让学生体会节约用水的重要性，养成节水意识，体会学习统计的价值和意义.

5. 统计与概率的整合

统计与概率都是研究随机现象的科学. 统计是基于数据，通过归纳的方法研究随机现象，而概率，特别是概率计算则是通过构建模型演绎地研究随机现象. 统计与概率整合考查的试题在近年中考中经常出现，但基本上是通过同一问题情境把统计和概率计算两种问题简单拼凑在一起，而很少让学生认识到统计与概率之间的联系——可以借助统计活动用频率来估计概率，反过来可以从概率角度分析统计数据特征.

例15 （安徽卷）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查. 根据调查结果绘制了条形统计图（图9）和扇形统计图（图10），部分信息如下.

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为          ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角度数的大小为      .

（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数.

（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率.

【评析】此题第（1）（2）小题考查统计图表信息的提取与应用，第（3）小题在同一情境下考查学生用列举法（画树状图或列表）计算概率的技能.

三、中考复习建议

统计是一门应用性学科，对于统计的考查需要强调应用统计的知识、技能和思想方法解决实际问题的基本价值取向. 近年来中考对统计考查的难度一般不大，着重考查具体情境下统计知识和思想的应用及数据分析观念. 因此，统计内容的复习应注意以下几点.

1. 让学生经历统计活动全过程，发展数据分析观念

观念是不能灌输的，只有在活动中潜移默化地养成. 学习统计的核心是数据分析观念的形成，数据分析观念绝非等同于计算、作图等简单技能，而是统计意识和信息感、数据感. 在复习教学中，教师应选择一些能让学生经历统计活动过程的问题（如模拟题欣赏中的第3题和第4题），突出统计对决策的作用，引导学生从统计的角度思考与数据有关的问题，不应让计算统计量、画统计图等内容占据学生过多的时间.

2. 重视问题情境的设计，在具体背景下理解概念的实际意义

创设统计的实际应用情境，引导学生在具体背景下学习数据收集的方法，体会全面调查与抽样调查的特点，体会抽样的必要性和合理性;创设统计的实际应用情境，引导学生在具体问题背景下理解常用统计量的意义，学习选择适当的统计量分析数据的集中趋势和离散程度，注重对统计量实际意义与特点的理解，避免统计量计算的技巧化.

3. 注意统计的应用，让学生体会学习统计的价值和意义

统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用，统计知识和方法的学习要尽可能地融入解决实际问题的活动中. 现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题，在中考复习中，教师要充分挖掘适合学生学习的材料. 可以从报刊、电视广播、计算机数据库等多个方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中选取. 总之，统计的复习应着重对现实问题的探索，解决实际问题，提升统计应用能力，使学生能自觉从统计的角度思考与数据有关的问题，提升数据分析素養.

四、模拟题欣赏

1. 一些计算机内存分析软件为了让使用者清楚、直观地看出内存“已用空间”与“可用空间”占“整个内存空间”的百分比，使用的统计图是（    ）.

（A）条形统计图

（B）折线统计图

（C）扇形统计图

（D）条形统计图或折线统计图

参考答案：C.

【命题意图】此题的考查目标不是统计图的制作，而是各种统计图的特点和选用.

2. 数学老师布置10道选择题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成如图11所示的条形统计图，根据图表，全班每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为（    ）.

（A）8，8    （B）8，9

（C）9，9    （D）9，8

参考答案：D.

【命题意图】此题以条形统计图的形式呈现加权数据，从而计算中位数和众数. 考查重点不是运算，而是深刻理解两种统计量的意义，以及对数据不同呈现方式的阅读理解.

3. 某校学生会准备调查九年级同学每天（除课间操外）的课外锻炼时间.

（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到（1）班去调查全体同学”;乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”;丙同学说：“我到九年级每个班去随机调查一定数量的同学”. 试指出哪位同学的调查方式最为合理.

（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制出如图12所示的条形统计图和如图13所示的扇形统计图，试求出图12中每天课外锻炼时间约10分钟的人数，并将图12和图13补充完整.（注：图13中相邻两虚线形成的圆心角为30°.）

（3）若该校九年级共有240名同学，试估计其中每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数，并根据调查情况向学生会提出一条建议.

参考答案：（1）丙同学的调查方式最为合理.（2）每天课外锻炼时间约10分钟的人数为36人，补图略.（3）估计每天课外锻炼时间不大于20分钟的人数为220人，建议略.

【命题意图】此题意在让学生经历一个统计活动全过程. 第（1）小题考查抽样方式是否合理;第（2）小题考查统计图的信息提取和制作技能;第（3）小题考查用样本估计总体并做出推断和决策的应用意识和数据分析观念.

4. 某市为落实“健康中国”行动，拟根据初中生体能的实际状况制定中考体育新标准. 为此抽取50名初中将毕业的女生进行一分钟仰卧起坐测试，将测试情况绘制成表11.

（1）求这次抽样测试数据的众数、中位数和平均数.

（2）在众数、中位数和平均数中，你认为用哪一个统计量作为该市中考女生一分钟仰卧起坐项目的合格标准较为合适？简要说明理由.

（3）如果该市当年有3万名初中毕业女生参加中考体育考，根据（2）中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目的合格人数是多少？

参考答案：（1）众数为18个，中位数为18个，平均数为20.5个;（2）众数或中位数作为合格标准较为合适，因为大部分学生都能达到;（3）估计合格人数为24 600人.

【命题意图】此题在统计量计算的基础上考查统计量的选用，通过数据收集和分析确定合格标准，体现学习统计的价值和意义，渗透统计分析观念.

5. 甲、乙两篮球运动员上赛季每场比赛的得分如下.

甲：15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，50.

乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.

小莉用如图14所示的方式来表示甲、乙的得分.

（1）试在右侧补全乙的得分.

（2）[x甲]   [x乙;] [s2甲]   [s2乙].（填“>”“<”或“=”）

（3）试说出此种表示方式的优点.

参考答案：（1）略;（2）[>]，[<];（3）能够直观显示数据的分布状况和离散程度.

【命题意图】对于第（1）小题，要求学生现场学习应用一种新的数据整理描述方式（茎叶图），考查学生的现场学习能力;第（2）小题中，无需学生动笔计算，根据茎叶图中数据的分布状况比较两组数据平均数和方差的大小，考查平均数和方差两种统计量的实际意义;第（3）小题考查学生在前面的统计活动过程中所积累的基本活动经验，从而深入理解现场学习的数据整理描述方式.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.