逻辑推理：高中数学学科核心素养的意蕴细究

李华清

[摘  要] 在传统的高中数学教学研究的视野里，逻辑推理就有着重要的价值与地位，如果能够有效地把握逻辑推理的内涵与意蕴，那就能在继承高中数学教学优秀传统的基础上，瞄准核心素养培育的目标，更好地将高中数学课堂设计成符合数学学科核心素养培育需要的课堂. 既然是在核心素养的视角之下理解逻辑推理，那就一定要赋予其新的内涵，对此笔者的理解有二：一是逻辑推理建立在数学概念的逻辑关系之上，指向学生逻辑推理能力的养成;二是学生形成的逻辑推理素养，迁移到其他学科中表现为新的迁移的发生，迁移到生活中表现为用正确的逻辑去判断生活事物. 培育学生的逻辑推理素养，就必须让学生认识到“有逻辑地推理”的价值，让学生真正经历“有逻辑地推理”的过程，并且在一定的过程中认识“有逻辑地推理”的意义.

[关键词] 高中数学;逻辑推理;核心素养

核心素养培育给高中数学教学带来了新的思考，目前可以肯定的是，对于高中数学学科而言，是通过其学科核心素养要素来落实必备品格与关键能力的，而对于数学学科核心素养的这些组成要素，依然要做细致的分析. 一个基本被高中数学同行所认同的观点是：在高中数学教学中对学生的核心素养进行培养，旨在使学生的数学判断能力得到良好的养成，这既是新课标背景下的一个教学重点，也是当前高考评价的一个核心;而在数学核心素养中，主要分为数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算和数据分析等. 虽然数学学科核心素养是由这些要素组成，但是并不意味着这些要素之间是互相独立的，事实上在笔者看来，这些要素是有着密切联系的，而且这些要素也不是完全并列的关系，像数学抽象与逻辑推理实际上就属于基础层次的，而数学建模则具有一定的综合性，数学建模经常是在数学抽象与逻辑推理的基础上形成的. 在这些要素中，笔者以为首先值得研究的应当是逻辑推理.

在传统的高中数学教学研究的视野里，逻辑推理就有着重要的价值与地位，那么在核心素养的视野之下，逻辑推理又应当具有什么样的意蕴与内涵呢？笔者以为这是值得研究的，如果能够有效把握逻辑推理的内涵与意蕴，那就能够在继承高中数学教学优秀传统的基础上，瞄准核心素养培育的目标，更好地将高中数学课堂设计成符合数学学科核心素养培育需要的课堂. 在这一认识的基础之上，笔者对此进行了探究，总结如下：

[?]核心素养视角下的逻辑推理应有新意蕴

逻辑推理其实对于大多数高中数学教师而言并不陌生. 人们普遍认为，数学的推理就是一种有逻辑的推理. 事实也证明，基于数学命题（包括命题中的数学定义）尝试讨论什么样的推理过程、或者说什么样的思维过程是有逻辑的. 因此在高中数学教学中重视逻辑推理是非常有必要的，这不仅仅是为了逻辑学发展的需要，更重要的是为了让数学学习者、一线的数学教师在一般层面上理解和把握数学推理，进而理解和把握“逻辑推理”这个数学核心素养. 既然是在核心素养的视角之下理解逻辑推理，那就一定要赋予其新的内涵，对此笔者的理解有二：

一是逻辑推理建立在数学概念的逻辑关系之上，指向学生逻辑推理能力的养成. 高中数学知识体系中，有的数学概念相当于一块砖或一根柱子，有的数学概念相当于一面墙，而这些砖或者柱子要想组成一座大厦，就必须让砖与砖、砖与柱子之间形成密切的联系，这种联系就是靠逻辑产生的. 于是逻辑推理的过程就是一个建构数学知识体系大厦的过程，学生运用逻辑推理建构数学知识体系的过程，也就成了逻辑推理能力得到培养的过程. 从这个角度来看，逻辑推理这一数学学科核心素养要素的落地，很大程度上依赖于教师为学生创设的学习情境，又或者是问题解决的情境.

二是学生形成的逻辑推理素养，迁移到其他学科中表现为新的迁移的发生，迁移到生活中表现为用正确的逻辑去判断生活事物. 核心素养是指向学生适应社会发展的，这就意味着迁移的价值. 事实上，逻辑推理不仅在数学中存在，在生活中也是普遍存在的，但是学生在数学学习过程中形成的逻辑推理能力又是最为纯粹的，只要教师在学生数学学习的过程中能够寻找教学契机进行迁移，就能够让逻辑推理真正成为学生的核心素养.

[?]基于核心素养培育的逻辑推理意蕴探究

综合以上两个观点可以得出的结论是：培养学生的逻辑推理能力不仅可以提升学生的学习效率，而且还可以增强学生的思维能力. 在新形势下，若要培养学生的逻辑推理能力就要创新高中数学教学模式、突出学生的主体地位，只有这样，才能真正提升学生的主观能动性，促进学生逻辑思维能力的发展. 对于教师而言，基于核心素养培育的逻辑推理意蕴探究，主要应当依赖于具体的数学知识的具体建构或者问题解决的过程. 例如，“正切函数的性质与图像”这一内容教学中，通过分析可以发现，学生在此前已经学过正弦函数和余弦函数的图像与性质，当在教学中引导学生进行探究，并且明确提出：根据研究正弦函数和余弦函数的图像与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图像与性质，这实际上也就是暗示学生运用逻辑推理进行新的知识的学习（本质上就是一个问题解决的过程）. 从核心素养培训的角度来看，这一内容的教学可以包括这样几个环节：

环节一：从性质与图像角度回忆正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等. 这是逻辑推理的基础.

环节二：引导学生研究正切函数的诱导公式tan（x+π）=tanx，x∈R，x≠+kπ，x∈Z. 研究这个诱导公式可以发现，正切函数是一个周期函数，而且周期就是π;在此基础上，再由诱导公式去研究正切函数的奇偶性，这个过程也很简单，就是去研究tan（-x）是否等于-tanx，这也是一个运用定义进行逻辑推理的过程，学生很容易得出正切函数是一个奇函数;在研究正切函数单调性的时候，是一个更重要的逻辑推理能力培养的机会，此时可以借助数形结合思想，让学生基于如图1所示的图像进行推理，学生很容易基于图像，根据正切函数的变化规律，推理得出正切函数在不同的区间内是增函数或者减函数;至于值域的判定，学生同样可以基于图像，判断得出当正切函数中的x大于-且无限接近-时，正切线可以向着坐标轴的负方向无限延伸，有了这个结果之后，学生在判断正切函数的值域时，就很容易得出是实数集.

环节三：学习后的反思过程. 笔者在教学中重点引导学生反思：自己是怎么得出正切函数的性质的？带着对这个问题的思考，学生就会自然地去回顾学习过程，这个回顾过程与此前的学习过程并不相同. 如果说此前学习过程中，学生的推理运用得还比较隐晦的话，那反思过程中对逻辑推理的认识就更加明确了. 这样的反思过程，可以让学生更充分地认识到逻辑推理在数学知识建构中的作用，同样这种认识可以迁移到问题解决的过程中，于是也就表现出了核心素养的主要特征，从而也就实现了数学学科核心素养的落地.

[?]逻辑推理教学的本义就是“有逻辑地推理”

众所周知，数学的基本特征之一，是逻辑推理的严格性以及它的结论的确定性. 逻辑推理说得通俗一点就是“有逻辑地推理”，说起来虽然通俗，但这一判断本身就有着逻辑关系：只有学生在数学学习的过程中掌握了逻辑，知道如何推理，才能真正经历逻辑推理的过程. 如果暂时将研究的目光从数学转向生活，可以发现一个值得深思的现象，那就是一些数学技术较好的学生，甚至是数学教师，对生活中好多事物的判断往往并不重视逻辑，判断的依据反而更多的是自己的猜想，甚至是臆测. 这些例子说明，在数学学习过程中尽情地逻辑推理，如果不经过内化，那并不能成为学生真正的核心素养. 反之如果要培育学生的逻辑推理素养，就必须让学生认识到“有逻辑地推理”的价值，让学生真正经历“有逻辑地推理”的过程，并且在一定的过程中认识“有逻辑地推理”的意义.

一般来讲，要让学生“有逻辑地推理”，就必须在数学学习的过程中通过讲授、示范、举例等办法，让学生认识到逻辑的存在，知道数学概念与概念之间的逻辑关系，知道如何进行分析与综合、归纳与演绎，而这样一个过程本身也是逻辑推理的过程，可以成为培养学生逻辑推理能力的重要时机.

总而言之，高中數学教学中，教师在核心素养的背景下培养学生的逻辑推理能力，需要充分认识逻辑推理的内涵，进而在教学实践过程中设计出科学合理的学习过程，只要让学生认识到逻辑在哪里，知道如何运用逻辑，那在实际教学的过程中，就能够真正从理解逻辑推理走向实施逻辑推理的教学过程，进而培养出学生的逻辑推理素养.