指数对数混合型函数解题策略探究*

广东省广州市第十六中学(510080)温伙其

课程标准把函数作为高中数学内容的四条主线之一,教材把函数思想贯穿于高中三年数学课堂.因此,全国高考试题几乎都把函数作为压轴题进行考核,考查学生分析问题、解决问题的能力,作为发展学科素养的重要阵地.导函数问题常见方法一般是: 直接讨论,分离变量和构造函数,当函数和指数对数混合出现时,又应怎样去解决呢? 本文从构造超越函数、整体换元和切线放缩三个角度进行阐述,探究指数对数混合型函数通性解法.

一、构造超越函数

x和ex、x和lnx、ex和lnx的乘除运算,共构造出9 种形式的函数,本文称为超越函数,这些超越函数有特殊的单调性、极值最值、渐近线等图象性质, 具体请阅读参考文献[1].当函数结构出现指数对数混合时,进行合理的运算,就可化归为超越函数结构,从而自然运用它们的特殊性质进行高效解题.

例1(2021 八省联考第22 题(节选))已知f(x)=ex-sⅰnx-cosx,证明: 当x≥时,f(x)≥0.

解析要证明f(x)≥0, 只需证≤1.构造函数h(x)=则有h′(x)=当-π]时h′(x)≤0,当x ∈(-π,0]时h′(x)≥0,而= 0 且h(0)= 1, 所以h(x)≤1; 当x ∈(0,π]时h′(x)≤ 0, 也满足h(x)≤ 1; 当x ∈(π,+∞)时,综上所述, 当x≥时,f(x)≥0.

例2已知f(x)=-x,m ∈R,若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2,求证:x1x2＞e2.

解析由题意知x1,x2是f′(x)= lnx-mx= 0 的两个不同实数根, 即有m=有两个不同交点.构造函数g(x)=则g(x1)=g(x2),由于g′(x)=因此g(x)在(1,e)单调递增,在(e,+∞)单调递减.设1＜x1＜e＜x2,要证明x1x2＞e2,只需证x1＞只需证g(x1)＞只需证即证g(x2)-＞0.再构造函数h(x)=g(x)-,x ∈(1,e),则h′(x)=当x ∈(1,e)时h(x)单调递减, 所以h(x)＞h(e)= 0, 即g(x)-＞0, 因此＞0 成立,原不等式得证.

方法总结构造超越函数的常见办法:

(1)超越函数y=xlnx、y=xex、y=exlnx、y=的图象与性质(详见参考文献[1]);

(2)(f(x)·lnx)′=f′(x)lnx+f(x)·求导结果依然含有lnx,这类问题需要多次求导.处理这类函数的技巧是将lnx提取出来,然后研究剩余部分,这类方法技巧俗称对数单身狗;

(3)(ex-f′(x))= ex - f′(x), 求导结果依然含有ex.处理这类函数的技巧是采用做商的方法, 构造从而达到简化, ex总在找属于它的基友,这类方法俗称指数找基友.

二、整体换元

把函数解析式中含有指数式或对数式的部分看成一个整体, 进行整体补形、整体运算、整体设元、整体换元.特别地, 借助对数的定义和运算性质等, 如ex=t ⇔x= lnt,elnx=x,则可消掉指数式或对数式,达到消元化简函数作用,进而优化解题.

例3已知f(x)=xeax-1-lnx-ax,若f(x)的最小值恰为0,求a的最小值.

解析令t=xeax-1, 则lnt= lnx+ax -1, 令g(t)=f(x)=t -lnt -1(t ＞0), 则g′(t)=当t ∈(0,1)时,g′(t)＜0,g(t)单调递减; 当t ∈(1,+∞)时,g′(t)＞0,g(t)单调递增, 所以g(t)mⅰn=g(1)= 0, 此时t=xeax-1=1,整理得eax-1=

再令h(x)=(x ＞0), 则h′(x)=当x ∈(0,e2)时,h′(x)＜0,h(x)单调递减; 当x ∈(e2,+∞)时,h′(x)＞0,h(x)单调递增.所以h(x)mⅰn=h(e2)=综上得a的最小值为

例4定义在R 上的奇函数f(x)在(-∞,0]单调递增,对于任意的x ∈(0,1],有f(aex+2x)+f(xlnx-x2)≥0,则实数a的取值范围为____.

解析由题意得f(aex+ 2x)≥-f(xlnx - x2)=f(x2- xlnx), 所 以aex+ 2x≥x2- xlnx, 整理得a≥令t=x-lnx≥1,则a≥

令g(t)=(t≥1), 则g′(t)=当t ∈(3,+∞)时,h′(x)＜0,h(x)单调递减; 当t ∈(1,3)时,h′(x)＞0,h(x)单调递增,所以g(t)max=g(3)= e-3,因此a≥e-3.

方法总结常见的指数式和对数式整体换元结构:

(2)利用xex= elnx·ex= elnx+x,可进行指数和对数结构的相互转化;

(3)令t=xex时,有lnt= lnx+x,可避免同时出现指数式和对数式的复杂结构;

(4)令t=时,有lnt=x-lnx,可避免同时出现指数式和对数式的复杂结构.

三、切线放缩

利用函数y= ex和y= lnx图象与其切线的位置关系可实现“以曲代直”, 把指数或对数结构形式放缩成一次函数,即f(x)≥kx+b或f(x)≤kx+b,当且仅当x与切点横坐标相等时等号成立.高中数学中,常见的切线放缩不等式有ex≥x+1,ex≥ex,lnx≤x-1,ln(x+1)≤x.需注意的是,当函数涉及两类曲线时,需研究它们满足凹凸性不同时才能用切线进行放缩进行比较大小.

例5证明: 当时,cosx+tanx≤ex.

解析我们熟知不等式ex≥x+1,要证明cosx+tanx≤ex,只需证cosx+tanx≤x+1,令f(x)=cosx+tanx-x-1,则再令h(x)= sⅰn2x+sⅰnx -1, 则h(x)在单调递增, 而h(0)=-1 且-1＞0,所以使得h(x0)=0,从而f(x)在[0,x0)上单调递减, 在(x0,上单调递增,又f(0)= 0 且＜0, 所以f(x)max=f(0)= 0, 因此cosx+tanx-x-1 ≤0,原不等式得证.

例6(2018年高考全国Ⅰ卷文科第21 题(节选))已知f(x)=aex-lnx-1,证明: 当a≥时,f(x)≥0.

解析当a≥时,有f(x)≥ex-1-lnx-1,我们熟知不等式lnx≤x-1(x ＞0),于是

又熟知不等式ex≥x+1,有

(1)加(2)得ex-1-lnx-1 ≥0,即f(x)≥0.

方法总结指数和对数函数常见的切线不等式:

(1)指数函数y= ex, 分别求在x= 0,1,-1,ln 2 处的切线, 可得到以下不等式: ex≥x+ 1,ex≥ex,ex≥,ex≥2(x-ln 2)+2;

(2)对数函数y= lnx, 分别求在x= 1,e,e2,处的切线, 可得到以下不等式: lnx≤x -1,lnx≤,lnx≤

(3)由ex≥x+1 产生的系列不等式链(详见参考文献[2])

因此,函数解析式含ex或lnx四则运算时,只要细致观察其函数结构,深挖其隐藏着的数学本质,往本文梳理的构造超越函数、整体换元和切线放缩三个角度进行处理,就可使得指数对数混合问题得到高效解决.