从“植树问题”谈小学生数学建模能力的培养

黄丽凤

数学模型的运用是学生体验和理解数学与外界联系的途径。随着年级的升高，学习内容在不断加深，学生的数学学习表现得越来越不适应，解决问题的能力低下，这与学生在学习中没有形成模型意识有关系。“植树问题”是人教版五上“数学广角”中的内容，这类探索规律的问题是小学阶段典型的数学应用问题，学生在实际学习中往往觉得抽象难懂。因此，在教学时应让学生经历和体验知识的形成过程，滲透模型思想，提高建模能力，逐步建立“植树问题”的数学模型，进而解决生活中的实际问题，实现核心素养的提升。

一、在教材编排中寻找模型

教材是开展教学活动的重要根据。由于小学生认知发展规律的特殊性，教材在编排时会根据学生的实际情况把一个知识点分布在各个学段逐步渗透、深化，呈螺旋式上升的态势进行编排。“植树问题”属于“探索规律”的内容，学生早在一年级下册第七单元“找规律”的学习中就有最初的感知和探索，但此时的他们只能通过具体的人或事物进行感性认知。例如，在一列站好的10个女生中，相邻两个女生之间站一个男生，问一共有多少个男生？又如，二年级上册“表内乘法（二）”单元“练习二十”第8题（如下图所示）。以及在三、四年级学习除法内容时的练习中也出现像“1，2，2，3，1，2，2……这样排列中，第60个是什么数字”的问题。

可以看出，教材的编排中对植树问题的相关知识早有渗透，并且其中的“间隔长×间隔数=总长”与“总长÷间隔长=间隔数”这两个关系式，学生早在学习乘除法内容时就已经初步认识了。因此教师在开展植树问题的教学前，就要根据教材编排的特点，帮助学生把各个知识点串成一条有联系的知识链，让学生有根可寻、有据可依，为数学模型的建立找到最初的原型。

二、在问题探究中建立模型

数学模型的建立，需要学生亲身经历知识探究的过程，而不应该是教师简单地给予。知识应由学生自己发现、归纳，这样的获得才能终身受益。如何让学生在原有认知基础上，建立植树问题的数学模型呢？

1. 创设情境，唤醒学生对间隔的认识。

现阶段，学生年龄小、认知水平较低，没能形成主动的建模意识，建模能力的培养也存在困难。学生对数学模型的建立还做不到主动观察和主动探究，因此，课堂上教师要精心选择学生熟悉的生活素材，学生才能在熟悉的现实问题中激起对数学建模的兴趣，为顺利建模做好铺垫。教学时，笔者将学生熟悉的“某品牌3+2”饼干作为导入的载体，让他们形象直观地借助饼干与饼干之间的夹心认识“间隔”，理解两层夹心就是2个间隔。紧接着，笔者让学生张开自己的手掌，观察5根手指，数数有几根手指和几个间隔。设置这些看似与植树问题不相干的事物的探究环节意在让学生亲身体会不同的事物或现象之间存在着相同的数学本质，既符合学生好奇、求真的心理特征，又让学生快速体验到不同类型的间隔，为解决后续植树问题做好铺垫。让学生将如“饼干夹心”“手指缝隙”等生活问题抽象出数学问题，初步感知数学模型在现实生活中广泛存在，进而为更快地建立数学模型助力。

2. 经历探究，建立模型。

数学学习重视学生的认知基础，对于植树问题教学的中心环节，创设学生熟悉的生活实例，可以为他们探究新知提供经验基础。植树问题模型的关键在于分割，与学生对间隔规律的掌握有很大联系。因此，笔者创设联欢会舞台布置情境，让学生体验每1米放一盆花，以及红黄气球间隔排列等类型的规律认知，自动唤醒学生对“总长、间隔长、间隔数”的最初认知。这样在校园植树的问题情境中，学生也就能顺利地在理解题意的前提下明确“总长”“间隔长”“间隔数”之间的关系是：间隔数=总长÷间隔长;接着引导学生用画图的方式设计植树方案，变抽象为形象，在实际操作中初步感受植树问题的“两端都种”“只种一端”和“两端都不种”三种情况，以画图的形式呈现数学信息，为全面构建植树问题的数学模型，建立棵数、段数与间隔数之间的对应关系，也为学生能描述植树问题的本质特征做好准备。在此基础上，笔者再次组织学生以小组合作的方式开展填表活动，开放间隔长度，为学生提供多次的“植树”探究机会，重点引导他们聚焦间隔数与棵数的关系，充分发挥学生的合作交流能力，逐步发现隐含其中的规律，归纳数量关系，即两端都种（间隔数+1=棵数）、只种一端（间隔数=棵数）、两端都不种（间隔数-1=棵数），建立数学模型。符合学生发展规律的探究活动，是引导学生经历验证、分析和概括等思维的过程，也是学生形成策略性知识发展的过程，模型思想的生发与建模能力的提高也在此过程中得到体现。

三、在知识应用中发展模型

学生经历充分的探究活动建立起来的数学模型，并不是一节课学习的终点。教师应引导学生将已经生成的数学模型进行拓展，衍生出新的数学模型，进一步培养学生主动建模的能力。植树问题数学模型是从学生熟悉的生活中来，为了让学生体验建模的意义，理应回到现实生活中去，发挥模型的最大的应用价值。如锯木头问题：把一根木料锯成4段，每锯一次用6分钟，一共要用多少分钟？联系植树问题中的两端不种模型“间隔数-1=棵数”，引导学生理解这是要解决锯的次数问题，因为段数比次数多1，即段数=次数+1，次数=段数-1，所以（4-1）×6=18（分）。学生只要理解并掌握了这个数学模型，此类锯木头问题也就迎刃而解了。又如爬楼问题：陈老师从1楼走到3楼走了38级台阶，如果要从1楼走到7楼要走多少级台阶？通过分析，学生明白这是植树问题中求间隔数的问题，理解从1楼走到3楼，层数为3-1=2（层），所以从1楼走到7楼，层数就为7-1=6（层），所以一共要走38÷2×6=114（级）。当然还有敲钟问题、安装路灯问题等等都可以跟植树问题紧密联系。通过大量的实践运用，植树问题的模型得到拓展，进而应用模型解决更多类似的生活问题，充分体验建立、应用数学模型带来的方便，让模型思想深入人心，建模能力得以提升。

模型思想是学生应具备的数学素养之一，它的建立与发展需要学生在教师的引导下，经历数学模型的建构过程，不断完善学生的建模意识与建模能力。为实现这一目标，教师要根据学生的认知规律，遵循数学教材的编排特点，将知识间的内在联系贯穿于建模过程;联系学生的生活经验，并提供充足的时间和丰富的实践材料引导学生经历探究归纳、实践总结、深化理解等的学习活动，逐步建立解决问题的数学模型，并在应用中让数学模型呈动态发展，更好地解决生活中的实际问题。

（作者单位：福建省三明市梅列区实验小学 本专辑责任编辑：王彬）