函数最值问题在生活中的应用

姜叶

【摘要】函数最值问题是一种特殊的数学问题，其求法就是函数性质和其特点结合应用的关键所在.目前，函数最值问题在日常生活、科学研究等领域都有广泛应用，比如利润最大化问题、资源利用最大化问题等.为更好地解决最值应用问题，教师需要重点对相关求法进行总结归纳，通过对其中的联系进行充分挖掘和理解，以此顺利解决实际问题.

【关键词】函数最值;应用;实际生活

在经济管理、经济核算、农业发展、工业生产等方面，经常需要解决在一定条件下如何投入最小成本获得最大产出和最高效益的问题，对此，我们可以将其归结为一个函数在某个范围之内的最小值和最大值问题.如果能够有效解决这一问题，则能够实现资源的最大化利用，优化投入产出比.另外，最值问题在物理和几何等方面的研究中也都有一定应用.所以，对其应用情况进行探究具有极大现实意义.

一、生活中常见的函数问题

在数学概念中，函数是非常重要的一个内容，它包含了变量和其对应的函数值.在实际生活中随处都能够找到变量，所以函数问题也是实际生活中的核心问题.

例如，常见的一次函数，包含了购物时总价和数量之间所呈现关系的数学模型，工作薪酬和工时之间所呈现关系的数学模型等.函数解析式可以帮助人们找到总价和数量、总工作薪酬和工时等方面存在的关系，即当其单价一定，数量越多、工时越多，最终的总价格或总薪酬就会越高.

二次函数在生活中的应用也比较广泛，其原理主要在于某个变量在因变量均匀变化的过程中所对应的变化也会越来越快.比如，实际生活中销售利润和销售时间之间的关系，物理当中自由落体的物体速度和时间之间的关系等，都可以直接通过该函数进行模拟.

另外，三角函数、反比例函数以及指数函数等都在生活中有着非常广泛的应用.比如，为了探究木材的应用需要使长宽满足哪种关系，就可以使用反比例函数;在工程作业中，相关高度的测量以及航海过程中行程的测定就可以使用三角函数;生物细胞分裂数量和次数之间的关系就可以使用指数函数.从这些问题中能够看出，数学函数和生活间存在着非常紧密的关系，换句话说，生活中的大多数变量就是数学模型的具象化存在.

二、函数最值的基本概念

对于函数中的两个变量，如果每给x一个值，y都会有唯一一个与其对应的值，这时候就可以说y是x的函数.在这之中，x是自变量，y是因变量.在确定其函数最值时，应确保这两个变量定位的精准性.通常函数最值主要分为最大值和最小值，涉及函数类型包含了一次函数、二次函数、三角函数、反比例函数、指数函数等，虽然其最值具体的求解方式存在一定差异，但在确定方法上却是统一的.

（一）最大值

从整体上来说，最大值就是定义域当中函数值的最大数值，即设函数y=f（x）的定义域为I，倘若存在实数M满足：（1）对任意实数x∈I，都存在f（x）≤M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么这时候就可以说M是函数y=f（x）的最大值.

（二）最小值

简单来讲，最小值就是定义域当中函数值的最小数值，即设函数y=f（x）的定义域为I，倘若存在实数M满足：（1）对任意实数x∈I，都存在f（x）≥M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么这时候就可以说实数M是函数y=f（x）的最小值.

对这两者的几何意义来说，即是函数图像最高点或最低点的纵坐标.

三、函数最值在生活中的应用

在日常生活中经常会遇到一些关于最值的问题，例如，怎样安排工作实现效率最大化，怎样利用资源才能够实现资源利用率最优化，怎样安排行程保证时间最短和效率最高，等等，这些都是人们在生活中经常面对和要解决的问题.这时，如果能够引入函数最值问题，便能够使问题简单化，解决思维也能够更加明晰.

（一）空间利用最大化

在实际生活中，人们常常为了提升生活品质，优化生活空间，考虑如何使有限的空间资源达到合理利用.以园林绿化为例，为使空间资源利用率实现最大化，人们不仅要对绿化面积进行考虑，还要对园林后续养护、观赏和路面硬化等因素进行考量，为了同时满足这几项要求，保证绿化地带设计方案的最优化，就可以引入函数最值问题，实现空间与资源的最大程度应用.以此为核心思路还能够解决生活中的一些其他空间利用问题.

此外，在求面积最大化时也可以应用函数最值问题.比如，某个小区要在围墙边设计一个长方形的自行车棚，一边运用围墙，同时有总长是32米的围栏，还要在和墙平行的一边留出一个宽2米的门，如果要使车棚面积实现最大化，长和宽应该如何取值？实际解决时可以设车棚面积为y平方米，再根据题目得到y=（34-2x）x=-2（x-8.5）2+144.5，要使最终车棚的面积实现最大化，其长应是17米，宽应是8.5米.在解决这类面积问题时，要先将其表示成一个变量的二次函数，再依照二次函数最值问题得到最终答案.

（二）利润最大化

函数最值问题在商家经营利润最大化解析中的应用也非常广泛.例如，某一商场在经营球鞋时，某一类鞋款购进时的价钱是每双180元，据市场调查显示，当該款球鞋销售单价为260元时，销售量在当季能达到500双，如果每双球鞋的销售单价每上调20元，其销售量就会减少50双.那么在销售过程中，要想知道怎样合理定价才能够实现利润最大化，就必须将函数的最值问题考虑进去.如设定价是x元，最大利润为y元，每双球鞋的利润就可以表示为（x-180）元，当季的销量就可以表示为{500-50[（x-260）÷20]}双，当季最大利润则可以表示为y=（x-180）[500-50（x-260）÷20].从这之中能够看出来，利润的增长并非随着售价的上涨而增加，但售价的上涨必然会导致销售量的下降.所以，当实际生活中遇到类似的问题，在确定商品价格的时候就可以依照商品进价、销售量和价格上涨的额度，对会导致销售量下降的因素进行分析，最终计算出最合理的定价，实现利润最大化.倘若应用不同的销售方案都能够达到利润最大化，还应选择单价比较低的方案，使消费者可以获得相应的优惠，给自身品牌的树立等方面夯实基础，以便巩固客源.