导数应用及教学方法探讨

李志青 曾鹏 蓝光进

【摘要】《微积分》是大学本科中一门重要的学科基础课程，其中的微分学与积分学内容是微积分的两个重要组成部分，它的基本概念是导数和微分.导数知识在许多实际问题中都有非常广泛的应用，许多数学模型均可以借助导数的方法来解决.导数概念比较抽象，使得学生学习导数时存在不少问题.这类问题需要教师在教学时深入探究.本文首先举例说明导数的概念以及相关的数学模型应用，分析学生学习导数遇到的问题，并对导数教学方法和教学内容的改革进行进一步的探讨与研究，以便学生理解、掌握导数内容.

【关键词】微积分;导数;教学方法

【基金项目】广州华商学院校内导师制项目：No.2019HSDS23

一、引 言

在现实生活和自然科学中，许多问题模型都与导数有关.本文首先给出导数概念，并通过几个常见的数学模型举例说明导数的应用，再针对微积分课程中遇到的教学问题，探讨高等数学中导数的教学方法.如何使抽象的导数理论知识变得直观易懂，从而让学生学好导数，是我们要重点考虑的问题.

导数的概念：设函数y=f（x）在区间（a，b）内有定义，x0∈（a，b），若函数y=f（x）在x0处的差商ΔyΔx的极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx存在，则称函数y=f（x）在x0 处可导，并称此极限值为函数y=f（x）在x0 处的导数，记为f′（x0），y′x=x0，dydxx=x0或df（x）dxx=x0.

二、导数应用及常见模型举例

导数与物理、几何、代数的关系密切.一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率.函数变化率反映了函数随着自变量变化而变化的快慢程度，导数的本质就是通过所学极限的概念对函数进行局部的线性逼近.下面我们列举一些函数变化率的例子，以便于读者理解函数变化率，同时使读者了解它在科学技术中的广泛应用.

1.变速直线运动的瞬时速度

问题：已知物体移动的距离随时间t的变化规律为s（t），如何由s（t）求出物体任意时刻的速度？

模型假设：变速直线运动物体在t0时刻的瞬时速度v（t0）反映了路程对于时间变化的快慢程度，是质点M在这段时间的平均速度.当Δt很小时，上式可近似地表示质点在t0时刻的速度，Δt越小，近似程度越高，当Δt→0时，如果极限limΔt→0ΔsΔt存在，则这个极限值就表示了质点t0时刻的瞬时速度.

2.切线方程

问题：由解析几何知识知道，求过曲线y=f（x）上一点（x0，f（x0））的切线方程，难点是求过此点切线的斜率.

模型假设：设曲线的方程为y=f（x），求曲线上一点P0（x0，y0）处切线的斜率k.

模型的建立及求解：由切线的定义知，曲线的切线斜率与割线的斜率是密切相关的，k=limΔx→0k割=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx，点P0处的斜率k可看作曲线y=f（x）在x0处的导数.

3.边际成本问题

问题：设某产品的总成本C是产量q的函数：C=C（q）（q>0），求当产量为q0时，总成本C随产量q变化的快慢程度.

模型求解：若limΔq→0ΔCΔq=limΔq→0C（q0+Δq）-C（q0）Δq存在，则此极限值就表示产量为q0时，总成本C随产量q变化的快慢程度（也称为边际成本）.

4.电流强度的问题

问题：设在[0，t]這段时间内通过导线横截面的电量为Q=Q（t），求t0时刻通过导线横截面的电流强度.

模型的建立及求解：如果是非恒定电流，从时刻t1 到时刻t2 这段时间内通过导线横截面的电量为Q，那么它在t0时刻的电流强度为I（t0）=limΔt→0ΔQΔt=limΔt→0Q（t0+Δt）-Q（t0）Δt.

三、导数教学问题分析

针对前面提到的导数相关模型应用实例，分析教学中遇到的问题，我们能更好地发现问题、解决问题，从而得到更好的教学效果.

1.学习动力不足

目前，学生学习导数的状况不容乐观.大多数学生的学习往往是没有目标的，缺乏学习的兴趣和动力.专业发展的需要决定了课程设置，在还没有学习专业知识的情况下，学生自然不知为何学习导数，如何学好导数.学生没有明确的学习目标，在学习过程就会出现事倍功半的情况.

2.因知识点抽象而无法理解记忆

导数的概念具有很强的抽象性，从而导致学生对导数的理解存在一定难度.学生无法清晰地理解导数概念，也不理解瞬时变化率与平均变化率的极限之间的关系，不能理解导数的几何意义，不清楚导数定义的本质，不能灵活运用导数公式以及导数的四则混合运算公式，不能将一个函数的原函数与导函数互相转换.因此，导数的教学会出现很多问题，比如学生课外付出了很多时间学习与练习导数知识，但始终听不懂、不理解，从而厌烦学习导数知识.如何改变这个现象呢？了解知识的发展状况可以帮助学生体会抽象知识点的实际应用，从而加深理解.

3.教学方式单一

学生一般都是学习概念后套用公式进行计算，没有了解知识内容的连贯性以及应用性，导致学习效果不佳.

4.学习导数的低效盲目性

导数的定义与它的概念的描述相对冗长，并且高度抽象，具有较强的计算技巧，导致学生的学习低效，因此，在熟练掌握导数知识点之后，学生需要体会导数的几何意义，在此基础上，针对导数的应用学习多种技巧，将知识应用于解决问题.

5.对导数的实际应用无法理解