学生在学习反比例函数过程中容易产生的疑惑及分析

封思煜

摘 要：在学习一次函数与二次函数之后，学生已经对函数有一定的理解。由于反比例函数存在着一定的难度，学生在学习反比例函数时，对反比例函数的特点及其所涉及的一些知识与方法，在理解上往往会产生疑惑。文章将学生在学习反比例函数过程中表现出来的疑惑进行了初步分析，采用“教学反思”的形式记录下来，以期在后面引导学生学习这部分课程时能够有所参考。

关键词：反比例函数;学生疑惑;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）19-0067-02

学生学习反比例函数时，由于反比例函数的特点和学习方法等，存在着一定的复杂性，往往导致学生难以理解。与一次函数图像的直线相比，反比例函数的图像是两个分支的曲线;与二次函数图像的“轴对称”特点相比，反比例函数图像“中心对称”的特点不易被学生发现与理解;在教学中，反比例函数图像“间断点”与“渐近线”的特征也让学生难以深入认识。

教材在进行教学内容的安排时，将反比例函数安排在一次函数与二次函数之后。因此，学生通过对一次函数和二次函数的学习，已经对函数具有一定的了解，获得了一定的函数知识和解题方法，将反比例函数的学习安排在一次函数和二次函数的学习之后，有利于学生将研究函数的一般方法运用于反比例函數的学习中，以降低学习反比例函数的难度。因反比例函数的“个性”特点蕴含了学生不常运用的数学思想与方法，学生在学习中往往会产生疑惑，主要表现在以下几个方面。

一、学生容易混淆反比例关系与反比例函数两个概念

在学习人教版初中数学反比例函数后，学生常有这样的疑问：“反比例函数中的自变量x与函数y就是‘成反比例吧？”这个疑问反映学生在反比例函数概念的理解上存在着误区。

误区一：学生对“反比例函数”的概念属性认识不足。“反比例关系”是一种数量关系，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《数学课程标准》）中属第二学段（4～6年级）概念，是建立在正有理数范围内的“数量关系”，研究的是两个具体的数量之间的关系，具有离散性[1]。“反比例函数”是一种函数关系，在《数学课程标准》中属第三学段（7～9年级）概念，是建立在实数范围内的“函数关系”，研究的是两个变量之间的关系，具有连续性。

误区二：学生对“反比例函数”概念的内涵与外延存在混淆。反比例关系是研究一种具体的“数量关系”，而反比例函数是对现实世界一类数量关系进行抽象的“数学模型”。反比例函数包含了反比例关系，反比例关系是反比例函数的“属概念”。

误区三：学生对反比例关系与反比例函数两个概念的共性认识不足。无论是两个常量还是两个变量，都具有“x·y=k（k≠0，k是常数）”的关系。

根据学生在学习过程中所出现的误区，需要教师重视学生所提出的问题，反思概念教学流程。通过对整个教学模式和教学流程进行分析，发现在概念的属性归纳与概念的辨析环节中，教师的指导内容还相对缺乏。教师在进行相应的补充讲解后，对学生进行引导：随着数学知识的增长，你们会发现“数”的范围越来越广，小学学习的是非负有理数，初中扩大到实数;“数”的扩充丰富了我们的认识，也会产生一些你可能想不到的“意外”，请自学反比例函数的图像和性质，看看有什么新发现（这里指反比例函数图像的性质有y随x增大而增大的情况，与学生在小学获得的经验会产生冲突，以此进一步加深学生对反比例关系与反比例函数概念的理解）。

数学学科的概念较多，涉及许多数字和符号，同时，由于数学概念具有高度抽象性， 学生在进行学习时，特别是自学，对一个貌似简单的概念， 往往要费很大周折才能理解，严重降低了学生的学习效率和学习积极性。许多教师对此并没有保持警觉， 缺乏对学生学习的理解。在教学的过程中，教师只进行一些数学概念的简单讲解，往往认为数学学习是十分容易的，但却没有意识到自己的“容易” 是经历了千辛万苦、长期积累才得到的。这种心理会导致师生交流出现障碍，造成教师不从学生的角度出发，不能针对学生的困难展开教学。同时，这种教学心理导致教师认为学生进行数学学习是十分容易的，因此老师往往采用满堂灌的教学方式，在教学的过程中，占据主动地位，缺乏师生之间的互动，无法调动学生的积极性和主动性。因此， 教师要对这种心理保持高度警惕， 努力从学生的认知水平出发， 通过加强与学生沟通，增加课堂互动等方式，提高对学生的了解。同时，在课堂教学中，教师要积极开展数学活动，鼓励学生参与到活动之中，保证学生参与概念本质特征的概括活动， 提高学生对概念的理解。同时要确保学生有自己想明白的机会和时间，便于学生理解数学知识概念，从而提高成就感，提高数学学习的积极性和主动性[2]。

二、学生对反比例函数图像“间断点”特征认识不够深入

原因分析：学生受一次函数与二次函数图像的整体“连续性”影响而产生“负迁移”，在“连线”过程中因所描点数量较少或没有按自变量由小到大的顺序连线而造成。

教学策略：为学生提供“坐标纸”，减轻学生在“描点”过程中所花的时间与精力;提醒学生尽量多描几个点，注意“连线”的顺序;在学生画图前，引导学生说明函数自变量的取值范围及其几何意义（x≠0，图像与y轴没有交点）。

原因分析：学生对反比例函数图像的“间断点”“不连续”特征还停留在感性认识。

教学策略：

（1）指导学生观察图像，归纳图像特点（曲线，两个分支，分别位于一、三象限）。

三、学生不易接受双曲线渐近坐标轴所反映出的极限思想

有学生提出问题：“随着自变量x的增大或减小，曲线变化趋势为逐渐接近x轴或y轴，为什么不会到达x轴或y轴呢？”

分析原因：学生受生活中的运动经验影响，认为只要向目的地不断靠近，终会到达;学生在自身的经验里没有认识到“速度”发生变化对运动结果会造成影响。