几何证明(1)——教学设计

王安华

(山东省宁阳县第六中学 271412)

课题：专题复习—几何证明(1)

一、教学目标

1.通过例题探究学习，掌握证明线段相等的基本方法.

2.通过例题探究学习，总结添加辅助线的基本方法.

3.通过一题多解，培养学生分析问题、转化以及综合运用能力.

4.培养学生推理能力，提高学生思维水平.

二、教学重点

构造全等三角形，证明两条线段相等.

三、教学难点

添加辅助线.

四、教学准备

几何画板课件.

五、教学过程

1.知识回顾(6分钟)

(1)哪些定理可以帮助我们证明两条线段相等？(学生回忆后，部分同学展示，3分钟)

主要有：全等三角形的对应边相等，等角对等边，平行四边形的对边相等，角的平分线的性质，线段垂直平分线的性质等.

(2)等腰三角形、等边三角形有什么性质？(学生回忆，部分同学展示，3分钟)

设计意图：(1)通过回忆相关定理，为学生证明线段相等提供方向.

(3)回忆等腰三角形、等边三角形性质为例题学习提供基本知识和储备.

2.新课学习(约27分钟)

(1)新课引入：今天我们通过一个例题，来学习证明线段相等的一般方法.

(2)出示例题(课件出示)

例题如图1，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，E是CB延长线上一点，且DE=DC，求证：AD=BE

(3)学生自主探究：(8分钟)

设计意图：给学生8分钟的思考时间，充分发挥学生的主体地位，让学生先独立思考，找到自己的解决办法，培养学生独立思考能力.

(4)小组讨论(5分钟)

设计意图：小组讨论5分钟，在组内展示自己的方法，获得成功感，借鉴其他同学思路、方法，提高思维能力，同时帮助有困难的同学解决问题

(5)小组展示(教师根据小组讨论情况选择发言)：(约5分钟)要求学生重点展示方法(怎么做)和思路分析(为什么这么做，你是怎么想到的这个办法？)

(6)教师点评(7分钟)

教师根据学生展示情况，做好预设

①若学生出现预设方法中作等边三角形一边的平行线，引导学生思考在其他位置作平行线，得到不同构图方法并总结.(作等边三角形一边的平行线，和另外两边相交，又会出现一个等边三角形，得到线段相等)

②若学生方法中出现了教师预设中的方法4或方法5，引导学生对这种方法进行思路分析，获得直接构造三角形全等的方法经验.

③对于教师预设方法6，根据课堂情况进行选择，若学生证明方法中出现，让学生重点介绍方法选择的思路源泉，给其他学生以启迪.若学生证明方法中未出现，教师课根据课堂时间灵活掌握(或课下出示给学生).

例题解析：

方法1如图2，作DM∥BC,与AC相交于点M.

①证明△ADM是等边三角形，得到AD=DM

②证明△BDE≌△MCD得到BE=DM

由①②得到BE=AD

方法2如图3，作DM∥AC，与BC相交于点M.

②证明△BDE≌△MDC,得到BE=CM

由①②得到BE=AD

方法3如图4作EM∥AC,与AB延长线相交于点M.

①证明△EBM是等边三角形，得到BE=EM

②证明△EDM≌△DCA得到EM=AD

由①②得到BE=AD

方法4如图5，作DM⊥AC,EN⊥AB，垂足分别是M，N.

证明△CDM≌△DEN，得到DM=EN

①证明△ADM≌△BEN得到BE=AD

(思路分析：构造要证明的两线段所在的直角三角形全等)

方法5如图6，在CA延长线上取一点M，使DM=DC，(或以D为圆心画弧，交CA延长线于点M)证明△BED≌△AMD

(思路分析：构造要证明的两线段所在的三角形全等)

方法6如图7，作DN⊥BC,垂足为N，交CA延长线于M，连接EM

①证明AM=AD(思路源于鲁教版七下110页习题10.7知识技能1题)

②利用DN是EC的垂直平分线(三线合一)得到ME=MC,进一步得到AM=BE

由①②得到BE=AD

3.变式练习(10分钟)

(变式练习可根据前面例题完成情况出示或改为课下练习.)

如图8，△ABC是等边三角形，D是边AB延长线上一点，E是CB延长线上一点，且DE=DC，求证：AD=BE

4.课堂总结(2分钟)

今天你有哪些收获？

(重点引导学生总结：①证明线段相等的方法，②构造全等三角形的方法，③作等腰三角形一边的平行线与另两边相交，有什么作用？)

5.布置作业

(2015年烟台中考试题)如图9，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且DE=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.试证明：AB=DB+AF.