崔亚澜
(云南省大理大学教育科学学院 671003)
在解答某一数学题时,应将原题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题上,下面以2019年贵阳市中考题第18题第(2)题为例.通过利用转化思想(三角函数之间的转化、角与角之间的转化、边与边之间的转化)来进行解题.
题目如图1,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形;
这是一道中考数学题中经典且常规的几何题,考察学生对几何图形性质的理解与运用.
解法一利用三角函数的转化
点评本解法的切入点是利用好cosA,关键是利用(同角的)正、余弦的平方关系sin2A+cos2A=1,从而实现sinA和cosA之间的转换,这种方法只需作BE一条辅助线即可求解.在平面几何题中,当一个角一定,又有三角函数值为定值时,通常可考虑利用三角函数之间的关系(平方关系、商的关系等)来解题,会有意料之外的收获.
解法二利用角的转化
思路1∠A转化为∠CDE
证明如图3,连接BE,交DC于H.
因为四边形ABCD是平行四边形,故AB∥DC,所以∠A=∠CDE.
又AD∥BC,AD=BC,而AD=DE,所以DE∥BC,DE=BC,故四边形BCED是平行四边形.
思路2∠A转化为∠HMB
证明如图4,连接BE,交DC于H;过点H作HM∥BC.
因四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC∥HM,∠A=∠HMB.
点评利用三角形的中位线平行于底边的关系,达到了边和角的转化,既能提供线段的位置关系(平行),又能提供线段的数量关系(相等).
解法三边的转化
证明如图5,连接BE,交DC于H;过点D作DM∥BE,交AB于M.因为AD=DE,即D是AE中点,故DM是△ABE的中位线,所以M是AB的中点,即AM=MB.
又AD=DB,故△ABD是等腰三角形,根据等腰三角形“三线合一”,可得MD⊥AB,而MD是△ABE的中位线,所以BE=2MD.
点评由题目的已知条件AD=DB,可以得到等腰三角形,利用等腰三角形“三线合一”性质,作辅助线MD,通过利用“三线合一”来建立线段之间的等量关系以及位置关系(垂直),达到边与边之间的转化,借助直角三角形寻求线段之间的关系解题.
以上这三种解题方法,运用了转化的途径,即“添线”.添加辅助线在几何题中常常起着过河搭桥的作用,通过辅助线造成基本图形,从而促使分散条件集中化、隐含条件明显化,将已知元素联系起来,实现转化还有“换元”等途径.总的来说,本题目突出了“转化”在中考数学中的重要性,在研究数学问题时,我们要以不变应万变,不变的是知识,万变的是问法.我们说转化是客观存在的,而转化思想是主观对客观的反映,所以数学解题的过程就是一个通过转化获得问题解决的过程.其实,转化思想还是数学学习过程中常用的思想方法,如司马光砸缸、曹冲称象等故事,都成功地运用了转化的策略,是一切数学思想方法的核心.从这道题中我们可以看出,从多角度、多方位来看同一个问题,能培养中学生的数学思维,遇到几何试题都可从“数”、“角”、“边”三方面思考,尝试求解.本题中值得注意的是,不论如何转化,都保证了形变、量变而质不变,所以在运用转化思想时,重要的是保持转化的原则,即转化的内涵不管如何丰富,等价转化和非等价转化、已知与未知、数量与图形、图形与图形之间,都可以通过转化来获得解决问题的转机,但是不可以改变其本质.