深度学习视角下习题课的设计与实践*——以“解一元一次方程的习题课”为例

广东省广州市教育研究院(510000) 伍晓焰

广东省广州市南武实验学校(510000) 李 平

1 深度分析教学内容及现状,确立教学目标

深度学习是指在教师引领下,学生围绕具有挑战性的学习主题,全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.在这个过程中,学生掌握学科的核心知识,理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法,形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观,成为既有独立性、批判性、创造性又有合作精神,基础扎实的优秀的学习者,成为未来社会的主人.

在解一元一次方程的常规教学中,教师普遍侧重于教学生快速正确地掌握解一元一次方程的一般步骤,往往出现重结果轻过程,重步骤轻原理和重形式手段轻内在思想方法的情况,学生常处于浅层次学习.造成这些局面主要有两个教学误区,误区一：将解方程等同于(含未知数)计算,忽视解方程中蕴涵的化归思想;误区二：解方程重算法轻算理,忽视等价变换与恒等变换的差异.如何改善教学以达到深度学习的目的? 在学生已经学会解一元一次方程的基础上,确立本节课的教学目标：(1)通过对一元一次方程解法的复习、题组练习,明确解方程的基本目标(使方程逐步转化为x=a的形式),熟练掌握解一元一次方程的基本方法和步骤;(2)在解一元一次方程中理解算理,感受化归思想以及程序化思想的运用;(3)学会查找、分析及纠正解一元一次方程的常见失误.

教学重点：正确解一元一次方程.

教学难点：理解并能运用化归思想解一元一次方程.

这样的教学目标体现了以学生发展为本的数学教育观,不仅包含知识和技能,而且包括数学思想方法、数学思维、能力和理性精神.

2 深度备课,提升习题课立意

第一次集体备课,明确研讨主题是如何引导学生进行深度学习,从突出解一元一次方程的技能训练转向突出化归思想.

问题1：解方程x+2=0;

问题4：解方程x+5(2x-1)=3-2(-x-5);

第一次的教学设计,表面上看是以5 个题构成一个整体题组,由浅入深,逐层递进,梯度变式,实际上是以工具性理解为出发点的设计,可以达到解一元一次方程的技能训练的目的,但由于题目与题目之间孤立、缺乏联系,思想性及开放性不足.

第二次集体备课,尝试将工具性理解改为以关系性理解为出发点的教学设计,适度增加开放性,设计为“半开放式+梯度题组”：

拓展1：解方程2x-|x+1|=3(原来的封闭性问题改为拓展变式题);

拓展2：解方程2x2-3=5.

第三次集体备课,经过深入探讨,明晰本节习题课既要再次综合提升学生解一元一次方程的技能,针对性处理解方程中的易错点,还需要在解方程过程中让学生感悟数学思想方法,最终设计出“开放+变式+反思题组”：

变式3：已知：,(1)求x2的值;(2)求x的值;

变式4：已知关于x的方程, 用含a,b的代数式表示.

通过一个母题,加上四个变式,从“浅母题”到“深变式”(见图1),整体上呈现以“化归”为核心的系列变式,前半部分突出“复习+纠错+拓展”的梯度变式(变式1),后半部分突出“承前+启后+深度”的拓展变式(变式2～4),其中变式4的解含参数的一元一次方程对学生运用数学思想方法解题提出了更高的要求.

图1

经过三次集体备课,课堂教学设计从最初的工具性理解定位,到关系性理解定位,最终定位为发展学生数学核心素养数学抽象、逻辑推理和数学运算,在解变式方程题组过程中通过分析、综合、抽象和演绎等逻辑思维活动中,引导学生开展深度学习,培养学生的创新意识和能力.

3 深度剖析认知困惑,梳理影响深度学习的因素

学生解方程过程中的认知困惑,是影响学生能否进行深度学习的主要因素,需要教师在教学前进行深度分析.从解一元一次方程过程中涉及的基础知识来看,首先,掌握算术四则混合运算(运算顺序)是第一块基石;其次,有理数混合运算(出现负号)是算术的“类比+化归”结果;第三,整式加减(恒等变换)是有理数混合运算的“类比+化归”结果; 第四,等式的运算是代数运算的转折点,由“恒等变换”转向“等价变换”;第五,解方程是“恒等变换+等价变换”的结合.因此,教师只有精准分析学生认知困惑点,如去分母犯错的成因和不易理解运用化归思想的成因,才能有的放矢引导学生从浅层学习层次进入深度学习.

3.1 去分母

①方程右边的-3 漏乘公分母10,以为-3 没分母,故不需乘10 去分母;

②对等式性质“两边同时乘”的“两边”理解存在误区,两边是指两边的各项而非其中一项;

③不理解“等式的运算”与“算式的运算”差异,前者是等价变换,后者是恒等变换;

由此可见,在备课时教师针对学生易错点表象,还原学生认知过程的心智推理路径,结合学生依赖的对知识理解的程度,从而找出学生犯错的认知逻辑真相,才能有效解决学生的认知困惑问题.

3.2 化归思想

在解方程过程中,由于“题型”与“解题招式”对应的客观存在,学生往往将解方程看作解方程步骤的机械重复,较少理解解方程过程中蕴涵的算理和化归思想.因此,本节课要从学生实际认知水平和在归纳总结解方程步骤基础上突出解题原理,微观分析学生对化归思想和“算式的运算”(恒等变换)和“等式的运算”(等价变换)的理解水平,才能有效引导学生从浅层进入深度学习.

4 深度进行教学实践,促成深度学习

本节课的教学流程如下：

课前利用信息技术软件,收集学生前测数据,了解学生对一元一次方程解法的掌握情况,使习题课设计的训练题更适合所教班级学生的水平.

4.1 教学环节一：知识回顾

教师预设问题：方程的解的形式是什么? 什么是解方程?方程的每一个步骤的依据是什么? 为什么要去分母? 能否改变各步骤的运算顺序? 如何检查我们的计算是否正确?

引导学生回顾解方程的一般步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1;解方程,要求学生说出各步骤运用的知识;回顾方程解的形式,并说出什么是解方程.

最后老师强调说明,解方程的目的就是最终使方程变形为x=a(a为常数)的形式,各种步骤都是为此而实施的,即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下,逐步使方程变形,从而使“未知”逐步转化为“已知”.

意图：此环节对解方程的本质有比较透彻的认识,帮助学生树立解方程的目标意识,洞悉算理,凸显化归思想,使得解一元一次方程不再仅是按照既定步骤进行机械操作了,为学生后续学习的解方程、不等式打下了良好的思维方式基础.

4.2 教学环节二：分析错因

老师展示该题前测的答题情况,

学生活动：学生指出错误.

老师追问：为什么“3”没有乘10? 能否改变运算的顺序?各个步骤容易出错的地方有哪些?

引导学生分析归纳出此题易错点的原因,一是以为(-3)没有分母, 故没有乘公分母, 二是对化归的依据：等式性质(移项、去分母)的理解不准确.

意图：由学生前测题来设置问题,通过实例进行纠错让学生学会严谨的态度分析问题,清楚明白解一元一次方程各步骤的注意事项,对解一元一次方程各步骤理解更加深刻.

4.3 教学环节三：整理反馈

师生活动：教师将学生讨论的易错点的结果进行整合,梳理归纳出各步骤的注意事项.

小结：解一元一次方程的一般步骤：去分母——去括号-——移项——合并同类项——系数化为1 一元一次方程.“转化”依据：①等式性质(移项、去分母); ②合并同类项; ③去括号法则

解方程各步骤的注意事项：

步骤名称注意事项去分母防止漏乘(尤其不含分母项),注意分子添括号去括号注意变号,防止漏乘移项移项要变号合并同类项(ax=b,a/=0)计算仔细,不出差错系数化为1分清分子和分母

意图：通过小结,易错点的错因分析总结,将数学知识系统化,教学生学会归纳解一元一次方程过程中的易错点,以及检验方程解的应用, 让学生学会用严谨的态度解决问题,提高整合归纳知识的能力.

运用信息技术进行课堂限时检测,通过数据分析,准确、快速反馈学生解题情况.

意图：检测学生对知识内化、理解和掌握程度,进一步巩固一元一次方程的基本思路和步骤.

4.4 教学环节四：思维拓展

变式3：已知：(1)求x2的值;(2)求x的值;

变式4：已知关于x的方程用含a,b的代数式表示.

学生活动：学生代表尝试用本节课所学的思想方法分析、解决问题,说出解题思路.

教师活动：鼓励学生用化归思想来解决问题,并与学生共同解决问题.

意图：设计变式题,让含绝对值的方程、二次方程、含参数等不常见的问题来激发学生的思维,使学生学会运用化归思想去解决问题,发现化归思想解决问题的作用.同时,变式2 涉及分类讨论思想的运用,培养学生思维的严谨性.变式3涉及整体思想来实现化归,让学生进一步感受用数学思想来解决问题的巧妙之处.

4.5 教学环节五：课堂小结

师生共同进行课堂小结：

意图：通过图式归纳提升,进一步体现化归思想,直观简洁地回顾题组,逐步把复杂转化为简单,把未知转化为已知的演化过程.

课堂小结突出解一元一次方程的核心是化归思想,即将一元一次方程转化为.其中, 变式1 是将含分母方程转化为不含分母方程;变式2 是将含绝对值方程通过分类讨论转化为不含绝对值方程;变式3 是将一元二次方程通过整体思想转化为简单的一元一次方程,再进而求解;变式4 则是将含参数的方程,通过理解算理,灵活运用解一元一次方程的步骤求解.这种精心设计的小结为学生沟通一次式三个知识体系的内在转化联系形成提供运用类比方式学习奠定了基础.

5 习题课开展深度学习的思考

培养学生数学素养的主要途径在于将浅层学习转为深度学习,那么,成就深度学习的内因和外因是什么? 如何从知识观、学习观和教学观理解深度学习,值得思考与探索.

5.1 教学价值决定高度

习题课的设计与教学不仅要解决问题,而且还要刨根问底追问解决问题背后的理念和数学思想,突出对思维本质的追问,这是数学教育的价值所在.代数习题课教学中要以学习数学思想为立意,领悟算法中蕴涵的算理为主线,从突出解方程程序化技能进阶到兼顾掌握解方程基本步骤又凸显化归思想,具体载体就是设计的从针对性练习到变式性练习再到综合拓展性练习,引导学生在认知梯度和解决问题路径体验和内化数学思想方法,实现全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的深度学习.

5.2 题组设计决定质量

习题课不是简单地做更多的习题以巩固解题套路,好的题贵精不贵多,需要有明确的主题线索进行串联、变式和组合,如本课通过一个解方程母题的不断变式,从解不含分母到解含分母的一元一次方程,从解不含参数到解含参数的一元一次方程,通过整体对比分析让学生理解解方程的算理和算法,进而深刻理解并运用数学化归思想提供了有效的内化的途径.本设计还有一个精妙之处,就是设计的题目通过适当减少计算量,获得了更多时间以增加学生的思维量,确保了深度学习的质量.

为了达成高质量的深度学习,本节课的题目设计编排打破算术运算、整式加减、解方程等知识点的割裂认识,实现了学生从算术到代数的顺利过渡,形成学生整体综合思维能力,它促使学生学习一元一次方程解法不仅仅是理解运用等式性质、合并同类项、去括号法则解方程,而是学习一种研究求未知数的新工具,学习一种如何运用化归思想研究数学问题的思维方式.

5.3 多元参与决定成效

对于解含分母方程易错点,通常的处理方式是由老师讲解纠错,但学生只有亲身经历“认知困惑→重构认知→解决问题”的过程才会产生深度学习.本节课前部分教师根据前测数据,准确剖析学生对等式性质中“两边”和“一边”概念产生歧义性理解的犯错真相,然后将分析错因、易错点梳理等任务交给学生完成,达到了预期教学效果.

5.4 归纳提升决定发展

习题课的题目往往比较多,呈现方式、解题方法也变化多端,学生通过一节课学习到的不仅仅是一个又一个习题的解法和策略,更重要的是获得持续发展的能力.本课归纳突出数与式的运算、方程与含参方程的内在联系,促使学生在认识代数知识上有新的提升和超越,促使学生理解代数式和解方程拓宽了解题思路,在整体综合的意义上实现代数知识的融会贯通.

综上所述,开展深度学习是一个教学系统工程.在教研和教学具体实践中,教师需要深度洞察学生的认知困惑真相,依据学生的认知特征结合现代学习理论在预设与生成的师生互动过程中,引导学生发现知识的产生原过程和解题思路的探索过程;运用教学心智将学生的认知困惑点转化为深度内化知识的机会,将最近发展区转变为拓展提升学生数学思维的生长点,将解题反思和单元归纳转变为学生融会贯通知识块内在联系的制高点;运用变式题形式精准设计系统性题组,从数到字母、式再到含参方程形式逐步抽象的阶梯递进,从直接解题到间接解题再到转化解题逐步复杂的阶梯递进,从方法选择到灵活运用再到优化策略逐步(思维)高阶的阶梯递进,促使学生实现从解决问题到数学思想方法形成的心智进化和跨越,感悟“简单题找方法,方法解复杂题”的一般性解题策略.因此,习题课开展深度学习意味着从依赖题海战术的粗放型方式转向依靠教研的科学精准发展方式提高教学质量,它引发教师对“人的学习”的重新思考和洞见,以实际行动探索课堂教学如何有效开展深度学习的路径与策略.