指向思辨过程的图形与几何概念教学*——以“圆”单元起始课教学为例

江苏省盐城亭湖新区初级中学(224002) 王国强

概念是初中数学教学的重要内容之一,图形与几何领域的许多概念因其具有较高的抽象性,而成为数学教学的难点.在图形与几何概念教学中,如果把概念文本内容的记忆与强化当作教学的终点,一味通过机械的模仿与训练,最终会让学生远离数学.初中生在学习图形与几何概念时,受到已有认知结构和学习能力的限制,会显得有些困难.此时如果教师以概念的学习过程作为载体,以关注思维发展为过程目标,便可激活学生已有经验,让学生经历概念抽象、发展的全过程.“圆”一课是图形与几何概念教学的经典课例,亦是一节种子课.诸多名特优教师都有自己的思考与演绎.笔者从指向概念形成过程、能力发展过程、思维提升过程的视角,对本节课的教学进行分析与重构.

1 身心谐振——从有限感知到无限抽象

数学是真实世界抽象的产物,图形世界更是如此.“圆”一课中涉及的圆在生活中随处可见,有人认为圆是世界上最美的图案,但它与数学中要研究的圆之间既有联系亦有区别.在导入环节,是从浅层次的实物观察感知,还是由深层次的运动成圆切入? 如何将导入部分设计的数学情境与圆的数学本质“到定点的距离等于定长的点的集合”相联系、相融合.佩伯特提出了“参与思考的对象”这个概念,用以说明现实和数字世界中的对象如何成为大脑中的意识对象来帮助建构、检验和修正新旧知识之间的联结.对“帮助思考的物体”进行有效设计,让学生产生身心谐振的独特效果,从而促进孩子们对圆本质的初步感知.

上课伊始,通过章头图摩天轮、篮球场的观察回归学材,进而感受将一块小石头扔进平静的水面,泛起的层层微波形象的情境引入,唤醒学生的已有经验和知识储备,激发学习兴趣和探究欲望.最终定格在核心问题：观看章首图, 战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中的记载“圆,一中同长也”.提出问题：你理解这句话的意思吗? 此时教师留白,待学生静静思考后.继续引导：拿出课前准备的大头针和绳子,在半透明纸上用大头针固定一个点,绳子一端绕在大头针固定处,另一端绕着固定处旋转一周并用笔画出运动轨迹.让学生观察所画轨迹思考有什么发现? 学生操作结束后,教师让学生展示单个学生作品(如图1),小组作品(如图2),接着教师也依托新媒体动态演示操作,不断增加点的数量,让学生体会圆形(如图3).

图1

图2

图3

活动环节,教师理想的预设：通过覆盖半透明纸,将学生绘制的点慢慢集聚到一起,学生头脑中的圆慢慢形成、感悟抽象、圆的描述性定义、集合性定义呼之欲出.但实际活动中受纸张透明度的限制,不能将这一现象更好的呈现.此时,借助新媒体设计虚拟的助学人物,参与学生的学习活动,帮助学生完成现实受限的抽象活动,纸张在慢慢堆叠过程中,圆慢慢浮现在学生眼前,学生自然抽象圆的本质到定点的距离等于定长的点的集合,这一过程与学生自己身心的感官认知和经验的积累是相互吻合的.甚至在此过程中,点的数量“多一些”“再多一些”这一要求,与学生内心对活动的意愿也是一致的.在身心谐振过程中,虚拟的助学人物帮助学生将圆的认识与已有经验联系起来,形成更深刻、更完备的经验扎根于学生的思维记忆中.

2 具身体验——从浅层描摹到深度建构

在满堂灌的数学教学中,学生的学习就是简单的信息输入、输出和存储的操作过程,有人将这样的学习简单比喻为“脖子以上的学习”.随着课程改革的不断深入,目前的初中数学教学越来越重视具身体验型学习活动的设计,让学生全身心的参与这样的活动,在操作中感知,在探究中顿悟,在实践中体会知识的发展过程.在具身体验的学习活动中,学生的触觉、听觉、视觉都能产生积极的反应,从而使新知与学生的已有经验、认知结构产生一种共鸣,真切地感受到学习、创造的快乐.

“圆”这节课中,可以设计具身体验活动的环节较多.比如以“画圆”为例,全课共可以设计三次画圆的活动.第一次画圆：教师事先给每个小组准备以下学具：硬币、有圆形孔洞的直尺、圆形透明胶带、圆规、笔端系着短线的笔、中间用细线连接的两支笔等,然后要求每位同学选择物体或工具,任意画一个圆.第二次画圆：尝试用圆规画一个圆,想一想：你在画圆时遇到了什么困难? 把你的困难与同桌说一说.第三次画圆：确定圆心的位置,并用字母表示;画一个半径为2 厘米的圆,并任意画出一条半径.再如以“点和圆的位置关系”为例,可以在教室前面和后面墙壁各放两面飞镖母版,让全班四个大组依次进行现场投掷飞镖游戏活动,组长统计本组每位成员掷中的环数,选出本组优胜选手给予现场奖励和展示分享,进而通过亲身体验深度理解点和圆的位置关系(如图4).

图4

具身认知理论认为学习是全身心参与的过程,具身体验应为知识有效获取不可缺少的途径,其知识建构应该依赖于学生自身的感知、体验及由此产生的对外界事物的解释.对于“画圆”、“点和圆的位置关系”这种体验性较强的操作活动,单纯地依靠言传、演示讲解的方式进行教学,难以帮助学生内化所学所知,最终只会让学生的学习停留在浅层模仿、描摹之中,从而难以实现对知识的透彻领悟与深度理解.第一次画圆让学生体验借助圆形物体描圆过程中的“所见即所得”,工具画圆过程中的“所思亦可得”; 第二次画圆让学生体验圆规画圆的操作性难点,并在交流中解决这些困难,形成初步的画圆技能;第三次画固定大小的圆,既巩固画圆的技能,又感知圆的特征.在数学教学中,教师应该根据知识内容、组织形式、活动目标、操作材料的不同,尽最大可能去增加体验的环节或延长感受的时间,使学生能够进行身心融入的具身学习,将“脖子以上的学习”转变为“全身心的学习”.

3 境脉想象——从静态读图到动态成像

爱因斯坦说过：“想象力比知识更重要,因为知识是有限的,而想象力概括着世界上的一切.”许多人在生活中观察几何图形时,往往把它看成可视的、静止的、固定的,很少有人用一种动态的眼光去观察图形,既可以培养学生的数学想象力,又可以帮助学生形成一种观察生活的数学视角.传统的教学中,“圆”练习环节无非是要进行一些基本练习,比如“关于圆特征语句的判断”、“给定圆半径和点到圆心距离判断点与圆的位置关系”、“用图形表示到某点距离小于或等于定长的点的集合”等.这样的题组练习,把知识从情境中分离出来,教和学脱离原始境脉,进行纯知识的判断与演绎.虽说可以提升基础知识的掌握度、记忆度,但长期以往,枯燥、乏味慢慢就会成为数学的代名词.

比如练习环节中常见的题例：如图5,一根5m 长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请求出羊活动区域的面积.

图5

本例虽然对于圆心和半径的关系在实际问题中进行运用,依托面积进行融通理解,但根据学生的思维现状,对于这类动态成圆的体验感悟还是比较深入的、深邃的.练习要想实现其巩固提升的作用,必须在基于真实的任务情境中进行,否则练习不会有效、不会深入.学生的学习除了在固化的教室之中,一切与他息息相关的生活场景,都应该成为学习的补充,应该是学习生态的一部分,让本不可视的半(直)径、圆心变得可视.被栓住的小羊等动态成圆的生活场景,当我们用运动的眼光去观察、去想象,圆的身影立即呼之欲出.这些不同境脉的引入,不但可以丰富学生学习的载体,同时还可激发学生学习积极性,更好地弥补传统数学学习的不足.在数学教学中,培养学生的想象力可以更好地促成创造性思维的发展,对提高学生数学素养有着重大的意义.

4 素养积淀——从数学理解到生活实践

初中数学课堂教学常常因为空间上囿于教室,主观上知识本位的影响,显得非常封闭.在这样封闭式课堂教学中,概念类陈述性知识的记忆复述、解题类程序性知识的模仿训练占据了主导地位,从而经常忽视学生基于真实问题情境的实践能力培养.伴随着教育从“知识核心时代”走向“素养核心时代”,我们的课堂教学也应该从封闭走向开放,从知识本位走向素养本位.教师应该充分挖掘数学与生活、数学与其它学科之间的融合点,预设一些“任务驱动”、“问题驱动”、“学思驱动”类的学习主题,让学生自主建构课外学习共同体,进行小课题研究,从而让学生的学习走出教室,走向真实的生活世界.“圆”一课中涉及到许多可以用来延伸学习的素材,我们应该充分利用,彰显这些素材的应用价值.

比如主题一：车轮为什么要做成圆形? 这与圆的哪个特征关系最大? 主题二：校园里的窨井盖为什么要做成圆形?做成方形有什么不好的地方? 主题三：运动会时,运动场上的大圆是怎么画出来的? 主题四：利用编程软件设计有关圆的图案,思考其中的原理是什么? 主题五：STEM 理念下圆与动点的关系创意设计等.

从课内知识提炼出课外学习主题,以此累积综合与实践学科的课程资源,打通数学、综合与实践两学科间的课程壁垒,使得学科教学由单一走向整合.这些基于数学知识提炼出的学习主题,与传统的探究性学习相比既强调学生的主动参与、勤于动手,更强调数学知识本身的全程参与.在探究过程中,教师应密切关注每一个学习共同体的研究过程,当学生碰到困难向老师求助时,教师应及时为其提供合适的脚手架,而其余的时间教师应保持旁观者的沉默,静待学生思维发展的共振共鸣.这种来源于数学、植根于生活情境的探究性学习,既可以加深对数学知识的深度理解,提升学生应用数学知识解决实际问题的能力,还能进一步激发学生的创新精神,优化学生的创新思维,帮助学生积淀数学素养.

综上,随着智能时代的快速发展,学科育人要求的进一步明确,初中数学图形与几何概念的深度教学,有助于学生空间观念和空间思维品质的提高,有助于学生对数学文字、图形、符号语言的深入理解,有助于学生数学学科素养的提升.指向思辨过程的图形与几何概念教学为践行立德树人根本任务,促进学生全面发展提供生态环境,为高效达成学科育人的学习架构提供思维场域,为创新优化新媒体时代的融合共生教育提供智慧平台.