平板电脑下高中数学概念教学之我见——以“指数函数”为例

广东省广州市广东广雅中学(510160) 黄淑珍

1 问题的提出

数学概念是反映空间形式和数量关系本质属性的思维形式,是数学命题、推理和论证的基础,理应成为中学数学教学的重点.《普通高中数学课程标准(2017年版)》建议高中数学教学要“重视信息技术应用,实现信息技术与数学课程的深度融合”.在信息时代,如何充分发挥信息技术的作用促进数学概念教学是值得研究的问题.当前关于平板电脑在中学数学课堂教学中的应用研究已经取得一些成果,但是这些研究较少关注到数学概念教学.2019年平板电脑进入我校高一课堂,本文在实践基础上,尝试对以下问题进行研究：如何发挥平板电脑的优势,更好的服务于数学概念教学;通过具体案例分析平板电脑应用在高中数学概念教学中的效果.

2 平板电脑在数学概念课中的运用

学生普遍对数学概念的学习不重视,并认为数学概念的学习枯燥无趣,学习时对概念的自主探究较少,认为概念学习关键就是背概念和利用概念解题.教师在进行数学概念教学时,很少提前让学生预习,忽视了学生的自主学习,课堂上“重解题、轻概念”,忽视概念的形成过程.

首先，将平板用于数学概念课中,将抽象的数学概念形象化,让数学活动更有趣,让学生接触到数学的本质,加深体验,提升自主学习能力,同时留给学生更多的思考空间,大幅度地提高学习效果.

在课堂教学中,课件可以在教师平板、学生平板、电子白板等设备实现同步展示,学生可在平板电脑上完成与教师互动,与同学探讨,教师与学生互动及时.

其次,平板电脑可利用相关软件实现对学生答题情况的实时统计分析和对比展示,便于教师及时调整教学方向.另外,学生做作业、教师布置和批改作业都能在平板电脑上完成,而且批改完成后,系统会自动生成作业分析报告,图文并茂,教师可根据分析情况及时反馈,对学生进行针对性辅导和讲解.同时,根据不同学生的答题情况,系统会自动推送跟踪作业给相应学生,更加精准.总的来说,数据的统计分析更加便捷准确.

经过一个学年的实践,笔者认为在平板电脑下的高中数学概念课具体的教学模式可分为如下六个步骤：

2.1 目标导学,微课先行

教师研究学习目标,学生自主预习.在这个环节中,教师需要课前设定学习目标,制定详细的预习任务单,从教学背景、概念性质、特征、分类等方面考虑,录制微课分享给学生自主学习,也可以发起一些讨论和交流问题.教师再借助平板电脑上学生课前自测的数据精准分析学情,更有针对性的进行二次备课.

录制微课时,可以使用以下方法引入,如联系概念的现实原理,具体到抽象的引入,新旧概念类比相似概念,趣味故事微课引入等.

2.2 自主合作,体验生成

教师设定任务单,学生自主探究,小组合作互助,全班交流补充.在这个环节中, 教师课堂上用平板推送目标明确、难度逐步提升的任务单,可发布相关讲解视频加以辅助.学生可将自己探究结果拍照或者录制视频上传,利用平板中的“分组讨论”功能,交流不受时空限制,便于同伴互助,也能从不同小组中共享其他小组的成果.教师可用平板将小组优秀成果“广播”分享给全班抢答,小组PK,学生主讲等功能也能提升学生兴趣和课堂效率.

2.3 释疑点拨,抽象特征

教师答疑共性问题,突出重点.通过目标导学和自主合作环节,智能化批阅学生情况,了解学生的掌握情况,释疑点拨,教师答疑共性问题,突出重点,为后续思维提升打下基础.在这个环节中可利用平板电脑中的“抢答”、“分组讨论”、“PK”、“个人主讲”“投屏”等功能,增加师生之间的互动,实现数据的实时分析、同步展示,着重点评、补充重点或共性问题,此环节适合对基础例题等讲解.

2.4 深入探究,提炼升华

拓展学生思维,提升思维层次.在这个环节里,可以设置一些概念应用的例题,如判断定义、生活中的实际应用等来拓展学生思维,提升思维层次;深入探究关键问题,混淆问题,进行变式训练,小组合作探究,生生、师生交流;利用平板中的“分组讨论”功能,教师可以关注学生讨论的全过程.

2.5 目标检测,练习巩固

大数据反馈教学效果,使教学更有针对性.在这个环节中,可以利用平板布置线上线下两种作业,也可以分层推送作业.线上作业选择题自动批改统计,其他题型在人工批改后会自动生成分析数据,便于教师使用.必要时还可以设置学生互批等多种形式,提高批改作业的效率.课后,让学生利用网络平台丰富的资源库开展知识的拓展与巩固,可以按学习小组进行课后探究,联系生活,进行概念迁移应用;并借助网络平台的数据反馈更好地获取学情.

2.6 评价反馈,反思拓展

在这个环节中,教师引导学生归纳反思,梳理知识结构,建立知识体系;学生在平板上完成在线检测,以选择、填空为主,力求短时间完成,及时评析.过程性评价可由学生自评、互评、教师评价综合完成.最后,教师有目的的将平板电脑融入概念教学,从课前自主学习、课上师生互动、课后评价反馈三个方面,可以检测使用平板电脑进行概念教学后学生自学能力的提高;此外,平板电脑能进行知识点分类,易错题归纳,录制课后答疑微课,分享课件等,极大地提高了教与学的效率、效益和效果.

3 平板电脑下“指数函数”概念教学过程设计

3.1 目标导学,微课先行

活动阶段是数学概念建构的起点,要通过活动、操作让学生亲身体验,感受概念的直观背景,以培养学生用数学的眼光观察世界.基于此,录制以下微课.

平板推送微课内容：幂函数的研究方法,幂函数的概念、图像与性质;问题1 游客人数增长模型及问题链;自主学习自测题.

问题1：游客人数增长模型(课本P111)

随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加,A、B 两地景区自2001年起采取了不同的应对措施,A 地提高了景区门票价格,而B 地则取消了景区门票.表1 中给出了A、B 两地景区2001年至2015年的游客人次……

探究1：比较两地景区游客人次的变化情况,你发现怎样的变化规律?

探究2：游客人数随之增长,且B 地人次比A 地增长快,这是数据给我们的宏观印象,你能用什么数学方法来描述这种变化?

学生活动：学生用图形计算器作图,分别画出A、B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图像.

探究3：为了便于观察,可以先根据表格中的数据描点,然后用光滑的曲线将离散的点连起来.观察图像,你发现了怎样的变化规律?

探究4：A 地景区的游客人次近似于线性增长,B 地景区的游客人次则是非线性增长.你能解释一下什么是线性增长吗?

探究5：请同学们算一算两地游客人次的逐年增加量,你从增加量上发现规律了吗?

探究6：与前一年人次的差,用逐年增加量10(万次)来刻画它的增长规律.你能写出这个一次函数吗?

微课设计意图：回顾旧知识,建立新旧知识间的联系;学生直观感知表格中数据的变化规律,建立初步认识;通过问题链,引导学生观察图像,从形到数,回归数与数之间的运算.类比年增加量,迁移运算思路,从学生对给出的数据的认识,抽象到对数学运算的认识.

3.2 自主合作,体验生成

探究1：我们知道,年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B 地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢? 请你试一试.

学生活动：学生借助图形计算器运算,并展示运算结果.允许学生尝试各种不同的运算,并进行比较分析.

从2002年起,将B 地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次,结果接近一个常数,我们可以将它称之为年增长率,从而提出增长率的概念.像这样,增长率为常数的变化方式,我们称为指数增长(指数部分的变化).因此,B 地景区的游客人次近似于指数增长.

探究2：写出B 地景区人数变化规律的函数解析式.

学生活动：引导学生用增长率来描述每年的游客人次,得到游客人次的增长倍数与年数之间的关系.显然,从2001年开始,B 地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：

1年后,游客人次是2001年的1.1 倍;2年后,游客人次是2001年的1.12倍;3年后,游客人次是2001年的1.13倍;x年后,游客人次是2001年的1.1x倍.

如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍,那么：y=1.1x,x ∈[0,+∞),这是一个函数,其中指数x是自变量.

设计意图：通过问题串,启发学生思维.引导学生经历从表格到图像,再到解析式的研究过程,分析游客人次的增长倍数与年份之间的关系,体验函数模型的抽象过程,体会函数模型的发生发展过程,学会研究问题的一类方法.

问题2：碳14 衰减模型(课本P113)

1936年,良渚遗址第一次被发现.2007年,考古专家根据古城墙边的碎陶片,做出判断：良渚古城的年代下限是公元前2300年.2011年,浙江省考古研究所与北京大学碳14实验室合作, 对从良渚古城发掘出的一系列样本进行碳14测年.十几组数据显示, 良渚古城城墙的年代大致在距今4300年至4500年之间.

探究1：当生物死亡后,它机体内原有的碳14 含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),若年衰减率为你能刻画死亡生物体内碳14 含量与死亡年数之间的关系吗?

学生活动：自主尝试建立模型.

探究2：科学家发现,大约每经过5730年死亡生物体内碳14 含量会衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.你能求出P 吗?

设计意图：从已有的科学结果出发,引导学生进行数学表达,在数学化的过程中,归纳推理出指数函数模型.两个实例侧重点不同, 问题1 重在体验函数模型的形成发生过程,问题2 重在数学化过程,所以教师在处理方法上也应有所区别,体现层次性.

平板功能：分组探究,学生主讲,组间pk,师生互动.

3.3 释疑点拨,抽象特征

过程阶段是概念学习的关键,是对外显数学活动的进一步加工,让学生经历思维的内化,通过逻辑推理得出数学结论,用数学的思维思考世界,最终抽象出概念所特有的性质.基于上述理论指导及思考,创设如下探究环节.

问题3：比较问题1.2 中的两个实例,B 地景区游客人次增长与碳14 衰减的函数解析式y=有什么共同特征?

探究1：你还能举出其他类似的函数模型吗?

探究2：这些函数有什么共同特征?

探究3：推广到一般情形y=ax底数a有什么要求?

此时,借助平板电脑安装好的图形计算器快速做出函数图象,教师予以适时引导,使学生经历思维的内化,找到临界点,得出底数a的范围.如图2,可以看出,当a= 0 时,当且仅当x ＞0 时,ax恒等于0,此时图象与x轴正半轴重合,但无研究价值,当x ＜0 时,ax无意义;当a=1 时,y=1 为常函数,图象与x轴平行.

设计意图：过程阶段是对概念的深度加工,在教师的引导下,让学生在“做”中学、“做”中思、“做”中悟.借助图形计算器进行多次任意赋值,使学生经历思维的碰撞,实现自主猜想与验证,并在成功与失败中获得新知,以培养学生自主探究与合作交流的学习习惯;此外,通过追踪同一个指数函数图象,得出指数函数中底数的范围,以弥补教科书中灌输式教学的不足.

在活动过程阶段为对象阶段定义的引出埋下伏笔,从具体的实例抽象出一般数学概念,层层深入,实现了用数学语言表达世界,对指数函数概念有了深度理解.通过分组描点作图,使学生合作交流,在巩固旧知的基础上,提升学生的操作能力.借助平板电脑优化教学内容的呈现方式,作图精准无误, 数形结合, 有助于提高教学效率; 探究指数函数特性,形象直观,促进学生对数学本质的理解.

设计意图：通过几个不同的函数模型,抽象出指数函数的概念.经历从特殊到一般、具体到抽象的过程,从中体验抽象一类函数概念的方法,提升数学抽象素养.教师引导学生分析结构特征,理解概念,并通过追问,引发学生思考,完善底数的取值范围.抓住自变量在指数位置这一基本特征,理解底数取值的合理性.

例1(1)下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( )

A.y=(-4)x

B.y=πx

C.y=-4x

D.y=ax+2(a ＞0 且a/=1)

(2)若y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有( )

A.a=1 或2 B.a=1

C.a=2 D.a ＞0 且a/=1

设计意图：对指数函数概念的理解和应用.

平板功能：作图探索,分组探究.

3.4 深入探究,提炼升华

例2课本P114 例1

例3课本P114 例2

在问题1 中,如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000 元门票之外的收入,A 地景区的门票价格为150 元,比较这15年间A,B 两地旅游收入变化情况.

学生活动：同桌合作完成,借助图形计算器计算作图,分享交流.

在问题2中,某生物死亡10000年后,它体内碳14 的含量衰减为原来的百分之几?

设计意图：进一步加深理解,例1、例2 是指数函数概念的应用,例3 是实例中指数函数概念的应用.解答中要使用大量的符号语言、文字语言,引导学生恰当地描述结果.问题1 引导学生体会增长模型的增长速度.问题2 引导学生体会衰减模型的衰减速度.从而对指数函数的图像形成初步认识,为下一课做铺垫.

从实际问题到数学问题,经历数学抽象的过程,认识、表达、理解指数函数的概念,体会通过运算来发现不变关系、用函数来刻画规律的基本方法.

研究性问题：类比研究幂函数性质的过程和方法,进一步研究指数函数的图像和性质.

设计意图：承上启下,为下一课做铺垫.

平板功能：学生主讲,师生互动.

3.5 目标检测,练习巩固

练习1.下列图像中,有可能表示指数函数的是( )

练习2.已知函数y=f(x),x ∈R 且f(0) == 2,n ∈N+,求函数y=f(x)的一个解析式.

练习3.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长,那么经过30 天,该湖泊的蓝藻会变成为原来的多少倍? (可以使用计算工具)

设计意图：3 道练习题的检测目标不同,练习1、2 在于对指数函数图像的认识,利用函数的三种表示形式,从不同角度推动学生对指数函数概念的理解,进一步明确概念,学会表示指数函数,体会指数增长或衰减;第3 题在于熟悉不同的指数增长的函数模型,并利用指数函数的概念解决实际问题,在简单情境的运用中进一步巩固对概念的理解.

3.6 评价反馈,反思拓展

(1)归纳小结本节课学到了哪些知识,用到了什么数学思想?

设计意图：总结提炼,内化概念,明晰研究方法.

学生总结,尝试构建知识体系,教师补充,使得学生对指数与对数互化理解更深,体会相互联系相互转化的思想.

(2)课后探究：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”?书本P115“阅读与思考”

平板推送内容：(1)课时作业;(2)课后探究;

(3)反思拓展：平板推送①问卷调查; ②课时作业答案及错题统计; ③本节课件.

教师发布本节课掌握情况的问卷调查,查询学生知识点掌握和作业错题情况,根据需要加强的知识点组卷给学生完成作业;学生通过平板下载课堂资料,疑难点可以多次回看,完成问卷调查和课后作业,标注错题,形成错题本,与同学、老师互动解决疑难问题.

4 反思与展望

利用平板电脑进行数学概念教学的确有上述优势,但是相应的也给教师带来一定的挑战,教师首先需要根据学生情况详细的制定预习任务, 然后根据预习情况反馈再次备课,增加了工作量但教学会更精准,对学生发展帮助更大.

对于学生而言,平板电脑的不合理使用,会影响学生的学习习惯.课上有一部分学生成了名副其实的“低头族”,双眼始终盯住电脑屏幕,但头脑中却没有任何思维动向;课下利用网络拍照搜题、玩网络游戏、看电影电视剧等情况时有发生.这就需要教师课上对教学内容深加工,采用多种教学媒体进行多元化教学,让学生合理“低头”和“抬头”,课后对学生加强监督,同时教育好学生进行自我管理,引导学生正确使用好平板电脑.

平板电脑并非能取代传统教学的所有优势,比如习题课上,一些较为复杂的综合题的讲解,用平板电脑演示过程节奏过快,无法让学生形成深刻的印象,效率较低,新授课上教师规范化的解题板书更能体现做题思路.

网络信号的不稳定也会影响平板电脑的使用.每一次概念教学完成后,笔者对课堂教学做反思和评价,就会发现还有很多不足,在今后教学中还会继续深入研究和探索,争取做得更好.

5 结束语

笔者认为平板电脑下的数学概念课要做到以下几点,来渗透核心素养.第一,概念的剖析要有层次性;第二,典型例题要注重数学思想与方法的总结;第三,练习的选择具有针对性.灵活、恰当地运用平板电脑,把提升学生的核心素养渗透到高中数学概念教学的各个环节,在引入时可以创设问题情境,培养学生的数学抽象和数学建模能力;在探究新知时,可以培养数学运算与数据处理能力.我们的课堂应该以发展学生的核心素养为终极目标,对教学细节进行解构,为思维而教,为素养而育,更好地促进学生的全面发展.