例谈“指数与对数模型”求参数范围的编题思考与解题策略探究

广州市铁一中学(510600)范选文

已知函数不等式求参数的取值范围是高考压轴题的常见考点之一,常见的有五种类型:一是“指数与幂函数模型”;二是“对数与幂函数模型”;三是“指数与对数函数模型”;四是“指数、对数与幂函数模型”;五是“指数或对数与三角函数模型”.前两种模型的解题策略笔者已经探究[1],后面三种题型比较灵活,综合性较强,对于学生来说解决方法较难掌握.本文笔者主要针对“指数与对数函数模型”的探究.

一、问题呈现

题目1设函数f(x)=ex−ln(x+a).当f(x)≥0 时,求a的取值范围.

此题是笔者针对一道高考题(2013年高考全国II 卷第21 题)进行了改编,原题是已知函数f(x)=ex−ln(x+m).当m≤2 时,证明f(x)>0.在讲解过程中与学生探讨时发现改编后不能求出具体a的取值范围.

二、问题解决

问题改编思考:此题改编后题目本身没有问题,只是针对高中学生来说求解出来的参数取不是常见具体数值而导致解答失败.没有改编成功的关键是在于最后的普通式利用基本不等式求解最值,忽略了不等式等号成立的x0取值与最后求解出的参数范围等号成立时x0的取值是否一致(即没有作出检验),导致笔者最初所写解答错误.假如改编的题目能这点上处理得当,应该就比较容易设置出“指数与对数函数混合模型”求参数范围的题目.

三、问题再改编与解题策略探究

评注指数函数部分与对数函数部分是互为相反的凹凸性,且带参部分的函数是指数或者对数进行左右平移或者上下平移的变换,则可以利用它们有相同的切点和公切线的性质,寻找它们之间大小关系.

策略二、利用不等式ex≥x+1 进行放缩求解

解法2因为f(x)=ex−a−ln(x+a)≥0,所以ex−a≥ ln(x+a),因为ex≥x+ 1,可以转化为不等式ln(x+ 1)≤x(当且仅当x=0 时等号成立).所以ex−a≥x+ 1−a(当且仅当x=0 时等号成立),ln(x+a)≤x+a−1(当且仅当x+a=1 时等号成立).因为需要满足ex−a≥ln(x+a),所以x+a−1 ≤x+1−a,解得a≤1.(经检验当a=1 时x=0,满足不等式同时成立的条件,故符合题意)

评注在遇到“指数函数与对数函数模型”进行整合的不等式恒成立求参数范围时,则首选观察指数函数部分与对数函数部分是否互为反函数,假如是互为反函数,则直接用指数函数部分与直线y=x作比较即可,方法是利用直线与指数函数相切可求得.

策略四、虚设零点,整体代换把超越式降为普通式求解

评注针对“指数与对数函数模型”的不等式求参数范围的题目,因为这类函数求导后还是一个超越函数,无法直接求出导函数的零点,所以我们一般对导函数虚设零点,对原函数的超越式进行合理代换,把超越式变成普通式后再进行求解.

策略五、虚设零点,消参得到关于零点的单一函数求解

策略六、利用同构思想求解

解法6因为f(x)=ex−a−ln(x+a)≥0,所以ex≥ln(x+a)+a,两边加上x得到

ex+x≥ln(x+a)+(x+a),

即有同构式

ex+x≥ln(x+a)+eln(x+a).

构造函数g(x)=ex+x,则g′(x)=ex+1>0 恒成立,故g(x)在(−a,+∞)上单调递增,所以只需x≥ln(x+a)成立即可,即a≤ex−x.构造函数h(x)=ex−x,易得h(x)min=1,实数a的取值范围为a≤1.

评注同构思想是构造函数求解的重要思想之一,在导数中有重要的应用,我们可以总结出一些常见的同构变形:

四、解题策略的高考运用

例(2020年高考山东卷第21 题)函数f(x)=aex-1−lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范围.

解法1(运用相同切线分界来进行求解)因为f(x)≥1,所以aex-1≥lnx−lna+ 1.根据y=aex-1与y=lnx−lna+1 的凹凸性可得y=aex-1与y=lnx−lna+1有公切线,设切点为(x0,y0),故根据切线可得

解法2(利用不等式ex≥x+ 1 进行放缩求解)因为f(x)≥ 1,所以aex-1≥ lnx−lna+ 1(a >0).因为ex≥x+ 1(当且仅当x=0 时等号成立),所以aex-1≥ax(当且仅当x=1 时等号成立).又因为不等式lnx≤x−1(当且仅当x=1 时等号成立),所以lnx−lna+ 1=lnax−2 lna+ 1 ≤ax−2 lna(当且仅当ax=1 时等号成立).因为aex-1≥lnx−lna+1,所以ax≥ax−2 lna,解得a≥1,(经检验等号成立的条件都是x=1 条件下取得,所以不等式等号成立,符合题意).故a≥1.

解法3(利用互为反函数的对称性质进行求解)因为y=aex-1与y=lnx−lna+1 互为反函数,根据y=aex-1与y=lnx−lna+1 的凹凸性,它们有共同的切点,且切点(x0,y0)在直线y=x上,故根据公切线可得

解得x0=1,a=1,.故a≥1.

总之,指数函数和对数函数的混合函数求参数取值范围问题难度比较大,而且灵活性较强,笔者通过例题来探究和思考,总结出以上六种解题策略,当然,它们不能不是万能的,而且每种策略都有其局限性.在处理这种题型时,需要我们对题目结构上的细致观察和深入计算了解,再选择有效的解题思路和解题策略.