向量法在高考数学中的应用

王舒钰 张小玲

【摘要】向量思想是高中数学的重要思想之一，在高中数学教科书中，许多定理都运用了向量法进行证明，如正余弦定理.在高考数学中，向量法常与其他重要知识，如立体几何、圆锥曲线、三角函数、不等式等一起设计出题.本文主要探究了近三年向量法在立体几何与圆锥曲线中的应用.

【关键词】向量法;高考数学;立体几何;圆锥曲线

【基金项目】国家自然科学基金青年基金项目No.11601265; 泉州市高层次人才创新创业项目No.2017Z033.

2017年新课程标准在几何与代数这一专题中指出了掌握向量法的必要性，并且在新教材第二册第六章中系统学习了向量，可见向量在整个高中阶段学习中所占的重要地位.由于向量具有代数形式和几何形式的两种表示方法，这使得它常用来解决空间、平面中的图形问题.

一、向量法在立体几何中的应用

向量法作为一种用数形结合解决问题的方法，主要是借助空间直角坐标系把抽象的空间问题转化为具体的代数运算来解决问题.向量法在立体几何中的运用主要体现在三个方面：一是利用向量法求解空间中直线和平面间的位置关系，如平行、垂直;二是利用向量法求解空间中的距离问题;三是结合法向量求解空间中的角问题.高考中常以计算直线与平面的夹角、两平面的夹角为主，例如下列两道例题.

解析 近五年全国Ⅰ卷对向量法在立体几何中的运用都在第18题设问，第一问通常考查空间中直线与平面或两平面之间的位置关系，如平行、垂直，其目的在于检测学生对空间位置关系及其求证条件的掌握.第二问以计算直线与平面、两平面间夹角的正弦值或余弦值为主.对第二问采用向量法的解题策略体现了程序化的思想，先根据题目信息建立合理的空间直角坐标系，确定所求两平面的法向量m，n，两个法向量所成的角或补角即为所求的二面角，在计算中需要注意两个法向量的方向.虽然对第一问的证明，通常也可以用建立空间直角坐标系的方法与第二問一同求解，简化运算步骤，但在实际求解中仍建议学生对第一问采用几何的方法，这样既可以避免因向量坐标运算错误导致的失分，也可以在第二问运用向量法求解后，将第一问中涉及的线段或平面用向量表示，进行检验，提高准确率.

向量法还能解决综合法难以解决的问题，如点到平面的距离、空间夹角等，将空间问题转化成代数问题，虽对学生的计算能力有较高要求，但可以帮助学生克服因空间想象力不足而带来的畏惧心理，降低空间想象的难度.

二、向量法在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线作为解析几何中的重难点，是每年高考的必考题，题目以圆锥曲线为主线，融合向量、方程、函数等知识，具有很强的综合性.向量法作为解决几何问题的代数方法，在圆锥曲线问题的求解中，能帮助学生用向量表达式表述平面图形的位置或线段长度的关系，明确解题方向，简化解题思路，例如下列两道高考题中都涉及了对向量法的应用.

三、总结

在高中数学教学中引入向量，为问题的解决与简化提供了有力的工具，同时向量作为推动数学发展的动力之一，学生对它的掌握能为其后继的学习奠定良好的基础.基于向量与代数、几何之间的紧密联系，有关向量知识的考题在高考中所占分数比重逐渐增大.结合向量的坐标表达形式，在立体几何中可用于证明线线、线面、面面的平行和垂直，以及利用平面的法向量求解夹角问题、距离问题等;在圆锥曲线中，更多利用向量的相等、共线、垂直求解坐标之间的数量关系，在这当中通常涉及韦达定理的使用.不难看出，在解题时，向量法可以帮助我们多角度分析问题，是一个不错的思考方向，但是具体的灵活运用，离不开对习题的探索与总结.

【参考文献】

[1]董志茹.向量在解决高中数学问题中的应用研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2013.

[2]李莹莹.高考中立体几何解答题的研究与思考[D].石家庄：河北师范大学，2017.

[3]冯永杰.浅析平面向量在圆锥曲线问题中的应用[J].新课程（下），2018（7）： 67.

[4]郑玉梅.与向量有关的圆锥曲线问题[J].高中数学教与学，2018（2）： 42-44.