高中数学新教材中数学建模内容的处理A版和北师大版为例——以人教

杨昌红 颜宝平

(1.湖南省吉首大学 416000；2.贵州省铜仁学院 554300)

目前，在学校推广数学建模和数学应用的重要性已成为全世界的共识.提升数学建模能力被认为是全世界数学教育的中心目标.在许多国家的课程中，数学建模能力发挥着决定性的作用，在国际上得到广泛认可.

数学建模的教学早在国外上个世纪70、80年代，分别在研究生、本科和中学课堂阶段开始了.80年代中期时，进入我国一些大学理工科专业，90年代初在叶孝其、姜启源等人的发动下，开展了首届“全国大学生建模竞赛”，在北京和上海纷纷举办“中学生数学应用竞赛”，对推动人们对数学应用的重视和提高学生的应用能力和意识有很大影响,也推动数学建模逐步走进中学数学和考试中.

我国《普通高中数学课程标准(试验版)》中纳入了数学建模，《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称课标)将数学建模列为数学核心素养之一，用数学语言表达数学问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教材的编写往往基于课标的要求，下面以高中数学教材人教A版和北师大版为例，分析数学建模在教材中是如何体现的.

一、数学建模过程

数学建模是数学活动的一个过程，例如：课标中描述的数学建模过程包括：从现实情境中提出数学问题、建立数学模型、求解模型、检验模型、解决实际问题.Blum和Leiß提出将认知分析增加为建模的一个步骤或阶段.它包括七个子过程：理解任务、简化/构建、数学化、数学求解、解释、验证、表达.上述的建模过程实质上思维过程大体一致，只是细化的程度不同.结合教材的特点和课标的要求，将数学建模过程概括为：在情境中提出数学问题、构建数学模型、求解模型、检验模型.根据数学建模是一个过程的特点，本研究将数学建模过程中部分环节涉及的内容也视为数学建模内容.

二、教材中数学建模内容分析

本文主要分析2019版普通高中人教A版和北师大版数学教材的必修第一册中数学模型应用模块及数学建模专题活动.

上表可见，两本教材都在指数函数和对数函数学习结束后，提出“函数模型”的应用.

1.函数模型的应用分析

人教版教材分别在函数的概念与性质、指数函数与对数函数、三角函数都有相对应的函数应用部分.在“归纳”部分用函数建立数学模型解决实际问题的规律的基本过程.

北师大版教材在“§2实际问题中的函数模型”中，包含2.1实际问题的函数刻画和2.2用函数模型解决实际问题.其中例2是将课标中数学建模案例稍微改编而来如下：

网购女鞋时，会看到一张尺码对照表，脚长(新鞋码，单位：mm)，鞋号(旧鞋码，单位：号).

(1)求鞋号关于脚长的函数模型.

(2)如果看到一款“30号”的女童鞋，知道对应的脚长是多少吗？

(3)一名脚长为262mm的女篮球运动员，又该穿多大号的鞋呢？

此题考察重点是学生是否理论联系实际，在问题(3)中将脚长代入模型计算得出的鞋号为42.4，应该穿43号的鞋子，但学生自己解决这个问题时直接四舍五入为42没有结合实际情况.

函数与数学模型的学习要求为：在实际情境中，会选择适合的函数模型刻画现实问题的变化规律；体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感受数学模型中参数的现实意义.

由于每版教材编写意图不同，所以在函数模型的应用部分也有所差异.人教A版是在相关函数的讲解结束后给出相对应的函数模型的应用实例.而北师大版是专门设立了独立的一章学习函数应用.两个版本的教材在这一部分对学习者的要求基本都有强调体会应用函数、函数模型刻画实际问题的过程，这些例题均只包含数学建模的一部分，都不能称为完整的数学建模.

2.数学建模专题分析

人教A版在“数学建模—建立函数模型解决实际问题”部分，主要有四个内容：“数学建模活动的一个实例”、“数学建模活动的选题”、“数学建模活动的要求”和“数学建模活动研究报告的参考形式”.

北师大版将“数学建模活动(一)”设立为单独的一章.主要内容有：“走进数学建模”、“数学建模的主要步骤”和“数学建模活动的主要过程”.“走进数学建模”部分让学习者感受数学建模的整个过程.并在“思考交流”环节设置4个小问题引导学生对案例进行更深入的思考.“数学建模的主要步骤”部分，首先提出一个实际生活的问题：

在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15s，那么，每次亮绿灯时，在一条直行的道路上能有多少汽车通过十字路口？

利用上述问题详细的展示了数学建模的主要步骤，在“建立模型”环节强调了假设和数据收集.在“思考交流”环节让学习者思考两个问题：一、结合上述过程，说明用数学建模方法解决问题和做应用题有什么联系和区别；二、总结数学建模的基本步骤.对数学建模及数学建模过程进行与课标一致的表述，并呈现课标中数学建模活动的基本过程框图.

最后，给学生安排一个学习任务环节，要求自选一个实际问题并设置较为独特的习题如下：

阅读一篇关于中学生数学建模的论文，记录论文的格式和要点，对论文作出你的评价，提出你修改此论文的想法.

两个版本的教材都根据现实情境用数学建模活动实例阐述数学建模过程.首先，人教版的将建立模型和求解模型作为整个过程的主体，而北师大版中是将重心放在对问题进行合理的假设.其次，人教A版倾向于强调模型的介绍，而北师大版倾向于建模过程的体验.人教版的数学建模过程异于课标，而北师大版和课标一致并对每一环节的操作进行阐释.

两套教材的编写理念不同，数学建模内容的设计各有千秋.人教A版紧扣课标要求“学会应用模型解决实际问题”，函数部分确实是以各类函数模型应用为主.北师大版更倾向于建模体验，教材的设计了“感悟数学应用、学习数学模型、学习数学建模、实践数学建模”四个层次由浅入深的呈现较完整的数学建模过程.建模的经验或教学表明遇到真实而复杂的情境时无从下手，然而在平时的学习中忽略真实模型的建立.期待在未来学生可以接触更多原生态的真实模型，真正的去经历、去感受数学建模的魅力与魄力.