初中数学几何证明入门法则——浅谈几何语言模块的生成及应用

潘 影

(江苏省徐州市西苑中学 221000)

几何证明入门难，证明题难做，是许多初一学生在学习中的共识.俗话说：“万事开头难.”这里面有很多因素，有主观的，也有客观的，学不得法，没有形成系统的几何语言是其中的一个重要原因.那么如何才能形成自己的几何语言？如何运用几何语言进行推理？如何规范书写几何推理过程？在这里笔者结合自己多年的教学经验，总结了几条几何证明入门法则，与大家一起分享.

一、几何语句的积累

初一学生在小学虽然已经学过一部分几何知识，但没有书写格式上的要求，只需能看懂图形，根据图形回答问题即可，基本没有接触过严密的几何推理，自身的几何语言也可谓是零起点，所以积累一定的几何语句，是初一学生迈进几何世界的第一步.

七上第6章 平面图形的认识(一)中，就有很多需要理解并掌握的几何语句.

1.“连接AB”就是“画线段AB” (P147 做一做)

2.“直线l经过点A、B”就是“画直线l或直线AB” (P150 习题1(1))

3.“点A在直线l外，点B在直线l上” (P150 习题1(2))

4.“点A、O、E在一条直线上”就是“点A、O、E三点共线”(P157 习题4)

5.“直线A、B相交于点O”就是“直线A、B的交点为点O” (P150 习题1(3))

6.“反向延长线段AB”就是“延长线段BA” (P150 习题3(2))

7.“延长线段AB到点C，使BC=AB” (P149 做一做；P151 习题5(1))

8.“反向延长线段AB到点D，使AD=AB” (P151 习题5(2))

9.“以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D”(P155 做一做)

10.“过点A画与直线l平行的直线”就是“过点A画直线l的平行线”(P166 做一做)

11.“过点A画BC的垂线，垂足为D”就是“过点A画AD⊥BC，垂足为点D”(P170 练一练2(1))

如此等等，积累这些常用的几何语句，目的是使学生能读懂几何题的题意，为生成几何语言模块做好铺垫.

二、几何语言模块的生成

有了一定的几何语句的积累，下面我们再来生成一些常用的几何语言模块，有了这些模块，在以后的几何题证明中，只要见到相关条件，直接套用模块的几何语言就可以了.

模块一中点的定义(七上P149 议一议)

模块二角平分线的定义(七上P156 议一议)

模块三余角、补角的定义(七上P159 议一议)

几何语言：因为∠1与∠2互为余角,所以∠1+∠2=90°(余角的定义).

几何语言：因为∠1与∠2互为补角,所以 ∠1+∠2=180°(补角的定义).

模块四余角、补角的性质(七上P160 议一议)

同角(或等角)的余角相等.

几何语言：因为∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，所以 ∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ,所以 ∠2=∠3(同角的余角相等).

几何语言：因为∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，所以∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°

且∠1=∠3,所以 ∠2=∠4(等角的余角相等).

同角(或等角)的补角相等.

几何语言：因为∠1与∠2互为补角，∠1与∠3互为补角,所以∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ,所以 ∠2=∠3(同角的补角相等).

几何语言：因为∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角,所以∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°且∠1=∠3所以∠2=∠4(等角的补角相等).

如此等等，有了生成这些点、角、直线等基本图形知识板块的几何语言模块的经验，为后续的几何内容学习提供了探究的方向.我们可以如法炮制出三角形、四边形等几何图形知识板块的几何语言模块，为几何题的推理证明和规范书写奠定了基础.

三、几何语言模块的应用

利用上面的几大几何语言模块，我们完成七年级的一些简单的几何题证明，就易如反掌了.只要把题目中涉及的几何条件找到，举一反三地套用相应的几何语言模块，一道几何题的推理过程就可以轻松、规范地书写出来了.

例1 如图，点D、E在BC上，FD⊥BC，垂足为D，AE⊥EG，且∠1=∠2.请问∠3与∠4有什么关系？说明理由.

解∠3=∠4

因为FD⊥BC，AE⊥EG所以∠FDE=∠AEG=90°(垂直的定义)

所以∠1+∠3=90°

又因为∠AEG+∠2+∠4=180°(平角的定义)

所以∠2+∠4=90°

又因为∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°

且∠1=∠2

所以∠3=∠4(等角的余角相等)

例2 如图，AB∥CD，∠DCB的平分线交DA的延长线于点E，交AB于点F，∠B与∠DAB互为补角，试探索∠E与∠AFE的大小关系，并说明理由.

解∠E=∠AFE

因为CE是∠DCB的平分线

所以∠BCF=∠DCF(角平分线的定义)

又因为AB∥CD所以∠BFC=∠DCF(两直线平行，内错角相等)

又因为∠B与∠DAB互为补角

所以 ∠B+∠DAB=180°(补角的定义)

所以AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行.)

所以∠E=∠BCF(两直线平行，内错角相等)

又因为∠AFE与∠BFC是对顶角

所以∠AFE=∠BFC(对顶角的相等)

所以∠E=∠AFE(等量代换)

由此可见，只要理解并掌握了几何语言模块，在充分审题确定条件后，就能通过模块的适当叠加，规范地证明出相应的题目了.当然，这些模块的灵活运用，需要在平时的解题中不断地熟练，俗话说得好“熟能生巧”，我们只要鼓励学生勇于尝试，不断积累解题经验，相信在不久的将来，他们一定能形成自己的几何语言，任何难度的几何题都能迎刃而解，学生们将会在数学知识的海洋里尽情地遨游！