探索轮换方程组问题的解法

曾溢唐 指导教师：吴姚新

(上海市民办新华初级中学 200080)

一、基本对称式法

首先定义三元基本对称式为x+y+z，xy+xz+yz，xyz.

④×⑤×⑥：(a-b)(b-c)(c-a)=a2b2c2(a-b)(b-c)(c-a).

由此，有以下2种情况：

(1)当a=b时，代入④得b=c，则a=b=c.

代入①易得此时，a2+b2+c2=6.

(2)当a≠b时，同理有a≠b≠c，则a2b2c2=1⑦，即abc=±1⑧.

结合恒等式：

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc，

得(a+b+c)(ab+bc+ca)=2abc

结合⑧、⑨、⑩，可得三元基本对称式关系如以下4种情况：

又由不等式(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c).

此时，a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=6.

综上，a2+b2+c2=6.

说明：在解三元基本对称式时，应先利用不等式(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)排除不可能的情况.

例2 求证：存在互不相等的三个实数a、b、c使得三个方程x2+ax+b=0 ①、x2+bx+c=0 ②、x2+cx+a=0 ③无公共根，而任意两个方程恰有一公共根，并求出此时a2+b2+c2的值.

解由题意可设x2+ax+b=0的两根为x1、x2，x2+bx+c=0的两根为x2、x3，x2+cx+a=0两根为x1、x3.

由根的定义：

因为①、③有公共根x1，

所以x12+ax1+b=0 ④，

x12+cx1+a=0 ⑤.

所以x1x2x3=-1 ⑥.

由韦达定理知:

abc=(x1x2x3)2 =1⑨.

此时问题与例1基本相同，笔者不再重复.

例1例2是解三元的轮换对称方程组，若轮换方程组不对称该如何处理？现在以例3为例：

二、不等式法

解由①得：x(xy-1)=2(yz-1)④.

由②得：y(yz-1)=2(zx-1)⑤.

由③得：z(zx-1)=2(xy-1)⑥.

④×⑤×⑥：xyz(xy-1)(yz-1)(zx-1)=8(xy-1)(yz-1)(zx-1).

(1)当xy=1时，易得yz=1，zx=1.

(2)当xy≠1时，易得yz≠1，zx≠1，则xyz=8⑦.

引理a3+b3+c3≥ab2+bc2+ca2.

引理证明 不妨设max{a,b,c}=a.

(1)当a≥b≥c时,a2≥b2≥c2.

则由排序不等式(顺序和≥乱序和)有

a3+b3+c3≥ab2+bc2+ca2⑧.

(2)当a≥c≥b时，类似可证.

引理证毕.

代入①+②+③得：

即4a3+4b3+4c3+3abc=a2c+b2a+c2b+4ac2+4ba2+4cb2⑨.

由舒尔不等式：a3+b3+c3+3abc≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2⑩.

⑧×3+⑩：4a3+4b3+4c3+3abc≥a2c+b2a+c2b+4ac2+4ba2+4cb2.

结合⑨得不等式恰好取等，等号成立当且仅当a=b=c，此时x=y=z=2.

说明：由于本题方程组不对称，不易求出另外两个基本对称式.而容易发现x=y=z=2为方程组的解，考虑通过取等条件应用不等式法求解.