科学备考解折几何中的定点、定值问题

卢会玉

圆锥曲线中的定点、定值问题一直是近几年来高考的热点问题，由于在解题之前不知道定点是什么、定值是多少，因而给解题增添了一定的难度。解决这类问题时，要善于在“变”中寻求定值或定点的“不变”性，再将问题转化为有目标的一般性证明即可。

题型一：斜率之和为定值

例1已知Q是圆M：（x+5）*+y，'=36上的动点，点N（/5，0），若线段QN的垂直平分线交MQ于点P。

（1）求动点P的轨迹E的方程;

（2）若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB，AC的斜率之和为定值。

分析：（1）线段QN的垂直平分线交MQ于点P，所以|PN|=|PQ|，则|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|为定值，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，结合题中所给数据求出椭圆方程即可;（2）设出直线l的方程，与（1）中求出的椭圆的方程联立，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理写出kAn+kxc，最后化简可得定值。

解：（1）由题可知，线段QN的垂直平分线交MQ于点P，所以|PN|=|PQ|。

所以|PM|+|PN|=|PM|+|pQ|=6》2/5，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆。

（2）由（1）可得，过点D的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）。

b》0）的右焦点F，与抛物线y？=4x的焦点重合，且椭圆C的离心率为之。

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的中点为P，问：km.kop（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由。

分析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆C的半焦距，再由离心率求得a，由b=a-c求得6，则椭圆方程可求;（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，联立直线l与椭圆C的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得点P的坐标，再由斜率公式求得OP的斜率，可得kxv。kop为定值。

解：（1）由抛物线y'=4x的焦点为（1，0），可得椭圆C的半焦距为c=1。

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m。

题型三：面积为定值

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）设直线l与椭圆C交于M，N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若0M+=B，判断四边形OMDN的面积是否为定值。若为定值，求出该定值;如果不是，请说明理由。

分析：（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组，即可求解椭圆的标准方程;（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断。

（2）当直线l的斜率不存在时，点M和点N关于x轴对称，又M，N，D三点都在椭圆C上，且满足0M+O=B，则由平行四边形法则可得直线MN的方程为x=一1或x=1，此时四边形OMDN的面积为/6。

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m。

综上可知，四边形OMDN的面积是定值，其定值为/6。

题型四：直线恒过定点

例4已知椭圆C：x2

b》0）的离心率为之，M是椭圆C的上顶点，F，F，分别是椭圆C的左焦点和右焦点，△MFF2的周长是6。

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使直线l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求出定点的坐标。

分析：（1）由题可列关于a，b，c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程。（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-l=k（x-1），进一步求出直线l的方程为s一1（一），所以直线l恒过定点k

（，0）。当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此時直线l为x轴，也过点（.o）。综上可知，直线1恒过点（左.0）。

解：（1）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得2a+2c=6，即a+c=3。

（2）当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为y-t=k（x-1）。

直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个交点的横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x2，十x2或yyz，y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值问题。（责任编辑王福华）