参数方程考点解析

杨志云 刘晓艳

一、参数方程的概念

点评：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种，点在曲线上和点不在曲线上。①对于曲线C的普通方程f（r，y）=0，若点M（x，y1）在曲线C上，则点M（x，y）的坐标是方程f（x，y）=0的解，即有f（x，y）=0;若点N（x2，y2）不在曲线C上，则点N（xz，2）的坐标不是方程f（x，y）=0的解，即有f（xz，y2）?

二、求曲线的参数方程

例2已知边长为a的等边三角形

ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程。

解析：如图1，设顶点C的坐标为（x，y），ABO=0，过点C作轴的垂线段CM，垂足为M。

点评：该题的解题思路是先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可。求曲线的参数方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标;②写出适合条件的点M的集合;③用坐标表示集合，列出方程;④将方程化为最简形式;⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点）。

三、参数方程化为普通方程

（1）当l为参数，0为常数时，方程表示何种曲线？

（2）当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线？

因为cos0，sin0不同时为零，所以方程表示一条直线。

（2）当t为非零常数时，原方程组为

当t=0时，表示点（a，b）。

点评：（1）将参数方程化为普通方程，关键是消去参数。如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法;如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形。（2）在將参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响。本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线。（3）该题的解题思路是：①运用加减消元法，消t;②当t=0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消去参数0，化成普通方程，进而判定曲线的形状。

四、普通方程化为参数方程

f（t），再计算y=g（t）），并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x=f（t），y=g（t），调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x与y的取值范围保持一致。

五、利用参数思想解题

例5已知x，y满足x？+（y-1）'=1。求：

（1）3x+4y的最大值和最小值;

（2）（x-3）'+（y+3）的最大值和最小值。

点评：该题的解题思路是：设出圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决。

运用参数思想解题的关键在于参数的选择。选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系。由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数。

解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设出圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题。

（责任编辑王福华）