古典概率学习中几个典型错误及需注意的问题评析

阚永志

(辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001)

等可能概型在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型，其中的事件概率的学习即古典概率的学习也就称为概率论学习中最基本的内容之一。由于古典概率的学习是学好概率论的基础，而且学生在初学古典概率时，常常会犯各种错误，所以有必要将一些常见的典型错误进行评析，并指出需注意的问题。

一、实例错解评析

（一）事件的包含关系与概率的关系之间存在的一种错误

实例1 设A,B为任意两个事件，满足P(AB) =P(A)，问A⊆B是否成立？

对于本例，一定会有多数人认为A B⊆ 一定成立。原因是：既然A与B的积事件的概率等于A的概率，就类比A与B两个集合的交集应等于集合A，则必然会有集合A是集合B的子集，即A B⊆成立。

实际上，A B⊆ 是不一定成立的，那么，它错在什么地方呢？显然，若A B⊆，则AB=A，也就有P(AB)=P(A)；但反过来，若P(AB) =P(A)，则AB=A是不一定成立的

即A⊆B不一定成立。

例如：设X是一个连续型随机变量，A={1 ≤X≤ 3}，B={1 ≤X＜3}，显然AB，且B⊂A，但却有P(AB) =P(A).实际上，AB=B，则P(AB)=P(B)；而A=B∪{X=3}，则

P(A) =P(B)+P{X=3}，

又连续型随机变量取任意指定实数值的概率均为零，因此P{X=3}=0，从而P(A) =P(B).综上P(AB) =P(A).又如：

其中X是一个连续型随机变量，xi≥3,i=1,2,…

显然A B，但仍有P(AB)=P(A).实际上，由AB={1≤X＜2}，知P(AB)=P{1≤X＜2}.而

其中P{X=xi}=0(i=1,2,…)，

则P(A) =P{1 ≤X＜2}，故P(AB) =P(A).

（二）抽签模型中的概率及概率与条件概率的理解错误

实例2 袋中有a个白球、b个黑球，依次将球一个个取出，不放回。

设事件A1={第一次取出白球}，A2={第二次取出白球}，Ak={第k次取出白球}(1 ≤k≤a+b)，试求P(A2)和P(Ak).

（1）对于P(A2)，由于有事件A1的干扰或对事件A2的理解角度偏颇，所以部分初学概率论的学生在求P(A2)时，会出现各种不同的计算错误。

一方面，有部分学生认为，既然从袋中第一次取出白球，那么袋中应剩余a+b-1 个球，其中有a-1个白球，从而依等可能概型中的概率计算公式有

表面上看，此种求解方法正确，实际上，虽然A2与A1的发生有一定的关系，但P(A2)和A1的发生与否是没有关系的，且本题中并没有提到A1是否已经发生，从而导致求解思路上的错误。

另一方面，对于事件A2，还有部分学生也随心所欲地认为第一次取出的应是黑球，所以依上述可知

此种求解思路错在对事件A2的理解上，实际上，事件A2的发生意味着第一次取出的可能是黑球，也可能是白球。

下面给出求P(A2)的正确解法：

方法一 设取球试验直至第二次取球为止，则导致事件A2发生的事件共有两类：

故根据有限可加性

得

方法二 设想将球编号，一个个取出直至第二次取球为止，则基本事件总数就是从a b+个编号的球中选出两个球进行排列的排列个数，即.要使A2发生，只需从a个白球中选出一个放在第二个位置上作为第二次取出的球（共有种不同的放法），至于第一个位置可以任意放余下各种编号的球（共有种不同的放法），由乘法原理可得A2包含的基本事件个数为.故有

方法三 设想将球编号，每次试验将取出的a b+个球顺次排列在a b+个位置上，排列的总数即基本事件总数为=(a+b)!

若使A2发生，只需从a个白球中选出一个放在第二个位置上作为第二次取出的球（共有=a种不同的放法），而其余 1a b+-个球可以任意顺次排列在a+b-1个位置上（共有=(a+b-1)!种不同的放法）

由乘法原理可得A2包含的基本事件个数为(a+b-1)!a.故有

由于篇幅关系，只给出以上几种求解方法，供参考。

（2）依上述易知，P(Ak)的结果也是

（三）样本空间的设计方法与某事件的设计方法不一致造成的错误

实例3 在实例2 中，求取到的k个球中恰有m(1 ≤m＜k)个白球的概率。

本例显然也是古典概率计算中比较简单而且典型的一个题目，但也容易发生各种错误。

有部分同学是这样求解的，由于该试验为不放回抽样，所以第一次取球有a+b种取法，第二次取球有a+b-1种取法，第三次取球有a+b-2种取法，……，依次推知第k次取球有a+b-k+1种取法，由乘法原理可得从a+b个球中取k个球共有(a+b)(a+b-1)(a+b-2) …(a+b-k+1)种取法，即基本事件总数为

(a+b)(a+b-1)(a+b-2) …(a+b-k+1)

此种解法虽然都用组合或排列的方法求两者的基本事件数，但在求kB时发生了错误。

理由是：本例中“取k个球”为一次试验，又m k＜，因此“只从a个白球中任取m个”不会使事件B发生。

而仅当m k=时，上述求解才是正确的。

正确解法：

（四）积事件的概率与条件概率的理解错误

实例4 在实例2 中，设不放回地取两次球，每次任取一个。求：

（1）第二次才取到白球的概率；

（2）发现其中之一是白的，另一个也是白的概率。

对于问题（1），由于其中有一个“才”字，所以每个学生都能注意到“第一次取到的必定是黑球”，但有的学生会犯下列错误：

设事件 {C=第二次才取到白球}，则

对于问题(2)，设事件 {D=其中之一是白的，另一个也是白的}，有部分学生认为，若D发生，即第一次和第二次取到的都应是白球，则事件D应与事件“两个都是白球”相同，故

上述两个问题求解错误的根本原因在于没弄清两事件积事件的概率与条件概率的区别。

上述问题（1）的求解思路认为，P(C)是指在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率.正确的求解思路应是：

由于“取两次球”作为一次试验，所以若使C发生，必须是和A2同时发生，即P(C)是和A2的积事件的概率。

本以为我丢给沙莉的这块难啃的“硬骨头”会成为她手上的烫手山芋，谁知道，沙莉竟轻松地将此事处理得滴水不漏。最令我悔之晚矣的是，半月之后，那位投诉的李先生，被沙莉的真诚打动，竟向沙莉介绍了一位大客户，在李先生的帮助下，沙莉顺利地签订了最难销售的一批货。

而上述问题(2)的求解思路认为，P(D)是指A1和A2同时发生的概率。

正确的求解思路应是：

若使D发生，应是在事件E={发现其中之一是白的}（即两球中至少有一个是白的）已经发生的条件下，事件F={另一个也是白的}（即两个都是白球）才发生，即

P(D)应是条件概率P(F|E).

正确解法：

已在前述求P(A2)的正确解法的方法一中已经给出，或利用乘法公式，得

（2）方法一（利用条件概率的定义）

也在前述求P(A2)的正确解法的方法一中已经给出。

方法（一）

由古典概率的计算公式，有

方法（二）

方法（三）

由E=A1∪A2，利用加法公式得

方法（四）

E=A1∪A2，利用逆事件的概率公式、德摩根律及古典概率计算公式，

方法二（利用缩减样本空间的方法）事件E为新的样本空间，基本事件总数为.而积事件EF包含的基本事件个数为，故

二、古典概率学习中应该注意的问题

1.通过对例1的典型错误的评析，提示以后需要注意事件之间的包含关系与概率之间的关系。若A⊆B，则AB=A，也就有P(AB) =P(A)；反之，若P(AB) =P(A)，则A⊆B未必成立。

2.抽签模型中的概率不仅与取球的先后次序无关，即本文中第k(1 ≤k≤a+b)次取出白球的概率均为，而且也与是否放回抽样方式无关；同时，尤其值得注意的是概率P(A2)与条件概率P(A2|A1)或的本质区别。P(A2)即是事件A2发生的概率，而P(A2|A1)或是在事件A1已经发生或没发生的条件下，事件A2发生的概率。

3.对于等可能概型，在样本空间的设计方法和某事件的设计方法上务必保持一致，即若设计样本空间时采用排列（组合）的方法，则某事件的设计时也要用排列（组合）的方法，否则就会出现计算方法上的错误；同时，设计方法不同，事件概率计算的方法就会花样繁多，从而繁简程度也就会大不相同。

4.在处理等可能概型的某种问题时，对于积事件的概率与条件概率的区别也更容易出错。积事件的概率是一些事件同时发生的概率，而条件概率如上所述，二者不要混淆。

三、结束语

为了避免学生在学习概率论的过程中发生不必要的各种错误，本文通过以上几个具体实例，列举并评析了等可能概型中古典概率计算的几个常见的典型错误，阐述了在计算等可能概型中事件概率时需要注意的问题，这对激发学生学习概率论的不同兴趣奠定了一定的基础，能有效地提高概率论的教学质量，对每位初学者学好概率论以及它在其它各个科学领域中得到广泛的应用具有重要作用。