“基本不等式的证明”教学实录与反思

居 艳 (南京师范大学附属中学 210003)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自四星级重点高中普通班高一年级，数学基础较好，有较强的逻辑推理能力、运算能力和创新能力．

1.2 教材分析

2 教学过程

2.1 创设情境，直观想象

这个问题提出后，很快有学生举手发言．

生2：我猜想两个正数的算术平均数大于几何平均数，因为我找了几组数据，如a=1,b=2；a=14,b=10；发现都是算术平均数大于几何平均数．

(这时候有学生迫不及待地举手.)

师：这位同学可能有话要说.

生3：我觉得他的猜想有问题，如果a,b都等于1，则算术平均数等于几何平均数．

师：说得很有道理，那你觉得算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？

师：你们都采用了特殊值验证的方法来得到算术平均数和几何平均数的大小关系，验证可以代替证明吗？

生3：验证不能代替证明，但是我还没有想好怎么证明．

生3坐下后，教室一片寂静，学生们积极调用初中和高中所学的数学知识，各自寻求比较大小关系的方法．过了大约三分钟，又有学生举手了．

师：请这位举手的同学说一说你的思考过程.

师：你说的我基本理解，但是不太明白最后一句话中的“当且仅当”，你自己或者其他同学可以帮助解释一下吗？(教师故意装糊涂，通过质疑、设问的方法，鼓励学生进行深度思考.)

此时，学生们纷纷点头表示赞同．

此过程是备课时没有预设到的，学生对“当且仅当”的讨论，看似耽误了一点时间，但有助于其对基本不等式概念中等号成立条件的理解，同时有助于对前后知识的融会贯通．

2.2 推理演绎，模型建构

接着，教师给学生五分钟的时间，自主探究算术平均数与几何平均数的大小关系的数学推理证明．

师：这位同学通过作差与0比较的方法，得到了算术平均数与几何平均数的大小关系，你们认同他的方法吗？我看到还有不少同学举手，请谈谈你们的想法.

生6：我认为他的证明方法是对的，因为我通过画图得到了和他一样的结论．

师：画图？(教师故作惊讶，以引起学生们对此方法的关注.)

生6：我画了一个直角三角形，作出斜边上的高和斜边的中线．

师：(打断发言)这样吧，你到黑板前向大家讲讲你的方法，你讲我写可能我跟不上你的思维．

生6走到黑板前，在黑板上画了一个直角三角形，然后将她的思路娓娓道来．

图1

师：同学们觉得有道理吗？(大家表示赞同.)数形结合可以帮助我们运用图形语言从更加直观的角度解释两者的大小关系，如果将该直角三角形放入圆中，斜边就是圆的直径，算术平均数为该圆的半径，几何平均数为半弦，即“半径不小于半弦长”．

教师在生6回答后，巧妙地追问了两个问题．一个问题是想强调基本不等式等号成立的条件，提醒学生时刻关注；另一个问题的目的在于展示生6的思维过程，让其他学生不仅了解怎样解，更知道如何能够想到这样解，帮助学生知其然，更知其所以然．(此时又有其他学生举手.)

师：看样子还有同学有想法，请说一说你的想法.

师：没关系，你说给大家听一听，也许我们可以帮助你完善想法．

师：同学们觉得他的说法有没有道理？如果有道理，我们怎么把这个道理转换为数学符号语言来表达呢？

师：这个不等关系形式简洁、作用广泛，我们称之为基本不等式．大家在书写和运用基本不等式时要特别注意其等号成立的条件，即当且仅当a=b时，等号成立．

2.3 模型应用，数学理解

师：从你们证明方法的丰富性，可以看出同学们对本节课的重点内容“基本不等式的证明”掌握得比较好．有的同学将基本不等式中的a看作a2，b看作b2，得到(1)的结论，体会到基本不等式的等价表示方法．因此，这两个不等式通常可以直接使用．

师(课堂总结)：本节课同学们经历了“数学建模”的过程(图2)．

图2

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

总之，概念教学不是一蹴而就的，作为概念引入的本节课在实际教学过程中主要经历了操作、过程、对象、图式四个阶段，在后续的基本不等式的应用教学中，还将继续强化如何建构图式去解决复杂数学问题和实际问题．

3.2 教学反思

·苏教版新旧版本教材对比反思

(1)新版教材更注重基本不等式的基础性和工具性

基本不等式是高中数学的重点和难点，苏教版两版教材均对此作了详细的书写，但旧版教材放在函数、三角函数、向量和数列等知识点之后，而新版教材放在必修1的第三章学习．从新版教材的教学反馈情况看，学生对基本不等式的知识理解自然，虽然相对难度较大，但是由于没有函数等附加知识的干扰，突出了基本不等式概念的纯粹性，有利于学生对概念的深入理解，避免了新版教材教学参考书中提到的“繁琐的计算”“人为化技巧的难题”及“细枝末节上的过分拓展”等问题．学生在后续章节的学习中，由于有了扎实的概念，在思考诸如解决最值等问题时便会更为自然顺畅．这样的编排更好地体现了基本不等式的基础性和工具性作用．

(2)新版教材更注重知识生成的逻辑基础

在苏教版老教材中，常用逻辑用语滞后于基本不等式出现，导致学生无法充分理解相关的知识．如分析法证明中的“要证A，只要证B”，其本质是B是A的充分条件；等号成立条件中的“当且仅当”的正确理解．新版教材将常用逻辑用语先于基本不等式的处理，有助于学生对基本不等式证明的分析法思维逻辑的理解，以及对等号成立条件的充要关系的理解，本节课的实际教学过程也印证了学生对于分析法的理解更为自然．

(3)新版教材更注重概念内涵的深度探究

概念的内涵是概念对事物特有属性的反映；概念的外延是具体的、具有概念所反映的特有属性的那些事物．苏教版老教材中，在基本不等式概念建立后，通过求证(解)最值并对其加以应用，关注的是概念的外延部分．而新版教材更注重概念内涵的深度探究，在建立基本不等式的模型后，通过限制条件的分析、等价表示等，让学生从不同的视角观察和理解基本不等式，从而将概念内化于心．

·课堂教学过程反思

(1)知识的生成与生成性知识并重

教学过程往往是复杂关联和动态生成的过程，预设的教学流程常常是教师自己认为的知识生成过程，预设的提问也会被学生的质疑或思考所阻断．本节课在讨论算术平均数和几何平均数的大小关系时，有位学生只证明了等号成立的充要条件，这让教师猝不及防．但仔细体会，人类对任何新知的理解都不是一跃而成的，需要不断的尝试和探索．学生之所以只证明了等号成立的充要条件，可能起初只会证明这两个值相等的情况．如果教师给予充足的时间和引导，也许会有更多更深入的结论被学生发现和掌握．面对课堂的生成性知识，教师此时不给予否定即是好的回应，而若及时加以肯定与引导，则更能激发学生的学习幸福感．课堂生成性知识体现了教学的生命价值，教学总是在“真理”和“幸福”之间谋求平衡．

(2)注重数学学科核心素养的渗透

数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析是数学学科的六大核心素养．与其他五大核心素养相比，数学建模仍是高中数学教学的短板．如何补齐短板？由于数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径，在课堂中渗透数学建模思想与方法将成为提升数学建模素养的重要路径．本节课的教学流程充分体现了数学中的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算四大核心素养，并将数学建模的思想贯穿始终．其中，在课堂总结阶段，教师借助流程图，展示了如何整合其他核心素养，通过建模解决实际问题，这在加深学生对于数学建模认知的同时，更进一步让其感受到数学的理论价值、应用价值和文化价值．

(3)知识的逻辑性与连贯性贯穿始终

数学是一门思维性、逻辑性和连贯性很强的学科，通常情况下，数学知识的生成过程应符合由特殊到一般、由具体到抽象、由感性到理性的认知规律，这体现了数学思维严密的逻辑性．因此，具有逻辑性和连贯性的数学教学将有利于促进有意义学习的生成．基本不等式是建立在初中数学知识和高中不等关系、不等式性质、充分必要条件等基础上的新生知识，教师在教学过程中可以通过有意义的设问让学生感受新旧知识之间的交叉融通，实现既有思维方法的交融，又有前后逻辑关系的递进，并在各种关联中帮助学生建构数学知识的思维导图．