基于样例学习理论的习题教学设计——以整数指数幂运算为例

李 晴

(首都师范大学 北京 海淀 100048)

1.引言

培养学生理解和掌握基本的数学知识与技能是数学教学的基础作用之一，数学运算则是学生需要掌握的一项基本技能，教育工作者也围绕学生的运算错误进行了许多讨论，主要将错误原因围绕在学生角度进行分析。而学生的某些错误表现与课堂的学习情况也存在一定关系。这便涉及到教师在课堂上呈现的题目样例是否契合学生的认知水平、是否具有典型性。因此本文试图以样例学习理论为基础，探索如何让习题教学的内容深刻留存在学生心中。

2.习题教学中存在的问题

我们主要讨论形成性习题教学，即在讲授新知后加入的习题讲解，其教学功能是巩固新知，学会解题技巧，形成解题技能[1]。在新授课的教学设计中，习题的利用扮演着十分重要的角色，然而在实际教学中教师们对习题的利用情况尚不理想。

一些教师不会对课上所讲的习题进行严格的筛选，多直接、大量地用教材或是习题册的题目作为新授课的练习，所以习题考察的重点多重复，还会存在忽略某些重点知识、技巧的情况。

在讲授习题的过程中，教师有时会忽略步骤间的推演，在学生回答完正确答案后便跳过了强调推理背后的基础知识的环节。这样的处理错失了利用习题巩固基础知识的机会，也让一些基础薄弱的学生不知所云。因此，我们在教学中还是要注重每一个“=”成立的逻辑，并有意渗透给学生。

基于此，本文试图探索一些习题选择和讲解的方法，选择典型的题目、强调解题步骤下的基础原理，让习题教学的作用真正落到实处。

3.基于样例学习理论的教学设计原则

样例学习兴起于20世纪80年代，指学习者通过对样例的自主观察和思考获得知识的过程[2]。在关于样例学习的研究过程中，有很多学者例如Sweller、Renkl发现了一系列样例学习效应，并提出教学设计指导方针。张奇将其概括为17条，分别为：自由目标效应、样例效应、分散注意效应、冗余效应、专长逆转效应等。张奇对应这十七个样例学习效应提出了相应的教学设计原则，用于指导教学[3]。

徐章韬根据样例学习理论并结合训练学生思维的考虑，从更加宏观的角度提出教师在设计习题课时需综合配置正向思维、逆向思维、发展思维的样例，使习题构成样例集。配置正向思维样例，要注重新旧知识的联系，并引导学生总结规律；配置逆向思维的样例，重在启发学生意识到正、逆例题间的联系，加深对通法、规律的理解；配置发散思维的样例，可从结构入手，体现思维的概括性[4]。

4.整数指数幂习题课设计

4.1 教学设计意图。整数指数幂运算为初中阶段的基础运算内容，我国义务教育课程标准对这一部分内容的要求是要求学生能够了解整数指数幂的意义和基本性质[5]。这一部分内容十分基础，但是在运算中却常出现错误，最常见的错误在于学生对指数和底数中的负号处理不当，“负号往往是学生计算过程中的‘大坑’”，曾有一线教师向我这样感叹道。基于此，下面试图从习题的设计入手，以样例学习效应为基础，引导学生学会根据整数指数幂的定义和性质进行正确、严谨的运算。

4.2 教学内容分析。学生进行整数指数幂运算以以下内容为基础：

(2)整数指数幂的运算性质：

①am·an=am+n(m，n是整数)；

②(am)n=amn(m，n是整数)；

③(ab)n=anbn(m，n是整数)．

在本文中，我们主要讨论指数为负整数的情况。对于负整数指数幂的运算，底数为正整数、指数为负整数的类型与负整数指数幂的定义最为相似，学生进行知识的迁移较为容易。而其它类型的运算均增加了负数、分数这些元素的影响，对学生的运算造成阻碍，为避免学生在这些类型的运算中出现错误，参照样例学习效应来设计样例，以期提高学生的运算能力。

4.3 教学过程设计。教学按照正确样例、错误样例、逆向思维样例和发散思维样例的顺序依次设计了一系列关于整数指数幂的运算题目。通过正确样例、错误样例的叠加设计加强学生对基础定义和性质的掌握和运用。逆向、发散思维习题的设置能够进一步加深学生对基础知识的掌握，并有意增强学生归纳、推理的能力，培养学生的基本活动经验。

4.3.1 正例呈现。

问题1：请阅读以下运算过程，并在每一步骤后写下该步骤所依据的数学内容。

问题2：请参照问题1的解答步骤，计算下面两道题目，同样在每个步骤后写下该步骤依据的数学内容。

设计目的：在负整数指数幂的运算中，此处的正确样例在底数为正整数的情况下增加一个交互元素，题①设计底数为分数，题②设计底数为负整数。根据样例效应，学习过具体解题样例的学生要比没有学习过而直接解题的学生学习效果更好2。因此将每一步解题步骤均呈现给学生。这样可加深学生对所学定义的掌握。在学习了这两种样例后，设置与样例形式相同的两道题目，根据指导渐减和变异性效应，让学生自行作出解答，并增加自我解释环节。在题型上相比样例作出微小改动，将题目②改为指数为负奇数，让学生自行练习，以增强学生对整数指数幂运算性质的掌握和运用。

4.3.2 错例呈现。

问题1：请指出下述题目错误的步骤，并解释错误原因。

=-4( )

问题2：以上题目还有其它计算方法吗？

问题3：请用两种方法计算下题，并在每一步骤后写下该步骤依据的数学内容。

设计目的：对于底数为负分数的题型，学生可存在两种计算思路，其一为运用整数指数幂的运算性质，其二为根据定义进行运算。在笔者的经验中，学生在运算中会出现忽略底数中的负号的情况，因此设计这一错误表现的错误样例，让学生发现错误并对错误进行解释。在题目2的设计中，让学生自行运用定义进行计算。而题目3则在前两题的基础上，将指数改为负奇数，与指数为负偶数的结果的正负性不一样，学生加以练习，更加熟练地掌握底数为负分数的题目的运算。

4.3.3 逆向思维的样例。

问题1：哪些数的-2次方为9？

问题2：哪些数的-3次方为8？

问题3：存在一些数的-2次方为负数吗？说明原因。

设计目的：此题以上述错误样例为基础，将设问方式逆向设置。目的在于加深学生对底数为负数情况的规律的掌握，避免学生在运算中将底数中的负号忽略。同时题目的层次依此递进，促使学生从特例入手进行规律的总结，有意培养学生归纳的基本活动经验。

4.3.4 发散思维的样例。问题：试总结当x取不同数值时代数式x-2、x-3的正负性，并由此推广当x、n取不同值时代数式x-n(n为正整数)的正负性，并作出解释。

设计目的：通过发散性样例的学习，可把表面上看似来源不同实则同源同构的实质吃透，而以变量代换法为基础的变式是数学结构化思想的数学表达3。因此为培养学生的归纳能力、开拓学生思维，题目逐步将底数与指数以字母代替，让学生判断底数取不同值时指数幂的正负性。同时也为之后学习幂函数时涉及到的定义域与值域埋下伏笔。

5.结束语

良好的教学设计有助于实现有效教学，此文以样例学习理论为基础，针对整数指数幂的运算教学进行了设计，以期学生能够熟练掌握整数指数幂的定义和运算性质，学会根据严格的定义和性质进行规范的书写。同时此种样例设计的方法也可适用于诸如此类的程序性运算内容，以期学生能够对运算的基本定义和性质的运用尽可能掌握熟练。