数学问题解答

2021年4月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 彭翕成 430079)

即sinAsin(π-A-C-A-C)

即sinA·2sin(A+C)cos(A+C)

即sin(2A+C)=2sinC，

sin(2A+C)-2sinC

=sin(A+C)cosA+cos(A+C)sinA-2sinC

=0，

即bcosA+acos(A+C)-2c

2597证明2103-23能被1000整除.

(江西省共青城市国科共青城实验学校 姜坤崇 332020)

=2(221-2)(281+261+241+221+2)

=4194300(281+261+241+221+2).

因为，21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,所以数列{2n}(n是正整数)的个位数字数列2,4,8,6,2,4,8,6,…是周期为4的周期数列.因为281=24×20+1,所以281的个位数字为2.同理，261,241,221的个位数字亦都为2,所以281+261+241+221+2的个位数字为0,从而4194300(281+261+241+221+2)可写为1000m(m为整数)的形式，所以2103-23能被1000整除.

2598如图，已知在△ABC中AC+BC=3AB，G、I分别是△ABC的重心、内心，求证：GI⊥AB.

(江苏省无锡市第一中学 李广修 214031)

由三角形的内切圆的切线长公式、椭圆的焦半径公式，得

因为xD>xA，所以

|AD|=xD-xA=xD+1=xI+1，

又由三角形的重心坐标公式，得

所以xG=xI，故GI⊥x轴，即GI⊥AB.

2599设ai(i=1,2,…,n)是正实数，n≥3,求证：

(1)

(四川成都金牛西林巷18号晨曦数学工作室 宿晓阳 610031)

证明由均值不等式，有

两边同除以n，即得不等式(1).

2600△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC延长线上的点，F、G分别是CD、AC上的点，且满足DF=3FC,GC=2AG.求证：BD=2CE，DE⊥EA，EF⊥DG这三个条件，任意已知两个，可得第三个.

(山西省临县一中 李有贵 033200)

BD=2CE等价于

AD=2CE+AC=2AE-AC,

(1)

(2)

(3)

命题得证.

2021年5月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2601已知a,b,c∈R,a+b+c=abc,求证：

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

≥(ab+bc+ca-1)2.

(陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000)

2602已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点F1，F2在BC上，且∠CAF1=∠BAF2，AF1，AF2与CD分别交于点E1，E2.

(北京市朝阳区教育研究中心 蒋晓东 100028；北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校 郭文征 100121)

2603设△ABC的三边长为a,b,c,对应的高线、旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径和面积分别为ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,Δ,则

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

2604已知a，b，c>0，且abc=1.

(湖北省公安县第一中学 杨先义 434300)

(安徽省六安第二中学 陶兴红 237005)