从八省联考卷看解题教学的有效性

赵士元

(苏州市吴中区教学与教育科学研究室 215100)

波利亚在《怎样解题》一书中提到：“掌握数学就意味着善于解题”，这就是说解题教学是数学教学的重要组成部份，有效的数学教学离不开解题教学.

什么是解题教学？我们认为解题教学就是以数学问题为载体、以帮助学生掌握数学知识和基本技能为目的而进行的数学教学.在解题教学过程中，题目只是帮助学生理解数学知识、掌握数学技能的一个载体.因此，在数学解题教学中不能一味依靠“多讲题”达到“掌握”的程度.怎样组织数学解题教学活动？波利亚在书中指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“怎样想到这个解法的？”、“是什么原因引发了我们这样的思考？”.由此可见，解题的过程不只是寻求答案的过程更应该是完整的思维过程，解题教学的目的是让学生在例题教学的过程中体会思维过程、感悟思想方法，在体会和感悟的过程中掌握解决新问题的能力.可许多教师并没有真正理解解题教学的目的，有些教师在实施解题教学的过程中看似讲得有理有据、头头是道，但实质上往往是将自已预先探究好了的方法与过程直接传递给学生，或者由已知答案去凑所谓的解题思路，更有甚者，将解题教学演变成答题讲解，解题思维没有得到必要的凸现，解题教学的价值也没有得到有效体现.

学生解题的一般过程是怎样的？解题教学怎样进行才更有效？波利亚在书中对学生解题的一般过程作了归纳，他认为学生解题通常要经历“审题弄清题意、设计解题计划、实施解题计划、归纳并回顾反思”等四个过程，因此，解题教学也应当围绕这四个过程展开，下面以2021年1月举行的8省联考数学卷中的两道大题为例谈谈如何有效组织解题教学.

2021年8省联考第20题是这样的：

学生对这条题目的普遍反映是一个字：难！

果真如此吗？笔者在完整解答了这道题目后，认为这道题主要考核学生的数学阅读和理解能力以及对多面体的直观想象.并非大多数学生反映的那么难.

由于许多同学对大兴国际机场缺乏了解，同时受到了文字和图形的干扰，解题之初就在心理上造成一定的恐慌.可事实上，北京大兴机场仅仅是题目的一个载体，对解题本身并没有什么关联.本题的关健之处是对多面体某一顶点的曲率的理解并在此基础上理解多面体总曲率，多面体某一顶点的曲率与该顶点的所有面角之和有关系，有少许同学看到“曲率”两字就误以为是一个“比例”，把曲率理解为2π与该点处面角之和的比，题意的误读造成了解题的全盘皆输.

对题意的理解实质上是对学生数学阅读能力的考核，题中多面体某一顶点处的“曲率”是一个新定义概念，为了帮助学生准确理解这一新的概念，题中还以正四面体为例对“曲率”作了更具体的说明，考生要顺利解决这个问题，就必须精准理解这一新定义.本题题干和结论的设置也很符合中学生的认知心理：在给出文字概念的基础上以正四面体的总曲率的求解为例具体解释了求多面体总曲率的方法，在问题的目标部分设置了梯度感很强的两个小问题，第一个小问题是求出一般四棱锥的总曲率，这是对概念理解的初步考核；第二个问题是在更一般的情况下研究多面体的总曲率，这需要学生具备一定的空间想象力，但本人认为并没有超出高中生的能力范围.

1 题意的理解

1.1 条件的理解

1.2 解题目标的理解

题中目标有两个：一是四棱锥的总曲率；二是满足“顶点数-棱数+面数=2”的多面体的总曲率.要求四棱锥的总曲率需要知道什么？据题中所给“总曲率”的定义可知，需知道四棱锥每一顶点的曲率以及四棱锥的顶点总数，于是应逐个将每个顶点处的曲率分别求出来，现在的问题是题中涉及的四棱锥没有任何特殊性，于是使我们想到一种可能性：四棱锥的总曲率和四棱锥的具体类型没有实质性的关系，求出的答案应该是一个确定的答案.这个答案究竟是多少？教学时可引导学生从具体的四棱锥或前面所述的正四面体(特殊的三棱锥)和长方体总曲率的理解中找到一般的思路.

2 第一小题解题思路设计

第一小题的目标是求一个四棱锥的总曲率，按总曲率定义，应明确如下几个小问题：四棱锥有几个顶点？每个顶点的面角各有几个？这些面角分别为多少？其面角总和为多少？

3 第一小题解题计划的实施

为了解决以上几个小问题，我们不妨画一个四棱锥帮助学生更直观地理解多面体某顶点处的曲率以及总曲率：

如图，四棱锥P-ABCD共五个顶点，分别是P、A、B、C、D,其中顶点P处有四个面角，分别是∠APB,∠BPC,∠CPD,∠DPA,而另外四个顶点处均有三个面角，顶点A处的三个面角是∠PAD,∠PAB以及∠BAD,顶点B处的三个面角是∠PBA,∠PBC以及∠ABC,顶点C处的三个面角是∠PCB,∠PCD以及∠BCD,顶点D处的三个面角是∠PDC,∠PDA以及∠CDA,顶点P的曲率为2π-(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA),顶点A的曲率分别为2π-(∠PAD+∠PAB+∠BAD),另三个顶点的曲率依次为2π-(∠PBA+∠PBC+∠CBA),2π-(∠PCB+∠PCD+∠BCD),2π-(∠PDA+∠PDC+∠CDA),很明显各顶点的曲率并不确定，但其总曲率为这五个顶点的曲率之和，于是四棱锥的总曲率为：

10π-[(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA)+(∠PAD+∠PAB+∠BAD)+(∠PBA+∠PBC+∠CBA)+(∠PCB+∠PCD+∠BCD)+(∠PDA+∠PDC+∠CDA)].

易知中括号内的值恰为四棱锥五个面的内角总和，而四棱锥的五个面有四个是三角形，另一个是四边形，其内角总和为4×π+(4-2)π=6π，因此四棱锥的总曲率为10π-6π=4π.

4 第一小题解题反思

尽管四棱锥各顶点的曲率无法求出，但考虑到各顶点的曲率并非本题的最终目标，本题的最终目标是四棱锥的总曲率，因此解题时我们直接将五个顶点的曲率相加，经过对每个面角的分析可知，所有面角之和恰为四棱锥所在面的内角总和，其总曲率是“顶点数与2π的积减去所有面的内角总和”！这是一个重大发现，这个结论是否具有一般性呢？我们不妨回过头来看看题中正四面体的总曲率，我们知道正四面体共有四个面，每个面均为三角形，每个三角形的内角和为π，所有面的内角总和为4π，正四面体共有4个顶点，其总曲率为4×2π-4π=4π，与题中所给的结论一致.我们也可以以学生每天接触的教室加以验证：教室是一个六面体，共有八个顶点六个面，每个面均为长方形，其内角和为2π，所有面的内角总和为6×2π=12π，前已所述这一六面体的总曲率为4π，它恰好是8×2π-12π，再次证实了我们所发现的这一结论.

在研究第二个小问题时可以模仿第一个小问题，设计好解题计划并加以实施，但在具体设计前不妨考虑一下第一个小问题中的几个结论，无论是正四面体、四棱锥还是长方体，它们的顶点数、棱数、面数均符合“顶点数-棱数+面数=2”，其总曲率均为4π，而第二小题的目标是这类多面体的总曲率为常数，很明显这一常数应该是4π，而且它是“顶点数与2π的积减去所有面的内角总和”.事实上由于多面体的总曲率是所有顶点的曲率总和，因此总曲率是顶点与2π的积减去各顶点的面角总和，各顶点的面角总和便是所面的内角总和，因此这一发现是正确的.

5 第二小题解题计划的设计与实施

由题给条件“顶点数-棱数+面数=2”可以感知在解题时可能会用到顶点数、棱数和面数这三个不同的量，我们不妨设这类多面体的顶点数、棱数和面数分别是x,y,z，则x-y+z=2.为求解该多面体的总曲率，我们需要解决如下几个问题：

(1)此多面体一共有z个面，这些面分别是什么样的多边形呢？

(2)如何求该多面体各顶点的面角总和即该多面体所有面的内角总和?

(3)列出多面体的总曲率表达式后如何利用x-y+z=2这一结论?

我们给出如下解答：

设这多面体的z个面分别是k1,k2,…，kz边形，则各顶点的面角总和即该多面体所在面的内角总和为

(k1-2)π+(k2-2)π+…+(kz-2)π

=(k1+k2+…+kz)π-2zπ；

该多面体的总曲率应为

x·2π-[(k1+k2+…+kz)π-2zπ]；

由于多面体的每一条棱都属于而且只属于两个不同面的边，因此k1+k2+…+kz=2y.

于是该多面体的总曲率为

x·2π-[(k1+k2+…+kz)π-2zπ]

=2π(x-y+z)=4π.

6 解题反思

反思之一：由于本题是一个情境化试题，大兴机场这一实际问题情境让学生感到困惑，可事实上大兴机场只是本题的一个场景，它对解题本身没有什么影响.学生感到困惑的主要问题是数学阅读能力不足，在读题过程中不能很快地抓住题目本质，这不仅影响了解题速度更对解题心理产生了不必要的负面影响.教师在课堂教学中应注意培养学生数学阅读能力，使学生能尽早适应类似的情境化试题.

反思之二：在解答本题的过程中涉及到哪些数学思想？给了我们什么样的启示？纵观两个小题的解题过程可以发现，本题涉及到的主要数学思想有：特殊到一般、转化与化归.首先从题中给出的正四面体的总曲率求法得出总曲率与顶点以及各面内角总和的关系，从第一小题的解答再次印证其结论的合理性，由此向更一般的多面体推进，这时我们已经知道这个常数是多少，只需用必要的数学语言表达出来即可.在解答过程中总曲率的求解转化为各顶点面角总和的求解，进一步转化为多面体所有面的内角总和，这体现了数学解题中的转化策略.

反思之三：从正多面体的总曲率到四棱锥总曲率，进一步到一般多面体的总曲率，不仅在结论上具有一致性(其总曲率均为4π)，而且在求解策略上同样具有高度的一致性，这一点对于学生探索实际问题的求解是很有用处的，教师在教学过程中务必突出这种思想方法.

反思之四：本题在求解第二个小问题时，许多同学可能会有一种“可意会却很难表达”的感觉，也就是说可能会有许多同学从第一小题的求解得出各顶点的面角总和等于该多面体所在面的内角总和，但无法用数学语言表达清楚，甚至有些同学直接用这个结论进行求解.出现这种现象的主要原因是学生的数学表达能力不够，这一点需引起广大中学数学教师的注意，在平时的数学教学实践中不仅要教会学生正确的思维方法，也要在提高学生数学表达能力上多下一点功夫.

下面再以2021年8省联考第22题的第(1)小题为例说明如何在试题评讲中有效组织解题教学：

f(x)=ex-sinx-cosx，

几点反思：

反思之一：将函数f(x)看成是一个指数函数与三角函数的差是本题的一个关健，体现了“化陌生为熟悉”、“化未知为已知的转化思想”，而利用图象研究y1=ex与y2=sinx+cosx的函数值大小关系是“数形结合思想”的重要体现.教师的课堂教学务必关注数学思想方法的提炼；

结语：解题教学不是简单的问题解答，有效的解题教学不应只追求题目的解法，而应把问题的探索和思维的训练作为解题教学的主要目标，突出审题和解题计划的设计，而解题反思是解题教学不可忽视的重要环节，解题反思有利于学生更深刻地认识解题思路的设计.教师在组织解题教学时务必关注波利亚关于解题教学的四个基本环节，切实提升解题教学的效率，提升学生的数学素养和数学学科能力.