数学单元教学设计的标准与案例

何小亚 张 敏 李湖南 罗 静 张艳虹

(华南师范大学数学科学学院 510631)

数学单元教学设计指的是，对中小学数学教材中若干小节或一章的内容进行的整体性设计.数学单元设计能解决数学概念原理孤立分散、轻重不分、认识肤浅等问题.通过数学单元设计，能抓住核心概念、原理及其逻辑联系，深化数学知识的理解，整体把握知识体系，最终达到华罗庚先生的“把书读薄”之境界.下面，以人教版高中数学新教材第五章三角函数[1]为例，介绍数学单元教学设计的标准.

1 课程教材分析

(1)基本内容：把单元基本内容以结构框架或思维导图的方式呈现出来.

三角函数章节知识内容结构

(2)核心内容：筛选出核心概念、核心原理，明确数学主线.

A.核心概念：单位圆、弧度制；正弦、余弦、正切函数.

B.核心原理：正余弦平方关系、弦切关系；诱导公式；两角差的余弦公式.

C.数学主线：基本初等函数是函数家族中最简单的函数.在数学世界和真实世界中，有许多难题最终要化归为复杂的函数问题，而面对复杂的函数问题，我们必须将此函数问题化归为简单的基本初等函数问题，从而使难题获解.本单元简单化的思路：一是角度层面，把任意角化归为锐角处理；二是函数层面，把复杂的三角函数化归为简单的正弦、余弦、正切函数处理.

(3)地位作用：厘清单元知识的前后联系；明确跨学科的、知识应用的横向联系；把握单元内容的功能定位.

初中是在初三的图形与几何—图形的变化—图形的相似中介绍了锐角三角函数(sinA，cosA，tanA).高中的三角函数是初中的三角函数的推广深化(锐角推广为任意角；角度推广为实数).单位圆在三角函数单元中处于联系的中心地位，借助单位圆，引入弧度制和同角三角函数的基本关系；直观简洁地揭示了正弦、余弦、正切函数的定义和性质；利用单位圆的对称性，证明了诱导公式.用三角函数模型能解决大量的周期性问题.借助于信息技术的支持，三角函数模型能解决大量复杂的实际问题.

2 教学目标分析

结合课程标准的要求[2]，按照三维目标的操作性理论[3]去明确、分析.

2.1 知识与技能

言语信息；认知技能；动作技能.主要回答知道什么？理解什么？会做什么？

(1)任意角和弧度制

理解任意角的概念和弧度制，以及引入弧度制的必要性,会做弧度与角度的互化.

(2)三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数的定义；②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式,并画出三角函数的图像；③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-π/2,π/2)上的性质(如周期性、奇偶性、单调性、最大最小值，等等)；④理解同角三角函数的基本关系式；⑤借助计算机画出y=Asin(ωx+φ)的图像,观察3个参数对函数图像变化的影响；⑥能用三角函数解决简单的实际问题,知道三角函数是描述周期变化的函数模型.

(3)三角恒等变换

①用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程；

②能用两角差的余弦公式推导出两角和与差公式，倍半角公式；

③运用公式进行简单的恒等变形(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式).

2.2 过程与方法

数学教学不能只满足于“双基”(基础知识和基本技能)的教学，还应该通过大大小小的环节去追求更高大上的目标：数学思想方法的把握；数学问题解决与思维品质的改善；数学能力(含数学关键能力——数学核心素养)的提升；数学眼光的形成；基本活动经验的积累.

A.数学思想方法：化归思想、函数思想、方程思想；数形结合、分类讨论、换元法、待定系数法.

B.数学问题解决与思维品质的改善：数学思维品质，可以从广阔性、深刻性、灵活性、独创性、批判性、严谨性这些角度去思考.

给学生提供情境新颖的问题，让其独立解决问题，可以有效地提升其数学问题解决能力.例如，已知tan2θ=2tanθ+1,0<θ<2π.(1)求tan2θ的值；(2)若tanθ=2+tan3θ,试求出满足题设条件的θ，并将其表示为有理数与π的积的形式.

C.数学能力：数学核心素养(关键能力)可以在此体现，但不必面面俱到，应该有所侧重.例如，本单元比较突出的是：

几何直观：借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数,理解三角函数的图像及性质、诱导公式等恒等变换,从而理解三角函数在一个周期上的周期性、单调性、最大值、最小值、图像与x轴的交点等性质.

数学建模：将三角函数作为刻画现实世界的数学模型.首先提供丰富的实际背景,通过概括、抽象和分析,建立相应的三角函数模型,其次运用数学的思想方法研究三角函数模型,最后利用三角函数模型去更好地解释实际问题.这种处理体现了数学知识的发生、发展过程,有助于学生理解数学的本质.

D.数学眼光：就是观察数学世界和真实世界的一种意识，是在思考问题时数学方面的自觉意识、关注和习惯.包括：精确的眼光、严谨的眼光、简洁的眼光、概括的眼光、统一的眼光[4]；理想化的眼光(将实体简化假设为几何模式或代数模式)、共性化的眼光(对共同属性的敏感和发现)；数的意识、符号的意识、空间观念、数据分析的意识、数学应用的意识.

三角函数单元在形成简洁的眼光；概括的眼光、统一的眼光、理想化的眼光方面应该发挥重要的作用.

E.基本活动经验：通过三角函数的应用，积累问题解决和数学建模的经验.

2.3 情感态度价值观

数学信念、数学兴趣、数学具体内容的喜好与感受.

追求简单化是数学的灵魂；化归是将复杂变简单的利器；感受三角公式的概括性(以一个有限的模式驾驭无穷的具体)；佩服正弦、余弦兄弟超强的数字压缩功能；喜欢单位圆(数学小可爱“园园”)强大的统一联系功能；崇拜正切变换“盼盼”，他能带领正弦余弦兄弟由[-1，1]穿越到浩瀚的实数空间(-∞,+∞).

3 重点数学解析

3.1 函数概念的本质

初中的锐角三角函数是用直角三角形中的边之比来定义的，其中自变量的取值是60进位制的角度、不是10进位制的实数，是函数的变量说，不符合高中的对应关系函数定义.高中的函数必须是两个非空实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算(四则运算、复合、求反函数等).

高中的三角函数是通过角的终边与单位圆交点的纵横坐标及其比来定义的，受制于初中函数变量说定义的局限性，这里师生容易误将变量当成函数，而且难以理解变量x是角变量的函数.

突破难点对策是：通过幂函数、指数函数和对数函数的学习，使学生能够理解：“函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应；前面的集合叫定义域，那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的集合；函数概念的关键是由谁唯一确定了谁；函数概念与两个变量所用的符号没有什么关系，就像人的名字一样(圆面积S是半径r的函数，这里并没有x、y)；函数其实就是一个系统，一台机器，它由两个变量，两个非空数集，对应法则f(比如乘2加3，平方，表格对应，箭头对应，……)构成，不能把函数值f(x)当成函数,也不能把对应法则f当成函数.我们可以说一个变量是另一个变量的函数，但不能把变量x、y当成函数，因为函数不是变量，而是一个系统.”[5]

用单位圆来定义正弦、余弦、正切函数，似乎简单了，但其应用的功能减弱了，因为对于一个角的终边上，不在单位圆上的那些点的坐标条件的应用还是需要单位圆定义的三角函数坐标.因此，为了提高定义的应用功能以及“大道至简”的原则，在利用相似三角形的性质讲初中的三角函数定义与高中的新定义的联系和统一时，顺势引入三角函数的终边定义，并指出两种定义的等价性.

3.2 角度制与弧度制

角度制适用于初等数学.用角度作为自变量表示三角函数，除了函数定义的缺陷外，还存在着另外一个问题，就是自变量的值与函数值不能进行运算(例如，60°与 sin 60°不能相加，阻碍了三角函数通过运算法则形成其它初等函数.

正是由于更简洁这个原因, 在现代数学的文献中, 与三角函数有关的量一律采用弧度制.

“弧度制是高中数学中另一个与接受假设相关的重要概念，由于教学中处理不当，学生难以理解引入弧度制的必要性与合理性.角度制是同一量纲范畴下的度量，学生可接受理解，但弧度制则是不同量纲范畴下的度量，学生难以理解和接受.例如，对于1800=π，学生的困惑是：左边是一个角度，右边是一个实数，怎么可能相等?事实上，学生的质疑是有道理的，这个等式的相等其实只是一一对应.要解除学生的困惑，首先是对“=”的理解需要从算术意义跨越至代数意义.”[6]

其次，教师可以如此说明：分别以米和厘米量一段3米长的铁丝时，结果分别是3份和300份，即3米=300厘米.用周角的360分之一,即1度角作为一个单位去度量周角，得到360度.用1度角作为一个单位去度量周角，等价于用圆周长的360分之一(即1份)去度量了圆周长，得到了360份，而用半径r作为一个单位(弧度)去度量圆周长2πr，得到2π份(弧度)，所以，360份=2π弧度，3600=2π弧度，即1800=π.

解决引入弧度制的必要性与合理性问题，一条思路是按照弧度制发展的历史设计教学[7]；另一种方法是借用汽车里程表模型来说明弧度制的必要性与合理性.

3.3 对三角公式的重新审视

本单元核心的数学原理：正余弦平方关系、弦切关系；诱导公式；两角差的余弦公式.

诱导公式是化归的神器，能将复杂的任意角的三角函数的推理计算化归到简单的第一象限角的三角函数的推理计算.

两角差的余弦公式则是两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及积化和差与和差化积等三角变换的核心公式，由其可以推演出后续其余的公式.

公式是一种数学原理，原理学习的本质是[8]P60-63：

(1)原理学习实际上是学习一些概念之间的关系；

(2)原理学习不是习得描述原理的言语信息，而是习得原理的心理意义，它是一种有意义的学习；

(3)原理学习实质上是习得产生式：只要条件信息一满足，相应的结论的行为反应就自然出现.学习者据此指导自己的行为并解决遇到的新问题；

(4)习得原理不是孤立地掌握一个原理，而是要在原理之间建立联系，形成原理网络.

数学原理学习的核心是要帮助学生把握原理结构的不变性，理解数学原理的概括性(即：以一个有限的原理模式驾驭无穷的具体)，以及表达这一不变性的多样性.

小学、初中、高中、大学的数学公式的学习，本质是一样的，也就是：结构的确定性与字母的可变性！例如，学习两角和的余弦公式，就要摆脱符号的约束，构建结构图式：

cos﹙□+△﹚↔cos□cos△-sin□sin△.

3.4 三角变换的透视与数学证明的本质

正弦、余弦变换是周期性压缩变换：R→[-1,1]，但不可逆，因为它不是1-1对应；

正切变换：(-π/2, π/2)→R，是1-1对应，可逆.正切值↔实数；

通过三角变换的相关证明，要让学生明白：数学证明的本质是寻求题设和结论之间的逻辑联系.学会数学证明的思维方式：由因导果，执果索因，上下紧逼，前后夹攻，思路贯通.

教师心中要非常清楚数学证明的教育价值：(1)理解、深化数学概念；(2)巩固、掌握数学原理；(3)获得数学证明的思维方式；(4)训练提高推理能力，培养理性精神；(5)学会逻辑地表达交流；(6)理解命题，相信数学结论，获得数学自信.