数列中单调性和最值问题的探讨

陈庆芳

【摘要】函数和数列是一个有机的统一体，研究数列时离不开函数知识.数列作为特殊的函数，有关数列的问题常常成为高考中的压轴题.我们研究过函数的许多重要性质、如单调性、奇偶性，周期性等，事实上，函数中的许多重要性质在数列中也有广泛的用途，只不过我们在研究数列中的单调性和最值问题时，由于受数列自身定义域的限制，研究的方式将会发生一些偏差.本文笔者就从数列中单调性和极值问题的探讨出发，谈一下自己的几点见解.

【关键词】数列;单调性;最值;探讨;恒成立

【基金项目】本文系广东省肇庆市基础教育科研“十三五”规划项目2019年度课题“高中数学核心素养下深度教学策略研究”（编号：2019ZQJYKYKT147）研究成果.

数列作为特殊的函数，中间穿插函数的特殊性质后，成为学生数列解题中的重点，也成为高考数列问题中的难点.我们研究数列时要和函数，甚至还要和不等式紧密结合起来，但是数列和函数有联系，也有区别.在没有特别说明的情况下，函数的定义域为使得表达式有意义的自变量x的取值集合;而数列的定义域则是正整数集或它的有限子集.由于受定义域的影响，我们在函数和数列中处理单调性和最值问题的方式会有所不同.抓住函数和数列的联系，区别函数与数列的不同之处对于处理数列中的重要性质有着至关重要的作用.

本文笔者就从数列中的重要性质入手，研究数列的单调性、最值，包括恒成立问题，并给出自己的见解.

一、数列中简单不等式的求解

已知等差数列{a n}中，a 2=4，a 4+a 7=15.

（1）求数列{a n}的通项公式;

（2）设b n=2a n-2+n，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n>2016成立的n的最小值.

分析 读完本道数列习题，大家会发现本题难度不大.第一问数列{a n}的通项公式的求解比较容易，第二问中T n的求解用的是分组求和法，难度也不大，求出T n后，我们化简得到2n+1+n（n+1）[]2>2018.在这个不等式中n的取值是一切正整数，要求的是满足这个不等式的最小正整数n.

下面请大家一起来关注一下不等式：2n+1+n（n+1）[]2>2018，这个不等式不是我们学习过的常规不等式，所以我们不能用常规方法来求解，并且我们也不好猜测方程2n+1+n（n+1）[]2=2018的根.那么这个不等式应该怎么来求解呢？

下面先请大家来看一个函数：y=2x+1+x（x+1）[]2，我们发现这个函数在（0，+∞）上单调递增，单调递增的意思就是y要随着x的增大而增大.于是，大家解题就有了思路.

我们来构造一个新的数列：f（n）=2n+1+n（n+1）[]2.从上面的分析过程我们可以提炼出这样一条结论：数列f（n）=2n+1+n（n+1）[]2（n∈N*）是一个递增数列.所以我们只要求出第一个使得不等式2n+1+n（n+1）[]2>2018成立的正整数n就行了.

点评 上述例题的讲解已经结束，大家可以总结出非常规不等式，尤其是跟正整数n有关的不等式的求解技巧，如例题，我们可以判断并证明不等式左边那个式子的单调性，从而为我们不等式的求解提供便利的条件.

二、挖掘数列的单调性并求出数列中的最大（小）项

大家在数列中会遇到这样的一类题型，譬如说，我们求出了一个数列的通项公式是关于n的二次型的，然后我们要去求这个数列中的最大项、最小项，这个问题对于一个班级中的绝大多数同学来说应该是很简单的.可下面问题就来了，如果这个数列的通项公式不是二次型那么简单的，那么求解数列中的最大项、最小项问题对好多同学来说就显得很头疼，而且无从下手了.那该怎么办呢？

为了解决上述这个疑难问题，笔者设计例题如下.

已知等差数列{a n}的前n項和为S n，且a 1+a 5=17，S 8=56.

（1）求该等差数列的公差d;

（2）设数列{b n}满足b n=3na n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由.

分析 由题意，最终可以得到：b n=3n-n+23[]2.那么原问题就转化为求b n=3n-n+23[]2的最大值.

师：同学们一起看一下上述{b n}的通项公式，大家可以发现该通项公式形式比较复杂，无法转化为我们熟悉的式子，就算是把其中的变量n变成变量x用函数的观点去处理该问题，并以导数作为工具，这个问题似乎也不太好解决.那么大家有什么好方法吗？

师：既然大家一时想不到什么有用的方法，那么我们不妨来回忆一下选修2-3上面的二项式定理.大家还记得其中求系数最大项和系数最小项问题吗？要求系数最大项，就是利用这一项的系数比前一项的系数大，也比后一项的系数大;要求系数最小项，同理可得.

学生甲：老师，我知道了，我们可以假设b n最大，则有如下的不等关系：b n≥b n+1，

b n≥b n-1，代入后可得如下形式：3n-n+23[]2≥3n+1-n+21[]2，

3n-n+23[]2≥3n-1-n+25[]2，

最后该形式化简后可得不等式10≤n≤11.所以b 10和b 11同时达到最大.

老师：学生甲的做法很正确.那么我们大家再一起来回忆一下单调数列的定义：在数列{a n}中，如果对于任意的n∈N*，a na n+1），则称数列{a n}为单调递增数列（或单调递减数列）.看到这个定义，大家想到什么了吗？

同学乙：老师，我知道怎么做了.作差啊！我们可以考虑b n+1-b n（n∈N*），即数列{b n}中任意的后一项减去前一项.我们可以来一起操作一下，得到b n+1-b n=2×3n（10-n）.从这里我们就可得知，当n≤9时，b n+1>b n，当n=10时，b 10=b 11;当n≥11时，b n+1<b n.

老师：同学乙的思路很正确，步骤很规范.最后我们就可以得出这样一条完整的结论：b 1b 12>b 13>…从这里我们就可以很明显地得到数列{b n}中的最大项有两项，它们分别为b 10和b 11.

点评 从上述师生的互动交流中，我们可以发现，只要讨论与比较一个数列中相邻两项的关系就能得出该数列的单调性，从而得到这个数列的最大项和最小项.这种方法通常也是探讨数列的单调性与最值的常用方法.在上述的解题过程中，我们介绍了两种不同的方法，学生甲的做法既是对二项式定理中系数最大最小项问题的复习巩固，也是已会知识间的联系与贯通，学生乙的做法就是教会大家研究一个数列实则就是研究这个数列中的相邻两项的关系.不同方法的引入与渗透加深了学生对于知识点的灵活应用，还加深了学生对于数列单调性与最值问题的理解与掌握.

三、数列中恒成立问题的求解

当我们判断并证明出一个数列的单调性时，这时该数列可以和函数中的恒成立问题相结合.笔者根据自己在教学中遇到的问题设计例题如下，供大家参考.

已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和.

（1）若S 4，S 10，S 7成等差数列，证明a 1，a 7，a 4也成等差数列;

（2）设S 3=3[]2，S 6=21[]16，b n=λa n-n2.若数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.

分析 看完题目，我们可以得知，这道数列题考查的知识点的综合性还是比较强的，里面既有等差数列，又有等比数列，还有数列的单调性以及数列中的恒成立问题.

下面请大家先一起来看一下第二小问，我们可以先求出数列{a n}的通项公式，得知a n=2·-1[]2n-1，因此b n=λ·2·-1[]2n-1-n2.于是问题就转化为不等式b n+1

解题的思路有了，可是问题又来了，首先-3-1[]2n-1这个表达式的正负情况我们不清楚，它可正可负，而且n是正整数，这又该怎么办呢？大家仔细分析一下，我们来关注一下-3-1[]2n-1，当n为偶数时，该式子是正数，待会在处理的时候不等号的方向不要改变;当n是奇数的时候，该式子是负数，待会在处理的时候不等号的方向需要改变.

下面我们把这道例题的恒成立的过程给大家展示一下：

在不等式-3λ-1[]2n-1<2n+1中，

当n为偶数时，不等式可化为λ<2n-1（2n+1）[]3.对于2n-1（2n+1），令c n=2n-1（2n+1）（n∈N*），则c n>0，∴c n+1[]c n=2n（2n+3）[]2n-1（2n+1）=2（2n+3）[]2n+1>1，∴c n+1>c n.∴数列{c n}为单调递增数列.又λ<2n-1（2n+1）[]3 min，∴λ<（c n） min，∴λ

當n为奇数时，不等式可化为λ>-2n-1（2n+1）[]3.由上述分析可知，数列{c n}为单调递增数列，因此数列{-c n}是单调递减数列，（-c n） max=-c 1=-1.∴λ>-1.

综上得，实数λ的取值范围为-1，10[]3.

点评 上述的精彩讲评已经结束，刚刚一开始就说了，这道例题中考查的知识点比较全面，在后面分参过程中对n的奇偶数的讨论决定了不等号方向是否改变，中间对于数列单调性的判断与证明表现得淋漓尽致.

事实上，关于数列中的项的单调性与最值问题，主要涉及不等式中的离散情况的恒成立问题.其中最常用的是作差比较的方法，用它来研究数列中的相邻两项的关系.另外，通过函数图像法，运用基本不等式法，先猜后证法，求导法，当然这些方法要和函数联系起来，对于解决数列问题有时能够收到意想不到的效果.同时，在解题时通过一题多解、数形结合、分类讨论的思想处理数列中的单调性问题、最值问题、恒成立问题、范围问题，能让学生的思维逐渐活跃起来，让学生的思维得到充分的锻炼，使得学生能够更加爱数学，提高学生在数学方面的各种解题能力，增强学生学习数学的兴趣.研究数列的单调性和最值问题，对于培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活性以及严谨性都有很好的帮助.因此我们教师在平时的教学过程中要注意培养学生这方面的能力.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]方均斌.“数学问题解决”研究的中国特色[J].课程·教材·教法，2015（03）：58-62.