新课标下初中数学分类讨论思想教学的几个着力点

关建昌

【摘要】在初中数学教学中，分类讨论思想是重要的教学方法之一，有助于促进学生思维发展、提高学生解题效率;这种不断渗透的教学方式，将初中新课标下九年义务教育的要求充分体现了出来，其反映出随时代变化，社会对人才素质要求的提高.

【关键词】数学;初中;新课标;分类讨论思想

前 言

分类讨论思想体现了数学的内在特征，是数学教学中重要的解题方法.以往传统教学模式虽然具有较长应用历史，但却存在着明显缺陷，其以教师为中心，注重基础知识的传授、讲解，忽略培养学生实际处理数学问题的能力，影响教学成果[1].对此，在新课标下，教师要积极学习先进教学模式，充分运用分类讨论思想，提高教学质量.

一、分类讨论思想定义及其理论依据

（一）定义

初中数学具有严谨的知识体系与逻辑结构，差别于语文、英语等其他学科，数学知识一般是明确真理与客观存在的，并非学生主观感受“仁者见仁”.因此，相比于其他学科，初中数学的教学较为复杂，大量的教学内容需要分类讨论，如几何图形的位置关系、不同条件下数学公式变形等.如何提高初中教学质量，促使学生更好地去掌握数学知识要点，正确、科学的教学方法与途径显得至关重要.分类讨论思想根据数学知识点的关键因素、内部特征，划分成多个类别进行分析讨论.分类讨论思想教学方式，在教学过程中可条理清晰、一一列举出问题的各种解决方法，同时可保证解决方案的概括性与全面性，避免遗漏重要知识点，改善数学教学质量，帮助初中学生更好地掌握数学知识要点.

（二）理论依据

从逻辑层面来看，分类讨论其子项外延的总和与母项外延相等;且整个划分过程只有一个基本标准;最终划分出的子项一定要完全列出来;同时划分操作必须依照某类从属关系逐级落实，决不能出现随意越级的问题.

对于该思想而言，其根本是分类，倘若分类错误，就无法得到正确的讨论结果.而分类本质上则是逻辑上的划分.划分是一种展现概念外延的重要逻辑方式，其原则就是划分依据，也可以说是该思想中分类的主要标准.对此，明确划分依据则是实现正确分类讨论的关键所在.

划分规则通常包含这几项：一是划分之后的所有子项之间都应该是互不相容的，比如长方形、正方形、菱形都是平行四边形;二是必须穷尽母项，比如自然数可以分成偶数和奇数两类;三是每一次的划分都要按照同一标准，比如将三角形按照角进行划分，可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，将其按照边分，就分为三边都不相等的三角形和有两边相等的三角形.

二、分类讨论引起原因

在整个初中数学教学中，分类讨论思想贯穿全部，一般可将其归结为以下几个原因：（1）分類讨论根据实际问题具体分析，如实际应用题、组合问题、排列问题等;（2）通过分类讨论思想对数学问题中的不确定结论、不确定的图形位置或形状、不确定的数量关系等进行分析[2];（3）在数学问题中遇到参数（含有字母系数）问题，需要通过分类讨论思想对参数区间、取值范围等进行分析;（4）数学问题中涉及法则、运算性质或公式、数学定理等分类给出或给出有条件范围需要通过分类讨论思想分析;（5）如绝对值这类，数学问题概念本身存在分类定义[3].

三、初中数学教学中分类讨论思想的应用

一般，在解答分类讨论类问题时需要按照一定步骤开展：一是确定出具体的分类对象;二是针对问题当中的某些条件进行分类，在同一标准之下实施合理分类;三是逐类进行讨论;四是对各类的讨论结果进行整理归纳，最终得出相关结论.实际使用该思想解决问题的时候需要在正确分类的前提下尽可能减少分类，从而使问题解决更为简便.

（一）在函数或方程中的应用

对于涉及函数、代数式或方程的题目来说，我们在使用该思想进行解决的时候，可以根据字母的不同取值，分别在其不同取值范围当中进行讨论，最终顺利解决问题.

比如，在求解y=（a-1）x2+ax+1和x轴的交点坐标时，由于该问题条件具有众多可能性，所以该函数也会有很多可能的情况.具体将其分为两类，也就是函数是一次函数或者是二次函数.两种情况最终得出的结果为：第一，当该函数是一次函数的时候，a=1，函数和x轴的交点坐标为（-1，0）.第二，当该函数是二次函数的时候，a≠1，Δ=（a-2）2，①当Δ>0，即a≠2的时候，与x轴有两个交点，即（-1，0）和  1[]1-a，0;②当Δ=0，即a=2的时候，与x轴有一个交点，即（-1，0）;③当Δ<0，即（a-2）2<0时，a的取值不存在.在这样的讨论过程中最终就能够得到正确答案，即当a=1的时候，该函数和x轴的交点为（-1，0）;当a≠1且a≠2的时候，该函数和x轴的交点为（-1，0）和1[]1-a，0;当a≠1，且a=2的时候，该函数和x轴的交点为（-1，0）.

或者在解|3-x|+|x+2|=5这类含有绝对值的方程时，可以先把绝对值当中的对象分为负数、正数和零三种情况，然后进行分类讨论.在该题目当中，对于|3-x|来说，能够分为x<3、x=3以及x>3三种情况;对于|x+2|来说，则可以分为x=-2、x<-2以及x>-2三种情况.同时将分类好的范围表示在数轴当中，从而转为这三种基本情形：第一，x<-2，这时候原本的方程可以直接转化为3-x-（x+2）=5，那么最终x就能够得出为-2，这一点与x<-2是互相矛盾的，所以在该情形之下，原方程无解;第二，-2≤x≤3，这时候原本的方程就可以直接转化为3-x+x+2=5，方程恒成立，最终在-2≤x≤3内的所有实数都是该方程的解;第三，x>3，这时候原本的方程就可以直接转化为-（3-x）+x+2=5，最终解出x=3，这一点和x>3是相互矛盾的，所以在该情形下原方程无解.那么最终就能够得到该题目的结果为-2≤x≤3.

我们通过这一案例分析能够发现，一旦遇到这类问题，必须先进行审题，充分理解题意.教师还要促使学生在日常养成严谨审题的好习惯，进而避免因为审题不认真而引起重复或者漏解的问题.

（二）在实践课题中的应用

数学是一门中学必修课，可锻炼学生的理解能力、学习能力、思维能力;同时初中数学相比其他课程，如英语、语文、历史等，对于学生的综合分析能力、逻辑思维能力要求较高;相比其他课程，初中数学学习难度、教学难度相对较高.因此，在新课标下，将分类讨论思想运用于实践课题教学，对提高学生学习能力、综合分析能力等至关重要.在初中教学中，教师可通过分类讨论思想为学生设计题目.如，某面粉加工厂现有面粉9吨，若厂家直接在市场销售面粉，每吨获利500元;制成面条销售每吨额外可多获利700元;制成面包销售，每吨额外可多获利1500元;该工厂每天可加工生产3吨面条;制成面包每天可生产1吨;由于工厂规模有限，两种产品无法同时加工;受市场环境影响，这批面粉需要在4天内销售或加工完成.对于此题目，教师可引导学生对影响工厂加工的因素进行综合性分析，并从利益最大化角度出发，指定设计方案.初中数学教师可以通过这种教学模式，将分类讨论思想融入教学之中，从而提高学生的数学能力.

（三）将分类讨论思想应用于几何教学中

初中数学与小学阶段数学存在巨大差别，初中数学正式接触几何知识，不仅学习难度增加，同时其包含的图形知识对学生思维能力提出更高要求.为更好地帮助学生理解、掌握几何知识，在教学中，教师应充分运用分类讨论思想，对几何图形知识进行全面剖析.

初中数学当中圆的对称性、圆和直线、圆与圆，甚至圆和正多边形的关系都是非常重要的内容.并且在圆的对称性与位置关系的相关问题解决当中，分类讨论思想应用最多，它能够促使学生更加明确题目当中的各项变量和两个图形之间的距离等内容.

1.确定点和圆的位置关系，直线与圆的关系，可通过作图表示，当点或者直线运动过程中，它们和圆的位置关系会出现不同的情况，进而进行分类讨论.

2.在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，教师可以借助几何画板制作图形（如图1所示），通过移动点B，会出现以下三种情况，让学生总结归纳，从而培养学生分类讨论思想.在证明过程中，教师要引导学生从特殊情况入手进行证明，并让学生思考：其他两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？在教学过程中，教师要有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法.

3.几何动点题型体现分类思想：如图2：已知射线DE与y轴、x轴分别交于点E与点D，动点C以1个单位长度/秒的速度从点M（5，0）沿x轴匀速向左运动;同时动点P以同样速度从点D匀速沿射线方向运动，假设运动时间为t秒.（1）以点C为圆心，12t个单位长度为半径的⊙C与x轴相交于点A、点B（A点在B点左侧），连接PA，PB;①当△PAB为等腰三角形时，求t值;②当射线DE与⊙C有公共点时，求t的取值范围.（2）请用含t的代数式，表示出点P与点C的坐标.对于以上数学问题，虽然相对其他科目难度颇高，但只要学生主动积极学习，充分掌握中学数学知识，具有一定的类比技巧与联想技能，知道数学问题最基本的解决方法，透过其复杂外表，看到问题的根本，再根据自己所学知识，有效地构造出问题的新特征，合理进行知识迁移，寻找问题解决路径与思路，就能解答此问题，并能提高其数学能力，培养其逻辑思维，使其形成良好的独立的思维习惯，避免过度依赖他人.教师在教学过程中利用分类讨论思想进行教学，可提高学生的理解能力，促进学生思维发展.

四、经验总结

首先，教师应当找准时机，将分类的思想方法渗透给学生，比如可以在概念学习当中进行渗透;也可以在法则探究当中进行渗透;或者在图形求解当中进行渗透.

其次，教师进行启发诱导，将该思想的本質揭露出来，比如具体依照问题的需求去分类;在分类的时候必须要有相对比较明确的标准.

最后，教师进一步加大对这类思想方法在问题应用中的研究，比如可以依照取值范围进行分类;或者直接依照几何图形的位置关系进行分类.

结 语

总体来说，初中数学题目虽然灵活多变，但有迹可循.在教学中，教师充分运用先进教学模式，将分类讨论思想融入初中数学教学中，有助于提高学生分类讨论能力，提高课堂的趣味性，强化学生解题效率，提高学生数学成绩.

【参考文献】

[1]杨雪莲.试论分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用[J].时代教育，2017（8）：149.

[2]张福生.初中数学分类讨论思想的教学建议[J].中学数学教学参考，2016（33）：28-29.