三次数学危机作为高等数学第一课的教学探索与实践

董 乐， 朱亚丽， 马迎宾

(河南师范大学 数学与信息科学学院，河南 新乡453000)

1 引 言

高等数学课程是我国理工科非数学专业的公共基础课，其核心内容为“微积分”.因为此课程内容具有广泛的应用性，为后续课程的学习提供了必要的数学工具；但同时它还有高度的抽象性和严密的逻辑性，所以学生在学习的时候会感觉有些不适应.

这门课程通常在大学一年级开设，而刚走出高中、走进大学的学生往往会有“数学就是做题”的片面认识，遇到困难又容易产生畏难心理.并且他们的计算能力普遍强于证明能力，逻辑推理水平不高，严密严谨性把握不准确.教师如果仅仅按照教材照本宣科，或只重视做题能力的培养，学生难免会觉得枯燥乏味，抽象困难，对后续课程的学习也会造成影响，印证“难学”的说法.数学史融入数学教学可让学生认识所学知识的发展历程，从而更加深刻地理解概念本身，厘清逻辑关系，并增加教学趣味性[1-2].

此外，三次数学危机也能培养学生的质疑精神，让学生懂得危机与机遇并存，只要坚持科学的理念、正确的方法，自强不息，不断探求、解决遇到的危机与困难，就能不断突破，战胜自我，从而使本节课成为课程思政的典型案例.

2 三次数学危机简介

公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”的哲学理念，认为万物按照一定的数量比例构成和谐的秩序.这里的数量比例指的是互素整数的比，也就是常说的既约分数，所以毕达哥拉斯学派声称的“数”指的就是今天所说的有理数，他们称其为可公度的.毕达哥拉斯定理，在中国称为“勾股定理”，但正是这一定理得到了当时无法解释的结果.学派中一位叫希帕索斯的门徒发现，对于直角边长为1的等腰直角三角形来说，其斜边的长无法写成两互素整数比的形式，即若a2=2，则a是不可公度的.这就与“万物皆数”的说法相矛盾，第一次数学危机爆发.

解决第一次数学危机并不仅仅是承认无理数存在那么简单，还要对无理数的本质进行准确地刻画，但囿于数学发展水平，这种刻画在当时是无法真正给出的.

第二次数学危机产生于17至18世纪，基于古代数学中割圆术、穷竭法的思想和当时科学技术发展的需要，一些科学家对求最大最小值、求曲线长度等问题的研究日渐深入，而最终牛顿和莱布尼茨两人成为集大成者，分别由速度、加速度问题和切线问题出发独立地构建了微积分系统.牛顿与莱布尼茨的方法可以解决较以前来说更为广泛的问题，并使微积分不再是古希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科学[3].但当时微积分的理论基础并不牢固，甚至可以说非常脆弱.许多证明被攻击为不可靠的，或者是不严密的.英国的贝克莱主教称微分法是忽略了高阶无穷小才消除了误差，因此是“依靠双重错误得到了虽然不科学却是正确的结果”[3]，甚至挖苦说无穷小量是“消逝量的鬼魂”[4].这样，有关微积分基础的争论导致了第二次数学危机的爆发.

之后，许多杰出的数学家尝试进行微积分的严密性工作.柯西的《代数分析教程》和《无穷小分析教程概论》迈出了微积分严密化的关键一步，但其中“无限趋近”和“要多小有多小”这样的非形式化表述表明严密化的不彻底性.直到19世纪，魏尔斯特拉斯给出了极限和连续的“ε-δ”语言定义，并将导数、积分等概念严格地定义在极限的基础上，第二次数学危机的结束才成为可能，魏尔斯特拉斯也获得了“现代分析之父”的称号[5].

为了对极限理论进行完善，魏尔斯特拉斯在1860年提出用递增有界数列来定义无理数.1872年和1883年，戴德金和康托尔又分别用分割和基本序列来定义无理数.这些努力都证明了实数系的完备性，标志着分析算术化运动的完成，也宣告了第一次数学危机的最终结束[5].在分析的严格化过程中，无穷多个元素组成的集合成为无法回避的重点概念.康托尔在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”时接触到了无穷点集，随后一步步地发展出一般集合的概念，并把集合论发展成为一门独立的学科[6].而随着集合论占统治地位，现代数学时代正式到来.康托尔的超限基数与超限序数理论在数学界引起轩然大波，但最终获得认可，并饱受赞誉.不料，罗素悖论横空出世，它是那么地简洁明晰，而且所涉及的正是集合论中最重要的方面，所以给予已经成为现代数学基础并被大部分数学家认可的集合论以致命一击，直接导致了第三次数学危机.

为解决危机，德国数学家策梅罗把集合作为不加定义的原始概念，并规定满足他给出的几条公理，在弗兰克尔的改进下形成了“策梅罗-弗兰克尔集合论公理系统”，简称“ZF系统”.此外，冯·诺依曼等人通过另一种排除悖论的方式构建了所谓的“NBG系统”.但是将集合论建立在一系列公理之上，引起了许多数学家的非议，这些公理的合理性争论一直延续至今.

三次数学危机分别以“希帕索斯悖论”、“贝克莱悖论”和“罗素悖论”为导火索，是数学发展到一定阶段，在一定的背景下产生的认识上的“观念危机”[7].而且，危机都涉及到了整个数学的基础部分[8]，并危及众多重要数学成果的正确性，成为无法回避的矛盾，从而引起数学界的高度重视.为了化解危机，许多杰出数学家做了大量工作，从各个角度进行了多次的尝试，而且往往历经漫长的历史时期才结束危机.每一次的“转危为安”，都会使数学前进一大步，使人类的数学理念得到更新和升华，并且得到许多“副产品”，出现更多的与当前时代紧密相连的数学分支，促进科学技术更快更好地发展[9-10].

3 教学设计与实践

马克思主义哲学家阿尔都塞认为科学的危机实质上是科学家自发的哲学的危机，又与实践的意识形态相关联，这就使得哲学成为了应对与化解科学危机的主战场[11].用三次数学危机作为高等数学课程的第一课，可以加深学生对数学本质的认识，其教学设计按照时间顺序，由第一次数学危机开始，到第三次数学危机结束.本节给出对每次数学危机的设计思路、实施方案和实践效果与反思，这些设计考虑了学生情况、课程特点、课程内容与数学素养的培养.

3.1 第一次数学危机

3.1.1 设计思路

高等数学的授课对象为大一新生，他们刚刚经历过高考选拔，从高中进入大学学习.与中学侧重知识传授和方法应用不同，大学培养的学生要富有质疑精神，对书本和老师给出的学习内容要多问“为什么”.所以，高等数学的第一课应该培养学生的质疑精神，告诉学生对学习内容不能直接全盘接受，更不能人云亦云.而第一次数学危机的过程就是学生质疑老师的过程，希帕索斯对“万物皆(有理)数”的质疑使无理数登上历史舞台，并最终形成了完备的实数系统.

此外，大一学生的计算能力较强，而证明水平偏弱，对第一次数学危机的介绍可以培养学生的逻辑推理这一核心素养，培养“只有数学证明的命题才令人信服”的观念.

3.1.2 实施方案

首先简单介绍古希腊的重要哲学派别——毕达哥拉斯学派.该学派提出“数”是万物的本源，而所称的“数”其实仅是今天所说的有理数；并且，“毕达哥拉斯定理”享誉西方，即我国的“勾股定理”(经典的证明方法中学已给出，这里不必赘述).

最后，老师将问题推广，给学生留下思考题：

3.2 第二次数学危机

3.2.1 设计思路

第二次数学危机与高等数学课程内容密切相关，对它的介绍可以直接回应学生初学时最大的困惑——为什么要用“ε-δ”语言来给出极限的定义.

历史发展的顺序是先有微积分应用于实际问题，后有极限的严格定义完善其理论基础；但是一般教材都是极限定义在先，导数和积分在后.如果老师按照这样的顺序讲授，就会使学生不知道为什么极限要用如此抽象的方式定义，产生畏难心理或者逆反心理，并对后面的学习造成负面影响.而如果先讲导数和积分，后讲极限，那么导数和积分的定义将无法讲授，因为它们都是通过极限给出定义的.

介绍第二次数学危机，通过讲述贝克莱对无穷小的讥讽、牛顿与莱布尼茨的束手无策、柯西等人的不懈努力和魏尔斯特拉斯的另辟蹊径，可以使学生了解历史的真相，一起感受无穷小严格定义难产的无奈，最终体会到极限“ε-δ”语言定义的必然性和巧妙所在.

3.2.2 实施方案

微积分的出现是历史的必然.老师首先需要指出，在费马等一批数学家工作的基础之上，牛顿和莱布尼茨建立了较为完善的微积分系统，但是仍有一些关键性问题无法解释清楚.

这时抛出贝克莱对牛顿责难的“求xn的流数(导数)”的例子[6]，其中符号与现代记法保持一致：

为了求xn的流数，假设在相同的时间内，x通过流动变化为x+Δx，即x有增量Δx，同时xn变化为

贝克莱指责说，在过程中先取一个非零的Δx进行计算，最终却又让它“消失”，这本身就是一个前后矛盾的推理，并称这些消失的增量为“消逝量的鬼魂”，甚至称牛顿是“瞪着眼睛说瞎话”，“从两个互相矛盾的假设，不可能得出任何合理的结论.”

老师应该说明，此处的Δx实际上是趋于零的，也就是后面将要学到的极限为零的无穷小量，牛顿和莱布尼茨都曾经尝试给出无穷小量的准确描述，但是都失败了.第一次数学危机产生之后，一些数学家将代数中的“数”和几何中的“量”分离开来，导致了代数与几何的脱离，并一度使几何几乎成为数学发展的全部；第二次数学危机中，有的数学家(例如麦克劳林)也尝试用几何建立流数学说，从而回击贝克莱，但更多的数学家(例如欧拉和拉格朗日)则依靠代数表达式的形式演算.

为了和后面极限的内容接轨，老师需指明化解第二次数学危机的关键点.牛顿去世近一百年后，柯西从定义“变量”和“函数”出发，利用极限的概念定义无穷小量，他称“无穷小”就是收敛到极限0的变量，而极限的定义则是“当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限.” 虽然柯西用极限定义无穷小使微积分严格化进程前进了一大步，但其给出的极限定义不够严谨，其中“无限趋近”和“要多小有多小”无法严格界定.德国人魏尔斯特拉斯也指出“一个变量趋近一个极限”的说法，会让人想起时间和运动，这样会使人认为讨论是在物理背景下进行的.

最后老师的介绍以魏尔斯特拉斯的工作结束，但不宜给出其极限定义的细节，而只需给出三个方面的说明：①摆脱时间、运动等物理元素；②奠基在算术概念的基础上，摆脱几何的束缚；③终止了第二次数学危机.细节在后面讲授极限部分的时候再给出.

3.3 第三次数学危机

3.3.1 设计思路

许多高等数学教材从集合讲起，而集合的概念学生在中学已经学过，大多认为此概念相对简单.但是，这一概念是现代数学的基础之一，而且正是这一看似简单的概念导致了第三次数学危机，动摇了数学的基础.

对第三次数学危机的介绍可以使学生更深刻地理解集合的概念，并且提醒学生这一“简单”的概念其实并不简单，使学生重视对集合的学习.

3.3.2 实施方案

“高等数学”课程并不强调实数的完备性，所以老师在设计第二次危机之后数学发展的衔接时，只需介绍康托尔的研究导致了集合论的诞生.

接着便可以让“罗素悖论”登场了.基于认知情况，老师可以先给出“理发师悖论”这一通俗化的形式：一个乡村理发师，只给所有不给自己刮脸的人刮脸，那么他是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，那么按规定他不能给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么他需要给自己刮脸.然后再给出其集合形式：集合S由一切不是自身元素的集合所组成，那么S是否属于S呢？如果S属于S，按定义它不能属于S；如果S不属于S，则它又属于S.显然这不符合“排中律”，也彻底攻击了集合的“确定性”原则，第三次数学危机爆发了.

解决第三次数学危机的方案不宜作为课堂讲授的重点，老师可以简述为：康托尔本人其实早就发现了问题，称不能说“由一切集合所成的集合”；后期策梅洛和冯·诺依曼等人又给出了公理化集合论的方案，但是公理化集合论的相容性尚未证明.

3.4 实践效果

三次数学危机都是数学发展到一定阶段，对关键问题出现的“认识危机”，客观反映了人类对数学的认知规律，其矛盾点或与高等数学内容关系密切，与大学新生的学情契合.笔者团队历经三年，对计算机类专业、化学类专业等15个班1300余名学生进行了探索实践，与之前传统第一课模式授课班级比较，学生通过了解数学史实，对高等数学的内容产生了更为浓厚的兴趣，并且在以后的学习中明显重视定义出现的背景和定理的证明，也表现出了明显的探索精神和质疑精神.通过问卷调查发现，89.58%的学生认为三次数学危机作为高等数学第一课可以提升学习数学的兴趣，反过来认为不可以的仅占2.08%；有89.36%的学生认为数学史引导提升了自己的探索精神，反过来认为没有提升探索精神的仅占4.26%；有93.75%的学生希望老师在教学过程中适当加入数学史内容，反过来不希望的学生仅占4.17%.从这些数据可以看出，三次数学危机作为高等数学第一课，不仅提升了学生学习高等数学的兴趣，而且培养了学生的探索精神，达到了预期的目标.通过对提出反面意见学生的个人访谈，一般认为课堂中加入的数学史内容与具体专业学情结合还不充分，这些意见为笔者团队下一步工作指明了方向.

图1 问卷调查主要问题结果饼图

4 结 论

三次数学危机作为数学史上的重要事件，有推动数学发展的重要作用.用三次数学危机作为高等数学课程的第一课，除了使学生了解相关史实之外，还会对课程中极限、连续、导数、微分等概念的学习有较大帮助，并提醒学生注意集合等基础概念的学习和理解.根据笔者的具体实践，学生了解了数学发展中的矛盾与碰撞，便获悉了概念产生的前因后果，明白了证明对于命题的重要性，初学时的困惑大大减少，学习成绩也有明显的提升.

更重要的是，这种第一课的讲授方式还会培养学生的质疑精神和严谨理念，让学生了解到万事万物发展过程中都会遇到问题和危机，这些危机大多都是“认识危机”，也正是这些触及根本的危机带来了跨越性发展和本质性提高.让学生明白已有的知识、结果、方法并非是终极真理，数学也一直在向前发展，为之后独立思考和大胆创新打下坚实的基础.

致谢作者非常感谢审稿人提出的问题和建议，感谢参考文献所提供的优质素材和启发，本文是作者团队在前人丰富研究成果的基础之上所得.