借助生活经验，抽象概念本质

郭延岩

摘要：“生活中的比”是北师大版小学数学六年级上册第69页的内容，本课培养的核心素养是“模型思想”，即通过从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示数学问题中的数量关系，求出结果、并讨论结果的意义。“比”的认识为后续学习正比例、反比例和函数模型奠定重要的概念基础。

关键词：生活中的比  抽象思维  模型思想

史宁中教授在《数学思想概论（第一辑）》中对数学思想做了明确的阐述：“至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。

一、教学对象分析

从心理发展上看，高年级学生正处于皮亚杰认知发展阶段中的形式运算阶段，他们的思维已发展到抽象逻辑推理水平，喜欢探索有趣的、自己熟悉的有挑战性的问题，学生也已具备一定的阅读、理解能力和自学能力。从知识上看，学生已有了“分数与除法的关系”、“分数乘、除法的意义和计算方法”、“分数乘、除法应用题”的基础。关于“比”，学生印象比较深的是a与b之间的“差关系”，例如“中国女排以3比0完胜对手”。而本节课的授课内容主要在比较两数之间的倍数关系，表明a与b之间的“倍关系”。因此，本节课重点应在于理解“比”表示的是两个量的“倍数关系”这一重要意义。

二、课堂实录

（1）借助情景，建立表象

师：小翔要做张少先队大队委的竞选海报。请大家仔细观察制作过程。

（动画演示照片的形变过程）

师：经过调整，哪几张图和图A比较像呢？

生：B、D和A像C、E和A不像。

师：像与不像可能会和图形的什么有关系？

生1：照片的像和不像与图形的面积大小有关，长乘宽的结果会影响它的像与不想。

生2：和本身长和宽的变化有关。

生3：分别和照片之间长和宽的倍数有关。

设计意图：好的素材是儿童模型思想形成的基础。通过学生感兴趣的海报制作，动态呈现图片变化过程。借助图形中介，建立半直观半抽象的表象，在丰富的表象基础上，探索“长与宽的关系”，形成“比”基本感知。

2.循序渐进，语言表征

师：看来我们的思路都指向了图片的长和宽的关系。下面我们就重点研究这几张图片，请看学习要求。

学习要求：

1. 想一想：相像的图形，长与宽有什么关系？

2. 算一算：根据计算结果，你发现了什么？

3. 说一说：组内充分交流，说说你是用什么方法研究的，你的发现是什么。

（学生独立思考，小组交流）

方法1：长与宽之积与图形的相似无关。

生：我用乘法研究的，我计算的是他们的面积。我发现他们的面积和他们像不像没有关系。

师：用面积没有办法判断。还可以用什么方法？

方法2：同一图形中长与宽的倍数关系。

生：A的长宽：6÷4=1.5;B的长宽：3÷2=1.5 ;D的长宽：12÷8=1.5 ;C的长宽：3÷8=0.375;E的长宽：12÷2=6。如果图形的长是宽的1.5倍，与图A相同，则这个图形与A像。

方法3：不同图形之间长与长、宽与宽的倍数关系。

生：A与B的长6÷3=2，宽4÷2=2。A与D的长6÷12=0.5，宽4÷8=0.5。B与D的长3÷12=0.25，宽2÷8=0.25。可以看出图形如果两个图形之间的长和宽的倍数相同，说明他们的长和宽是同时扩大相同的倍数，所以这两个图形像。

师：我们发现图形长和宽的倍数关系不变，看起来像;长和宽的倍数关系发生了变化，看起来不像。

师：这些算式我们都是用什么方法算的？

生：都用除法计算。

设计意图：从抽象思想的深度，首先要经历简约阶段，即把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达。本环节通过两个同类量之比的计算，将图形的长、宽关系抽象为数学运算。先呈现用长乘宽探究面积的方式，得出面积无法作为图形像不像的判断依据。接着呈现同一图形中长与宽的倍数关系，通过标准例证体会用除法计算两个数之间的倍数关系。最后呈现不同图形之间长与长、宽与宽的倍数关系，运用“形变而质不变”的变式例证使学生深入理解概念内涵，突出“比”表达的是两个量之间的倍数关系。

3.自主学习，建构概念

师：像这样的式子。在数学里，我们把两个数相除，又叫做这两个数的比。这说明比表达的是两个量之間的倍数关系。关于比，请大家自学课本p69，认一认。把你觉得关键的语句画一画。

（学生自主阅读关于比的知识）

师：6÷4可以写作：6：4，还可以写成四分之六，计算后得1.5。通过自学，你还知道了什么？

生：中间的“：”在数学里叫“比号”，比号前面的数叫“前项”，比号后面的数叫做“后项”。商是“比值”。

师：比值怎么计算会吗？

生：用前项除以后项。

师：根据刚才长和宽的关系，我们还可以写出比吗？

生：3：2=1.5;

师：3在比里称作？2是什么？1.5是什么？

生：3在比里称作前项，2是后项，1.5是比值。

我们还可以写：12：8=1.5;3：8=0.375;12：2=6。

师：看来大家对比已经有了一定的认识了，你能从比的角度解释照片为什么像吗？

生1：不管怎么扩大或缩小，长与宽的比值是1.5时，照片一定像。

生2：长与宽的倍数关系可以用比来表示。

生3：长和宽同时扩大或缩小相同的倍数，照片会像。

师：你们总结的真好，不管我们的照片怎么扩大或缩小，长和宽的比值相同时。照片一定像。

设计意图：抽象思想深度的第二阶段，即符号阶段。该阶段是指去掉具体内容，利用概念表达已经简化了的一类事物。符号的使用是数学思考的重要形式，数学符号的抽象性、简约性、精确性和可运算性使得数学思维变成可视的符号操作过程。通过对“比”各部分名称的认识，联系具体图形求解比值的运算体验，为学生创造“舍去现实背景去抽象，回归现实背景去联系”的机会，将直观经验与理性思考结合，建构“比”的概念模型。

4.联系生活，巩固概念

师：比在我们的生活中无处不在，请你说一说这些比的含义。

（1） 我国国旗长和宽的比是3：2。

生：国旗的长是宽的1.5倍。

（2） 第六次人口普查的结果是男女人数的比是105∶100

生：如果有105个男生，就有100个女生。

（3） 地球上海洋面积和陆地面积的比是7：3。

生：地球上海洋的面积是陆地面积的三分之七倍。

师：你还能举出一些生活中的比吗？

生：金龙鱼调和油的比例是1：1：1。

生：糖水中糖和水的比是1：2

师：昨天有一个振奋人心的消息，中国女排以十一场全胜豪取第十三届女排世界杯冠军！实在是太令人自豪了！那比赛中的比分和这节课学的比一样吗？

生：前项和后项可以是 整数、小数和分数，但计分只能是整数。

生：比要有一定的倍数关系。

生：除法的被除数不能为0。

师：刚才争论那么多，其实，各类比賽中的比不是我们这节课学习的比，它只是一种计分形式，表示的是相差关系，不是倍数关系。

设计意图：抽象思想深度的第三个阶段是普适阶段，即通过假设和推理建立法则、模式或模型，并能够在一般意义上解释具体事物。概念教学既要引导学生由具体到抽象，形成概念;又要让学生由抽象到具体，运用概念。通过勾连生活中的比，讨论比和比值的意义，让学生体会模型思想，厘清计分中的“比”表示的“差关系”与本节课所学的“倍关系”有差异，进一步体会“比”的意义。

5.分析练习，内化概念。

说一个用3：4表示的情景。

设计意图：数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程，是由看得到摸得着的事物转向无形的思维体验。本环节运用“比”的知识解释图形相向的原因，通过“3：4表示的情景”反向运用抽象思想，强化对“比”的认识与表达，内化概念模型。