结构化教学：从“结构呈现”走向“结构生长”

龚婕妤

[摘  要] 在数学教学中，教师要引导学生把握知识之间的逻辑关联，把握知识的认知指向、建构路径以及生成必然。作为教师，不仅要简单地呈现结构，更要深度地引导学生建构结构、迁移结构，促进学生数学认知的结构性成长。要培育学生的结构意识，让学生的数学学习从对结构无意识转向结构自觉，这是数学结构化教学的使命与责任。

[关键词] 小学数学;结构呈现;结构建构;结构迁移;结构生长

美国著名教育家布鲁纳认为，“学科教学的首要任务是掌握该学科的基本结构”。在数学教学中，教师应当从“结构”的视角着眼，用“结构”的思想、方法、观点来引导学生建构知识结构。从结构的视角来建构知识结构，要求教师要引导学生把握知识之间的逻辑关联，把握知识的认知指向、建构路径以及生成必然。只有从结构的视角来进行数学教学，才能让学生的数学学习如风行水面、浑然天成、斐然成章。

一、从“结构零散”走向“结构呈现”

在数学教学中，有些教师由于缺乏结构意识，而导致学生的数学学习处于零散、琐碎、机械的状态。学生数学知识的建构，需要教师拥有一种结构化意识。从“结构零散”走向“结构呈现”是师生结构意识的体现。作为教师，要将数学知识要素以结构的样式进行教学，从而能让学生认识 、理解、明了数学知识结构。

一般来说，结构呈现的主要载体、媒介就是结构图。结构呈现，就是要将结构要素以某种样式呈现出来，从而催生知识的生成。以《因数和倍数》（苏教版五年级下册）的单元教学为例，有教师在教学本章知识点之后，通常会对知识内容进行梳理、回顾，从而建构知识之间的关联。比如循着知识的生长顺序，从“因数与倍数”到“公因数与公倍数”再到“最大公因数和最小公倍数”，学生能洞察知识的生发、生长顺序，能洞察知识之间的有机关联。数学的相关知识点、知识元、知识要素如奇数和偶数、质数与合数、互质数与质因数等相关概念就能有效地融入其中。学生就能认识到各个知识点的作用、功能等。如此，知识就不再是一个个的“孤岛”，而是形成了一种“知识图谱”。学生能认识到知识之间的前后联系，建立知识之间的逻辑关系。通过知识的结构呈现，学生的数学学习从碎片、零散走向整体、立体、系统。

因此，数学教学要从“非结构化”的状态中解放出来，从无意识结构走向有意识的结构呈现。结构化呈现有助于学生认识知识之间的关联，改变知识的割裂状态。以结构为中心，需要教师立足整体、全局，需要教师进行一种宏观的概括，从而揭示数学知识结构，生成数学认知结构。

二、从“结构呈现”走向“结构建构”

结构呈现是一种静态的呈现，或者说是一种结果形态的结构化教学。真正的结构化教学要进行结构渗透、结构融合，在学生数学学习的过程中进行结构化教学。因此，教师在教学中要进行左顾右盼、瞻前顾后，厘清知识点的来龙去脉，把握知识点的内在生成。要从“结构呈现”走向“结构建构”。将知识点的内在生成结构性地表现出来，只有这样，才能真正触及本质，让学生的数学学习真正发生。

比如教学《平行四边形的面积》（苏教版五年级上册），笔者发现，许多教师通常都是通过引导学生将平行四边形放置到方格图中，让学生经历数方格的过程，进而自我否定原先受长方形面积以及长方形和平行四边形可以互相推拉的负迁移而形成的关于平行四边形的面积是底乘斜边的错误猜想，形成新的猜想，即平行四边形的面积可能是底乘高。通过“剪拼法”，抽象建构出平行四边形的面积公式。基于结构建构的视角，笔者在教学中着力引导学生比较长方形、平行四边形的面积，让学生认识到平面图形的面积公式与两条相互垂直的线段有关。在平行四边形中，这种相互垂直的线段不止一组。通过这样的结构渗透、融入，就能形成学生结构化的认知，这种结构性的认知有助于学生学习三角形、梯形等图形的面积，同样也有助于学生形成对圆的面积的认识。

结构建构能很好地揭示个体认知的线索，指引个体认知的路向、顺序，显现个体认知的过程。结构建构揭示了知识结构的逻辑、组成，从而让学生能按照逻辑顺序有目标地展开数学认知。结构建构有助于引导学生进行数学建模。通过这样的认知，学生能积极、主动地完成认知建构。在数学教学中，如果我们对于每一个数学知识点都能按照这样的认知建构方式去展开，学生的数学认知结构就不仅能建构起来，而且能稳固起来、扎实起来。

三、从“结构建构”走向“结构迁移”

结构教学不仅注重学生认知结构的建立，更注重发挥认知结构的作用，注重认知结构的迁移、灵动应用。在数学教学中，教师要主动打开学生认知的关节，让数学知识能够按照天然的认知顺序展开。认知结构的有效迁移，能让学生的数学学习不显得突兀，而变得像呼吸一样自然。结构迁移让结构能够彰显一种普适性应用的价值和意义，同时也能让学生感受到结构的力量。

在结构的迁移、应用过程中，教师尤其要引导学生关注核心概念，凸显核心概念的作用、功能。比如教学《圆的面积》（苏教版五年级下册）后，笔者将长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积呈现出来，建构了一张平面图形的面积推导图。通过推导图，学生认识到每一个图形的面积的推导过程以及图形面积之间的逻辑关系。不仅如此，笔者引导学生建构了面积公式模型。借助于几何画板，学生认识到三角形可以看成是上底为0的梯形，长方形可以看成是上下底相等的梯形，等等。在此基础上，有学生应用数学结构性模型进行想象。认为圆可以沿着半径剪开，也可以看成一个近似的三角形;有学生顺水推舟，认为可以将圆的周长拉直，从而就可以将圆看成一种特殊的三角形。在圆这样一个特殊的三角形中，三角形的顶点就是圆的圆心，三角形的底就是圆的周长，因而三角形的面积就相当于圆的周长乘半径除以2，也就是“πr2”。结构性迁移让学生感受到数学知识的内在关联，从而能把握数学知识的内在本质。

认知结构能够让学生的认知顺着天然的逻辑展开，从而能让学生感受、体验到知识结构的合理性。数学知识的建构是有章可循、有迹可探的，必须符合知识建构的内在联系，符合知识建构的内在逻辑。数学知识的建构应当运用数学知识结构，数学知识结构有助于数学知识的建构。通过结构与迁移，让数学知识结构具有生命的活力、活性。在知识结构迁移的过程中，自然能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

四、从“结构迁移”走向“结构生长”

结构不仅具有迁移性，而且具有生长性。具有生长性的结构能够培育学生的结构性思维。结构性思维表现为学生的数学思维有层次、有顺序、有深度。在学生数学知识的结构性生长过程中，教师要培育学生“有根据地思考”的理性精神，培育学生实事求是的客观态度。通过结构性生长，能有效地培育学生的关键能力和必备品格，从而有效地发展学生的数学核心素养。

比如在教学《运算律》（苏教版五年级下册）这一单元的相关知识，教师可以以“加法交换律”作为种子，通过“加法结合律”“乘法交换律”“乘法结合律”以及“乘法分配律”的学习，不断发展、丰富学生的认知结构。在这个过程中，学生的认知结构是不断生长的。学生在学习“加法交换律”的时候，在教师的引导下经历了“问题情境——数学猜想——举例验证——得出结论”的过程。在学习“加法结合律”的时候，学生仍然经历了这一过程，但教師的主导性减弱、学生的学习自主性增强。在学习“乘法交换律”“乘法结合律”以及“乘法分配律”时，学生就会自主地经历这样的验证性学习过程。在这个过程中，一种“不完全归纳”的结构性学习范式就能渐渐地被学生建立起来。这样的结构性学习范式，是通过多种知识的学习而结构性生长出来的。

在数学教学中，数学知识、方法、过程的结构性生长是一个过程，学生认知结构的生长也需要一个过程。结构呈现、结构建构、结构迁移等都有助于学生认知结构的生长。作为教师，不仅要简单地呈现结构，更要深度地引导学生建构结构、迁移结构，促进学生数学认知的结构性成长。要培育学生的结构意识，让学生的数学学习从对结构无意识转向结构自觉，这是数学结构化教学的使命与责任。