借助几何直观，促进数学理解

苏 娅

[摘  要] 几何直观理念对学生的数学学习具有重要价值，可以将抽象的数量关系转化为直观感知，促进数学理解，由此提出借助几何直观优化数学教学的路径与方法。文章主要结合多个案例，具体谈谈在数学教学中应用几何直观的教学心得。

[关键词] 几何直观;数学理解;直观

纵观小学数学教材中所呈现的情境，吸引学生眼球的精美画面比比皆是，无一不是直观的象征，使得抽象的数学知识生动化、直观化和形象化。这些情境的创设迎合了小学生的年龄特征，促进了小学生的数学理解。数学家徐利治指出：几何直观是借助已见到或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知 [1]。由此可见，几何直观理念对学生的数学学习具有重要价值，可以表征问题的成分和结构，可以将抽象的数量关系转化为直观感知，促进数学理解。那么，数学教学中如何借助几何直观促进学生的数学理解呢？本文结合案例从以下方面具体阐释。

一、借助几何直观刻画问题——以“形”思“形”

几何图形源于人们的现实生活之中，充分利用好学生身边熟悉的生活素材，引导学生去以“形”思“形”，既可帮助学生快速而准确地抽象得出几何基本图形，又能更好地理解和应用数学。

案例1  长方体和正方体的认识

师：大家看，这是什么？（多媒体呈现）

生（齐）：土豆。

师：不错，这就是一个土豆。现在我们一起来切土豆，好吗？

师：先切一刀，大家请看。（多媒体演示）大家看，感受一下这个新切的面，和切之前相比有何不同？

生1：新切出来的面平平的。

师：平平的，非常贴切，我们就称它为“平面”。再沿着竖直方向切一刀（继续演示），又有什么变化？

生2：新切的两个面之间有了一条边。

师：观察很仔细，这条边就是“棱”，也就是两个面相交的那条线就是棱。下面，我们继续沿着竖直方向再切一刀，这一次又有什么变化？（多媒体演示）

生3：多了两条边。

生4：不，是两条棱。

师：很好！还多了什么？

生5：多了一个顶点。

师：那这个顶点有几条棱相交呢？

生6：3条。

师：因此，三条棱相交的点叫作——顶点。

师：我们一起再切三刀，现在得到了什么？（继续演示）

生7：长方体。

师：那这个长方体一共有几条棱？几个面？几个顶点？我们一起把长方体学具拿出来，数一数吧！（学生拿出学具开始逐一数起来）

师：下面谁来说说你的结论呢？

生8：一共有8个顶点，6个面和12条棱。

师：6个面，怎么得出的呢？

生8：上、下;前、后;左、右。（举起小长方体对应解说）

师：她数的方法真不错，她是怎么数的？

生9：一对一对地数的。

师：很好，上和下、前和后、左与右一共有3对两两相对的面。那12条棱该如何数？

生9：可以4条棱一起数。

师：据以上的方向，可以分为几组呢？哪位同学来数一数。

生10：上和下、前和后、左与右各4条（学生举起小长方体细致地解说）。

师：通过刚才的学习，我们有了哪些发现，我们一起来读一读。（多媒体展示发现，学生一起读）

教学中，应注重引导学生将生活中对图形的感知与新知的学习相关联，将眼、口、手等感官协同起来，强有力地唤醒学生的认知激情，促进知识的内化。以上案例中，教师以生活中的切土豆操作来引入长方体和正方体，让学生通过触摸、观察、实验和操作，调动脑海中储存的生活经验，更好地理解抽象的面、棱和顶点等概念，为后续想象出长方体的长、宽和高作好铺垫。

二、依托几何直观阐释算理——以“形”思“理”

数的运算是小学数学的重要组成部分之一，然而在教学中，不少教师过于注重算法，注重计算的熟练程度，却忽视算理的教学。事实上，依托几何直观作为算理的支撑，以“形”思“理”，即使是算理这样的抽象数学对象，也可以直观而简洁地阐释。

案例2  笔算乘法

师：光明小学准备为校运动会中每项比赛准备12支钢笔作为奖励，那么4项比赛共需要准备多少支？

师：谁来回答？

生1：12×4=48（支）。

师：这里的48是如何算出的？请每个小组交流，之后请几名学生展示算法。（学生经过讨论后，得出了多种算法）

师：哪些同学愿意来展示你的算法？

师：大家请看算法6，用的是列竖式计算，你们有没有看出来是如何计算的？

生2：2×4=8算的是“ ”，10×4=40算的是“ ”，40+8=48就是两式合起來“ ”，一共是48支。

师：生2的阐释听明白了吗？老师将他的解说以图示的方法展现给大家。

大家看，这个竖式中表示的是4个12，图中也是这样阐释的。观察图1可以看出，它将4个12如生2所说的分为两个部分……

图形往往可以为人们提供直观源泉，给足人们想象的空间。算理的理解离不开几何直观，通过以上案例可以看出几何直观对算理的独特作用，一方面可以起到了逐步深化算理的作用，另一方面让学生深刻体验数学创造性的工作历程，激化数学素养的形成 [2]。

三、运用几何直观探究思路——以“形”思“路”

数学应用题是小学阶段的重要题型之一，而抽象的文字叙述往往是复杂应用题的标志，一些关键性的信息，往往隐藏在抽象的叙述背后，学生很难发现。而通过几何直观则可以将复杂应用问题中的重要信息更简明、更形象地表现出来。以图解探路，以几何直观的“形”为学生的思维打开通道，有了直观图形的支撑，则可以化繁为简，以达到明晰解题思路的效果 [3]。

案例3  A、B两车同时从甲、乙两地相对开出，A车行驶了全程的 ，B车行驶了全程的 ，此时A、B两车相距220千米，请问甲、乙两地路程是多少千米？

分析：拿到此题，不少学生都会觉得思维卡壳，只因这里条件中的“220千米”似乎无处安放，它究竟是全程的哪一个位置呢？此时倘若画出图3线段则可以轻松获解。

据图示，可以明晰：题中的“220千米”位于 和 的重叠处，进而得出以下多种解法：

解法1：（自左向右）“220千米”所对应的分率为 与1- 的差，则可列式220÷ -1- =400（千米）;

解法2：（自右向左）“220千米”所对应的分率为 与1- 的差，则可列式220÷ -1- =400（千米）;

解法3：（从两端往中间）“220千米”夹在中间的一段，所对应的分率为1-1- -1- ，则可列式220÷1-1- -1- =400（千米）;

解法4：（整体着手） “220千米”为 和 的重叠部分，则可列式220÷ + -1=400（千米）。

借助几何直观来找寻解题途径是解决数学问题的有效手段。运用图示法解题的最大优势在于使得抽象的应用问题形象化，进一步获得了解决问题的思路。上例中，由于将题中的数量信息直接反映在线段图上，直观展现了复杂的数量关系，从而收获了多种多样的解题思路。

总之，几何直观作为一座沟通感性与理性的桥梁，其功用远不止于此，诸如数的大小比较、运算定律的解释等，都可以借助几何直观来引领学生思维，可以帮助学生习得新知的同时，促进学生的数学理解，最终提升学生的数学素养。

参考文献：

[1]  赵生初，许正川，卢秀敏. 图形变换与中国初中几何课程的自然融合[J]. 数学教育学报，2012，21（4）.

[2]  周海东. 初中数学教学中几何直观能力培养探析[J]. 中学数学，2014（6）.

[3]  蔡奕容. 培养几何直观能力锻造数学有效课堂[J]. 课程教育研究：新教师教学，2016（17）.