数学内容教与学研究的最新进展——《数学教育研究手册》第二册简介

张艳娇 (人民教育出版社课程教材研究所 100081)

蔡金法 (美国特拉华大学数学系和教育学院 19716)

学生如何学习数学？教师如何最大程度地支持学生学习数学？这些广泛且包罗万象的问题处于数学教育这一研究领域的核心位置，也吸引着众多数学教育研究者为之付出努力．对于学生如何学习数学，可以通过研究具体数学内容的教与学来回答此问题．《数学教育研究手册》第二册的重点就在于描述具体数学内容教与学的最新进展．继第一册综述了数学教育研究领域的理论基础及研究方法后，第二册综述了学校数学中众多知识领域及思维培养的教与学的研究，每一章都对国际上某一具体知识领域的教与学的研究进行了解读，并且对课程资源及新兴的教学辅助技术对数学内容的教与学的促进作用也进行了较全面的介绍，是帮助读者整体认识数学的教与学、获取有效教学启示的教育研究宝典．

本册书包括11章内容，内容涵盖小学及中学阶段四个学习领域——“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”——的主要内容(1)《普通高中数学课程标准(2017年版)》将高中数学内容分为五个主题：“预备知识”“函数”“几何与代数”“概率与统计”“数学建模活动与数学探究活动”，本文为叙述上的统一，采用《义务教育数学课程标准(2011年版)》的关于学习领域的划分，即将函数归入数与代数的内容，数学建模归入综合与实践的内容．，例如，第10、14、17章介绍“图形与几何”内容领域的教与学；第13、15、16章介绍“数与代数”内容领域的教与学；第18章介绍“统计与概率”内容领域的教与学；第11章介绍数学建模的教与学，属于“综合与实践”的内容；第19、20章介绍大学入门课程如微积分的核心概念及几门后继课程的教与学的研究，与高中阶段学习的导数及大学高等数学的内容相挂钩；另外，本书还专门设置了一章讨论目前极受关注的认知科学领域对数学教学研究的影响(第12章)．

本文将按如下思路对第二册的内容进行介绍：首先选取四章与中学数学教学联系密切的内容进行详细介绍，以使读者对本书的内容、研究方法及教育价值有较全面的了解，然后以比较概括的语言介绍其余七章的内容，最后讨论本书的特点及教育价值．

1 典型章节详细介绍

本部分选取“第11章 数学建模的教与学”“第16章 变化、协变和函数：数学地思考的基本方式”“第17章 几何学习与几何教学”“第18章 概率与统计的教与学：一种整合的观点”这四章进行详细介绍，这四章与中学数学教学的关系紧密，内容组织上也比较典型地反映了本书的写作特点．

1.1 “第11章 数学建模的教与学”的内容介绍

第11章主要包含四个部分．第一部分回顾了过去几十年数学建模教与学的发展．意在澄清建模是什么、建模的来源、建模的目的等问题．这一部分首先从理论上探讨了数学建模的历史发展．在回顾数学建模的起源及发展的过程中，对两种主要的数学建模教学的观点——实用主义观与科学-人文主义观进行了重点介绍．作者借助图1和图2分析了这两种观点的不同之处，并综述了众多学者针对建模研究进行的大量调查，以及对在学校教育中引入建模活动的目标的研究等．在回顾了建模的历史发展后，作者梳理了关于数学建模的最新观点，分析在不同的教育阶段如何进行数学建模的教与学，并对描述不同建模方法的框架的研究进行了综述．作者重点介绍了凯泽和斯里拉曼提出的用来描述不同方法的框架，这一框架将不同的建模方法进行了分类，包括：(1)现实性建模或应用性建模；(2)认识论角度的建模或理论性建模；(3)教育性建模；(4)情境性建模或模型发生论；(5)社会批判性建模和社会文化建模；(6)元认知建模．为了阐述上述不同建模理论观点的共性和差异，书中给出凯泽等以一位出租车司机的问题为例，在不同的建模观点下，设计出的不同建模问题，使读者了解诸多不同的建模活动是如何在不同理论观点框架下产生的，不同视角下的建模研究对建模过程的理解是不同的．随后书中对近年来广大学者对建模过程的一些最新发现及建模实例进行了阐述，在此不再详述．

图1

图2

第二部分介绍了建模能力及其提升．作者首先介绍了建模能力研究的变化历程，给出了优秀的建模者需要掌握的建模技能：识别相关的变量、选择重要变量、提出问题、建立变量间关系以及选择适当关系的能力，并且对数学建模的教学能力和数学建模能力评估工具的开发成果也进行了介绍．然后介绍了数学建模与课程的融合，讨论了在数学教学中融入应用与建模的方法.作者还介绍了以数学建模为重点的美国课程方案，包括围绕数学建模开发的各种课程教学材料及教师发展项目，以及数学建模在美国《州共同核心数学标准》中的地位．

第三部分介绍了学校实施数学建模教学的实证研究结果和建模教学理论．内容涉及在建模的不同阶段，学生遇到的困难和障碍，以及教师能够帮助学生克服这些障碍的教学干预手段．关于教师的辅助策略，作者重点介绍了建模教学的支架式教学法，呈现了教师如何支持学习者的几种理论方法，并对这些教学辅助策略进行了分析．

最后一部分从数学、认知、课程、教学、教师和教师教育五个角度总结了数学建模领域的研究进程，并提出了未来亟待研究的问题：关于数学建模教与学的各种方法的有效性的研究，以及数学建模评估范例的开发.

1.2 “第16章 变化、协变和函数：数学地思考的基本方式”的内容介绍

第16章主要包含六个部分．第一部分简要地回顾函数概念的历史发展和协变推理在其中所起的核心作用，所谓协变推理，即关于两个或多个量的值同时变化的推理,协变推理在数学家们创建一批重要概念的过程中发挥了关键作用，而这些概念为现代函数定义的出现奠定了基础．作者描述了实分析的发展如何导致函数协变思维的受关注度降低．在综述了数学中不断演变的函数概念后，总结出变化和协变推理是学生函数思想发展的基础．

第二部分介绍变化和协变推理的理论构建，阐明变化推理和协变推理的含义及其来源．作者综述了众多学者对于协变推理的刻画，并介绍了学者对协变推理研究框架的改进．表1和表2分别给出了修正的变化推理的框架和协变推理的框架，呈现了变化推理和协变推理的六种不同的水平，并举例说明每种水平的思维表现形式．

表1 变化推理的主要水平

表2 协变推理的主要水平

第三部分在选定的领域里考察有关学生和教师的变化推理和协变推理的研究，文中分别讨论了变量与变化、代数中的定量推理和协变、指数增长和协变推理、微积分和三角学中的协变等主题研究，阐明协变推理促进学生或教师的数学思维发展的各种方式．本部分呈现了对大量具体问题的教与学的研究．

第四部分从协变的视角简要地评述以往关于学生和教师的函数概念的研究，说明发展学生的协变推理能力对于他们在数学上取得成功的必要性，同时简要地评述了这样一个事实：以往关于函数的研究大多是从函数的对应概念出发，因此忽视了协变推理在学生理解函数概念时的作用．

第五部分再次从协变的视角讨论各种课程对函数的处理．通过分析美国和日本的课程，作者得出美国的课程与教学在发展学生的定量推理和协变推理的能力方面是失败的，而日本教科书则贡献了将变化和协变融入教材的成功做法．

第六部分对本章内容进行了总结，并且提出未来需要进一步研究的方向，例如，学生在光滑连续变化和协变推理方面的发展，学生如何将两个数量的值关联起来(创建它们的乘法对象)，有关协变推理的基础研究和对支持学生发展协变推理的不同课程处理方法的效果研究之间的关系，等等．

1.3 “第17章 几何学习与几何教学”的内容介绍

第17章主要包含五个部分．第一部分概览2007—2017年这十年间出现的理论观点，以及现今出现的诸多研究方法．作者首先讨论植根于数学教育理论的四种新的理论方法:斯法德的语义分析理论、巴尔托利尼·布西和马里奥蒂的符号调解理论、杜瓦尔的符号学方法和库兹尼亚克的三个几何范式的方法,并对这四种理论所呈现的几何学习的不同方式进行了总结；然后讨论那些最初产生于认知科学和心理学的理论，如感觉运动活动(如视觉的、动觉的)在数学推理中的作用，空间推理在数学学习中的重要性，以及与动态任务表现相关的心理旋转能力与几何成绩的关系．随后，书中介绍了在几何研究的过程中采用的诸多方法，例如，测量学生对给定任务的反应或临床式访谈，研究教师或学生在进行几何教学或学习时的肢体动作或手势，以及各种课堂干预方法等．

第二部分概览学校数学教学中具体的几何主题，包括平面几何、立体几何、非欧几何和几何问题解决等内容．在平面几何的研究中，作者首先讨论学生如何识别和比较二维图形．以“三角形”“四边形”为例，作者梳理了学者们对学生学习这些平面图形的研究，并给出了多种教学建议．随后又分别对分类和定义二维图形、角的学习、变换和对称的学习以及小学课程创新研究进行了梳理．在呈现内容时，作者力图对内容进行全面、清晰的解读．例如，在介绍角的学习时，作者首先指出角的概念呈现多面性，列出角的五种不同概念；然后列举儿童在学习角的概念时容易遇到的困难，之后提出可以帮助学生认识和表述角的方法，如使用编程语言Logo或几何画板．通过这样的梳理，读者对角的教与学将会有比较全面的认识．在立体几何的研究中，文章讨论了有助于学生学习各种立体图形的方法以及可用的多媒体软件．在非欧几何和其他几何及几何问题的解决这两个主题下，作者也详述了目前被广泛研究的问题，在此不再详述．

第三部分阐述了与几何证明过程相关的各方面的研究．包括对证明过程的猜想、图解及手势的研究，利用动态几何软件中的拖动及测量等工具来构建证明过程的研究，以及在证明过程中使用动态几何环境所带来挑战的研究，例证都比较翔实、具体．

第四部分梳理了几何教师与几何教学相关问题的研究.作者从研究教师关于几何的知识和信念开始，然后转到研究几何教学，接着讨论了关于应用不同方法去改进教师几何教学的研究，最后是教师对几何证明的看法．

最后一部分讨论了几何教学与几何学习的未来研究方向．作者对已经富有成效的研究领域进行了总结，对研究很少的领域进行了列举，例如，针对学生推翻猜想或证明猜想错误的能力的研究，针对学生识别和纠正有问题的几何定义的研究，对属于国际数学奥林匹克层次的挑战性问题的研究，学生对高度理想化的几何模型假设的理解的研究，以及关于几何作图的研究，等等．

1.4 “第18章 概率与统计的教与学：一种整合的观点”的内容介绍

第18章主要包含五个部分．第一部分介绍概率与统计整合的观点．作者综述了有关变异性、分布、统计推断和建模的研究，它们都体现出概率与统计固有的内在联系．作者在组织文献综述时采用了整合的观点，以强调推断观点在概率和统计教学中的价值．在“变异性与分布”这一小节，作者首先介绍了变异性与分布的概念，然后回顾了研究人员用来刻画学生对概念理解的认知发展特点的框架，并对框架所反映的思维水平进行了分析．在“统计推断”这一小节，作者首先对描述统计学和推断统计学进行了区分，随后研究了推断统计教学的一些方法策略．第三小节介绍“非形式化的统计推断”，作者首先介绍非形式化统计推断的几种常见表述，概括出其主要特点，然后给出将描述性的统计问题改编为更像推断问题的案例(表3)．推断被认为是避免把概率与统计学习割裂开来，通向整体而连贯的课程的一条有效途径．作者列举了支持学生学习使用非形式化的统计推断的重要策略．第四小节介绍“概率与统计中的建模”，作者分别从数学建模与统计建模、通过建模途径教概率与统计、在复杂数据集情况下的建模问题等方面对建模在概率与统计学习中的作用进行了研究综述．作者列举了一些统计建模的案例，探讨应该教给学生什么样的统计建模技能．

表3 假设提供了数据，可将描述性的问题改编成更像推断性的问题

第二部分将概率与统计作为独立的研究领域进行综述．作者提出承认概率与统计是不同的研究领域也很重要，在它们各自的领域都有一些概念和技能在数学课程中要得到特别关注，从而需要重点研究．本部分重点综述了2007—2017年这十年间一些新的研究方向，例如，利用符号学理论对概率教学的研究、与风险有关的主观概率问题的研究等．

第三部分介绍支持学生学习概率与统计的手段．本部分重点研究了三个跨界领域：(1)技术；(2)任务设计；(3)外在表征的作用．在第一小节“技术”中，作者综述了对使用动态技术工具及模拟实验工具来辅助概率与统计教学的研究．信息技术工具如何支持统计学习？作者归纳出了四种方式．对动态技术工具的用途和使用局限的研究，书中也有涉猎．在“任务设计”这一小节，作者对促进学生有意义地(而不是人为地)运用概率与统计概念的任务及任务类型进行了介绍．在“外在表征的作用”这一小节，作者综述了学生在进行与概率统计有关的任务时外在表征对学生表现的影响，并且指出不同的任务适合选取的外在表征类型．

第四部分介绍“教师的概率统计知识”．在第一小节“面向教学的统计与概率知识模型”中，作者对面向教学的统计知识模型的现有研究进行了综述，展示了教师应该知道的知识以及需要掌握的策略．在第二小节“教师的概率与统计知识”中，作者首先指出教师的概率与统计知识包括两方面，一是教师自己对学科知识的理解，二是教师对学生在学习概率与统计内容时遇到的问题以及相应的教学策略方法的了解与掌握．通过综述发现，教师对于预估学生的数学表现及采取相应的教学干预措施方面能力比较薄弱，作者还指出研究人员还需要进一步思考教师知识、教学实践和学生学习之间的联系．

第五部分回顾了本章内容，并对未来需要进行的研究作了展望．例如，新技术对概率与统计教与学的帮助、从符号学视角或基于符号学理论开展概率与统计教与学的研究、对中小学统计课程开展理论研究和实际开发，等等．

2 其他章节内容简要介绍

为了让读者对本书内容有更全面的了解，我们对其余7章内容作一简短介绍．

第10章对证明的教与学的研究进行了综述．作者首先从三个不同的视角——问题解决视角、说服视角、社会嵌入活动视角综述了有关证明的研究，然后探讨了证明在日常学校数学课堂实践中的边缘化地位，并且讨论导致这一问题的原因．之后，作者综述了证明领域中基于课堂的干预研究，并且详细讨论了有关证明教学干预的最新的六项研究．这些课堂干预研究是本章的重点内容，对于课堂教学有直接的指导作用．作者在最后一部分讨论了证明领域中课堂干预的未来研究方向．

第12章从心理学特别是认知科学角度来探寻可以启发数学学习与教学的方法．作者讨论了认知科学领域最近被认为对学生的数学学习起积极作用的三项研究：(1)解释性提问的加入；(2)教学范例的使用；(3)元认知策略的训练．随后作者讨论了将这些建议成功融入数学课堂的尝试，并特别说明了为什么心理学研究结果无法像认知科学家所期望的那样被数学教育者广泛应用．

第13章关注整数学习和整数运算学习的相互联系．作者首先讨论了整数及其运算的早期学习如何为学校教育奠定了基础，然后阐述了如何在学生的早期数感的基础上，通过学校的数学教育促进学生熟练掌握基本的加、减法内容．书中表13.1给出了学生从数数到熟练掌握基本的加法和减法的学习轨迹，并对学习轨迹中每一阶段的研究进行了详细介绍，包括针对某一水平的已有研究、研究方法、未解决的教学问题及未来的研究方向．在研究了上述学习轨迹后，作者讨论了数学教育工作者要关注有意义的数学学习，即考虑如何基于儿童早期的知识来设计数学教学．最后一部分给出了未来需要进一步研究的方向．

第14章综述了关于测量的学习和教学的相关研究．作者主要综述了关于长度、面积、体积、角和时间这五个物理量的教与学的研究，每一主题分别围绕以下三个核心问题来组织：(1)学生对相关测量的理解力的发展，包括在学习中遇到的困难；(2)教科书及课程文件对测量的呈现方式及要求；(3)教师对测量的理解及常用的教学方法．最后一部分提出了未来的研究展望．

第15章关注从学前到8年级学生代数思维的培养．作者首先介绍了本章的研究方法，即卡帕特对代数与代数思维的分析框架(书中表15.1)，然后以此为线索回顾了2007—2017年这十年间学者们对学前到8年级学生代数思维培养的研究．作者选取一般化的算术、函数思想、定量推理这三个内容领域，首先简要地指明它们与代数思维相关的一些基本理念，然后考察领域内近年来围绕核心内容所作的研究．最后简要总结了书中所报告的研究结果，并指出未来研究的方向．

第19章关注学生如何理解微积分内容的研究．极限、导数与积分是微积分的三个核心概念，作者围绕这三个概念的教与学的研究进行综述．首先关注学生如何理解极限、微分与积分的概念，然后转向与改善微积分教与学有关的研究．最后提出关于微积分概念理解的一些问题，并指出未来需要进一步研究的方向．

第20章关注了2005—2017年这十多年间大学数学微积分后继课程的教育研究，限于篇幅，本章主要综述了对线性代数、微分方程、分析和抽象代数这

几门课程的教与学的研究．作者首先聚焦于那些考察学生学习这几门课程的研究，并分析了作者所采取的不同的理论观点和方法．之后关注了关于微积分后继课程教学的研究，包括讲授式教学、探究式教学和教师的专业发展．最后提出对未来研究的展望．

3 小结及期望

本书作为《数学教育研究手册》丛书的第二册，聚焦于数学内容及过程的教与学的研究，是四册书中与数学课堂教学联系最紧密的一本书．通过上面的内容介绍，读者可以发现本书涉及面广，基本涵盖了小学、中学、大学关键内容领域的教与学的研究，堪称是一本数学教育的“宝藏书”．

本书在介绍具体内容的教与学时，举了很多实际教学中的例子，如17章介绍学生对“三角形”的认识和比较时，书中举了教学中采取的各种干预方式及学生的反应．对于比较抽象的理论方法，作者也通过引入具体问题来降低理论的理解难度．又如，在第11章介绍描述不同建模方法的理论框架时，作者以出租车问题为例，在不同的建模观下提出了不同的建模问题，使读者对不同的建模观有了比较清晰的认识．再如在表2中给出协变推理的6种水平之后，作者使用“瓶子问题”来详细阐述每个水平的思维表现形式，变抽象为具体．

本书对各内容领域的教与学的研究进行了比较全面的综述，并对未来的研究方向进行了展望．对于研究者来说，通过阅读本书，可以全面而迅速地了解各领域内大家广泛关注的问题，以及需要进一步研究的问题，对于确定自己的研究规划很有帮助．另外，书中对于重要的文献不仅介绍研究结果，对于研究方法、研究过程也介绍得比较详细，因此读者可以从中获得研究过程及研究方法的指导．对于一线教师来说，本书有很多实证的教学指导．通过阅读本书，读者能够明确学生学习及教学过程中存在的问题及障碍，并且获取相应的教学策略的指导．