一个非齐次核Hilbert型不等式的推广

有名辉

(浙江机电职业技术学院数学教研室，浙江杭州 310053)

为了行文方便，约定下文中的p,q满足设M为实数集R中的L可测集，是定义在M上的非负可测函数，定义

特别地，当γ(x)=1时，简记

式（1）就是著名的Hilbert不等式[1]，其中π是满足式（1）的最佳常数因子．与式（1）相对应的有如下基本的非齐次的Hilbert型不等式[2]：

近20年来，通过不断对变量加入参数，并引入β-函数等特殊函数，兼考虑离散、半离散、齐次、非齐次、多维等情形，研究者们探究了式（1）的各种推广、类比、加强[2-8]，建立了大量形式精美、结构精巧的Hilbert型不等式．

顺便指出，在积分核函数构造的过程中，遇到负因子，研究者们通常采取加绝对值的方式，保证核函数为正[2]，如：

1 引 理

证明：经过简单的变量替换，可得

其中，

类似可得，

结合式（5）―（7），可知

由于可展开成如下部分分式[9]，

令x=πγ，并结合式（8），可得式（4）．

以及

证明：令xy=t，可得

故由引理1，可得

把式（12）代入到式（11），即得式（9）．同理，可得式（10）．

2 主要结论

证明：由Hölder不等式[10]及引理2，得

若式（14）等号成立，那么一定有不全为零的实数K1与K2，满足

即，

于是，有常数A，使得：

不妨假设K1≠0，则，a. e.于这与显然矛盾，故式（14）不可取等号．

接下证明式（13）中的常数因子是最佳值．事实上，若此常数不是最佳，则必有更小实数k，满足

使得式（13）中的常数因子替换为k后不等式依旧成立，即

作变量替换xy=u，由Fubini定理[9]，可知

令ε→0，并利用式（12），可得

把式（17）代入式（18），并令ε→0，则显然矛盾．故式（13）中的系数因子为最佳值．定理1证毕．

在定理1中，令β2=2β1，注意到则有推论1．

特别地，若再取p=q=2，则可得式（2）．

在推论1中，若β1＞1，令β=0，则则式（19）可转化为

在定理1中，令β2=3β1，则有推论2．

式（21）是文献[2]第311页中结论的一个补充．在式（21）中，若令此时式（21）可转化为

在式（22）中，令此时式（22）转化为

赋予参数其它的数值，仍然可以得到一些新的有意义的不等式，在此不再赘述．