一个二分量Camassa-Holm系统解的爆破准则

2021-06-08 08:37
关键词:范数微分初值

黄 群

(温州大学数理学院,浙江温州 325035)

旋转的二分量的Camassa-Holm系统[1]如下所示:

若σ=1,该系统就是经典的二分量Camassa-Holm系统[2-4]:

这个系统是完全可积的.

文献[1]通过线性传输理论建立系统(1)柯西问题的局部适定性,基于特征方法和Riccati型微分不等式研究了系统(1)在情况下的爆破准则.受文献[1]启发,本文考虑系统(1)在情况下的解爆破的条件.当时,系统(1)变成如下形式:

通过证明得到,初值在一定的空间条件中,系统(4)的解发生爆破当且仅当它的一阶导数趋于无穷.此外,给出了系统(4)发生爆破的初始条件.

1 准备知识

介绍一些符号和属性.用∗表示卷积,Lebesgue空间中的范数表示为其中1≤p<∞.L∞(R)包含了所有的本性上确界函数,若f为Lebesgue可测函数,其范数为为了定理证明,引入特征方法.设q(t,x)是随着解u(t,x)发展的粒子轨迹,并且满足方程

通过计算可得以下与时间无关的守恒量,记为:

2 爆破准则

考虑系统(4)的初值在一定条件下,系统的相应解发生爆破的充要条件,即解发生爆破的准则.利用反证法进行证明,关键在于估计如果得到有界,则产生矛盾.

时,(u,)ρ在有限时间内爆破.

证明:为了方便运算,把系统(4)改写为如下形式:

利用这些符号,相应地可以把(6)式改写为如下形式:

假设T<∞,(6)式不成立,则存在一个正数A,使得

对任意x∈R,有以下式子成立:

接下来我们估计函数f的上确界.

另一方面,可以得到以下估计:

其中常数C和C1只依赖于

给定任意x∈R和引入一个新的一阶微分函数

满足

现说明P(t)≤0,t∈ [ 0,T).如果不成立,则存在一些t0∈[0,T),使得P(t0)>0.令t1=max{t<t0;P(t)≤ 0},则P(t1)=0,P′(t1) ≥ 0,或等价于

同时有:

这与(22)式矛盾.因此有P(t)≤0, ∀t∈ [ 0,T).所以任意选择x∈R,t∈ [0,T),有

接下来考虑系统(4)的解爆破的充分条件.先介绍一个对证明爆破准则有重要作用的引理.

引理1[5]令那么对 ∀t∈ [0,T),至少存在一个点ξ(t)∈R,使得函数m(t)在(0,T)中绝对连续,且有在(0,T)上几乎处处成立.

下面给出系统(4)的解发生爆破的初始条件.

证明:由稠密性知,只要证明定理对s≥3成立即可.注意到系统(4)的第二个方程对x求导得:

进而可以得到以下估计:

从而有:

在[0,T)几乎处处成立.

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