平方差公式教学设计的实践与探索*——透过数学史辅助教学的视点

安徽省淮北市烈山区淮北师范大学(235000) 孙甜甜 李孝诚

关于数学史的教育价值,数学家莫里斯·克莱因曾有言:“历史是教学的指南”,基于此观点,这里认识到数学史是追溯前人数学结晶、梳理整体知识脉络的一门重要科学,其引导学生从源流处学知识,知其然,知其所以然,是数学学习不可或缺的一部分.尽管许多教师能够肯定数学史对数学课堂的润泽作用,认识到数学史融入数学课堂教学的重要性,但都普遍认为其意义在于激发学生的学习兴趣,其实,绝不仅局限于此.《义务教育数学课程标准(2011年版)》就明确提出: 教材可以适时介绍有关背景知识,包括数学在自然与社会中的应用,以及数学发展史的有关材料,帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用,激发学习数学的兴趣,感受数学家治学的严谨,欣赏数学的优美[1].

那么教师该如何在课堂教学环节中利用数学史的相关内容指导教学设计,才能使自己的数学课堂教学活动锦上添花呢? 这里以平方差公式说明之.

1 平方差公式相关数学史的选择

开展数学史辅助平方差公式教学的工作,首先要明确两方面的问题: 一方面,在相关数学史内容选择时,具备过硬的数学史知识和素养的教师要以何种原则和标准来确定选择内容;另一方面,在相关数学史内容选择后,教师如何将数学史内容合理巧妙地安排在教学环节中,使其自然融入课堂以辅助教学.针对这两点问题,有必要进行具体分析探究.

1.1 选择的原则

数学史辅助数学教学,并不是刻意而为之,教师要精挑细选、仔细斟酌、反复确认,选用真正有益于学生理解和掌握知识的数学史内容,并在合适的时机、合适的教学环节巧妙使用.对于数学史内容的选择原则,主要有三点:

其一,内容的契合性.教学环节围绕教学内容展开,若要在教学内容中渗透数学史,最重要的一点便是数学史内容与教学内容具有高度的契合性,若二者无关或契合度不高,则直接影响课堂教学质量,相当于画蛇添足,多此一举.

其二,学情的适切性.数学史内容的选择还要充分考虑学生的学情,选用符合学生能力范围之内的,若选择的数学史内容凌驾于学生能力之上,则无异于增加学生的学业负担,只得劳而无功,事倍功半.

其三,文化的感染性.数学家陈省身老先生认为:“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”,因此,学习数学史,将一个静态的知识点形成动态的知识发展链,是学习数学文化的重要一部分,文化的拓展是知识学习源源不断的动力源泉.因此,选用的数学史内容要在精神上感染学生.

1.2 选择的结果

基于上述数学史内容的选择原则,对应不同的平方差公式教学环节确定了不同的数学史内容.首先,在新知引入环节,选择了等周问题的骗局这一数学史内容.相传在古代,人们受制于知识和经验的匮乏,在社会中普遍对等周问题存在很深的误解.据古希腊评注家普罗克拉斯记载,土地主在分配土地的时候,将周长长面积小的土地租赁给农民,而将周长短面积大的土地分给自己, 农民们全然不知自己被欺骗,却还认为土地主无私奉献.因此,教师可以将古希腊发生的土地等周欺骗问题进行适当地改编, 渗透在新知导入环节,引发学生的学习兴趣,认识到平方差公式学习的必要性.

其次,在新知探究环节,可以借助赵爽的面积割补法来证明平方差公式,平方差公式并不是近代数学的果实,它在数学历史长河中历经了数千年.公元前三世纪数学家赵爽在注释《周髀算经》中的“勾股圆方图”时就已经提出其证明方法——勾实之矩以股弦差为广,股弦并为袤,而股实方其里.股实之矩以勾弦差为广,勾弦并为袤,而勾实方其里.[2]除此之外,文中还记录了其钻研的辛苦与不易.通过此数学史内容不仅可以从几何方面带领学生证明平方差公式,还可以向学生传递赵爽刻苦钻研学问的精神.

再次,在新知巩固环节,考虑到了丢番图的二元问题与和差术,是记载在其著作《算术》当中的经典问题,即已知两数之和及两数之积求两个数分别为多少,这是平方差公式应用的具体案例,该数学史内容的运用可以检验学生的学习成果.

最后,在课后作业环节,教师可以布置搜集式和符号起源历史的任务.平方差公式是中学阶段一个重要的代数式,了解代数式和符号的历史发展可以扩展学生的知识面、启发学生的思维、培养学生的数学素质,使教学获得事半功倍的效果.

2 数学史融入数学教学的方式

归纳整理好所需的数学史内容后,如何将数学史与平方差公式的教学环节相融合呢? 华东师范大学汪晓勤教授研究数学史融入数学教学十年有余,根据不同的分类标准整理了不同的融合方式,其中以融合程度划分标准分为了四种方式,分别是: 附加式、重构式、顺应式和复制式[3].附加式是讲起源、说故事,教师以展示和讲述为主,激发学生学习动机,调节学习气氛,用数学文化感染学生;重构式是重现历史、再现过程,教师带领学生经历知识的发现和发展过程,体验前人激烈的思想火花的碰撞,加深知识的理解;顺应式是旧问题、新改编,教师顺应当前教学实际,借用数学史重新编制问题,以新途径促进学生知识的学习和巩固;复制式是原问题、原解法,教师直接使用选择的数学史内容,无需进行改动和调整,在一定程度上拉近了学生与历史的距离,感受数学文化的魅力.

在以上四种融合方式的基础上,对平方差公式四个教学环节的数学史进行再研究,得到了进一步的结论: 在新知导入环节采用附加式融入等周问题的骗局这一数学史内容;在新知探究环节采用重构式融入赵爽面积割补法的证明过程;在新知巩固环节采用顺应式融入丢番图的二元问题与和差术相关题目;在课后作业环节采用复制式融入数学史资料的展示.现通过平方差公式的教学设计来具体说明之.

3 数学史融入平方差公式的教学设计示例

在做教学设计的准备工作中,有了上述的分析结果,具备了理论基础和大体教学框架,但做出一个教学设计并应用到真实课堂中也绝非易事.陆游诗云,纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行;俚语说,理在用中方说妙,事非经过不知难.为此,再次分析教材知识呈现、相关数学史内容和教学环节的设计这三个方面,对它们进行整合交融,得到了以下具体的教学设计与实施过程:

3.1 新知引入——附加式话历史、讲故事,激趣扬思

新知引入环节是课堂的开端,是教师的教学和学生学习的起点,导入环节设计的优劣直接影响学生学习的动机.对于平方差公式一节来讲,教师首先要提出生活性“初始问题”(这就是常说的创设问题情境),可以使用古希腊土地主等周问题的骗局这一数学史内容进行改编,呈现趣味小故事作为这种“初始问题”,由问题解决的过程和结果,可以得到平方差公式的具体形式,并激发学生的学习动机.

师: 相传古时的土地主在分配土地时,假公济私地与农民商量,将原有边长为米的正方形土地,在其中一边上削减6 米,在其临边上增加6 米(如图1 所示),以原价租赁给农民, 农民全然不知自己上当受骗.同学们,你们认为农民吃亏了吗?

图1

生1: 显然农民吃亏了.我想直接从图形上看,如图所示,削减部分的宽与增加部分的宽一样为6,削减部分的长为a比增加部分的长(a −6)要多,因此削减部分的面积比增加部分的面积大,农民获得的土地总面积减少,农民吃亏了.

师: 这是从几何图形直观的角度解释说明的,是否可以从代数的角度考虑这个问题呢?

生2: 我想可以列算术式比较农民前后的土地面积.农民原来的土地面积为a2,在土地主的蒙骗下,农民所租赁的土地变为了长为(a+6),宽为(a −6)的矩形,此时农民所拥有的土地面积为(a+6)×(a−6),比较a2与(a+6)×(a−6)的大小可得结论.

注: 由几何直观到代数思想的转变,对于学生而言并不是件易事,它必须有教师的指导辅助,而教师的辅助并不是直接给出公式,而是要站在学生的角度、分析学生的学情,以言语提示和步骤引导,步步启发学生思考,所谓授人以鱼不如授人以渔,就是这个道理.

3.2 新知探究——重构式还原、再现、探索,追溯本质

新知探究环节是课堂教学最重要的一环,教师往往做的许多努力和准备都是为探究做铺垫,但这样的模式化也带来了一定的弊端,造成新知的探索成为了一种水到渠成的自然化现象, 忽视掉学生从获得到理解再到掌握的过程的曲折.以平方差公式为例,这时如果运用知识的还原、展开、重演、再现等手段,带领学生经历前人知识发展的蜿蜒曲折,与前人跨时空产生思想的共鸣,便能使其更好地掌握知识,正如数学家乔治所言,学习数学只有当看到数学的产生、按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时,才能最好地理解数学.

师: 请同学们思考问题1: 边长为5 的正方形,在其右下角减去一个边长为2 的小正方形,图形剩下的部分面积为多少? 除了计算的代数方法,可以用几何的方式拼接图形重新考虑这个问题吗?

生1: 代数的计算方法是52−22=21;几何的方式可以将图形画出来, 将左下角的①部分旋转90°拼接到右上角,此时可以得到一个长为7,宽为3 的矩形,其面积为21;两种方式所得结果一样,几何的拼接是代数计算的验证.

图2

图3

师: 问题1 运用到了具体的数字,是一种特殊形式,现在我们将由特殊推广到一般,请同学们思考问题2: 边长为a的正方形,在其右下角减去一个边长为b的小正方形,图形剩下的部分面积为多少? 除了计算的代数方法,可以用几何的方式拼接图形重新考虑这个问题吗?

生2: 代数的计算方法可得剩余部分面积为a2−b2,对于几何拼接我想也是可以的,与问题1 大同小异,不难得出剩余部分面积为(a+b)(a −b).

师: 在问题1 和问题2 的基础上,同学们所运用的拼接法由来已久.据资料记载,三国时期数学家赵爽“负薪余日,聊观《周髀》”,刻苦钻研最终发现割补法,“勾实之矩以股弦差为广,股弦并为袤,而股实方其里.股实之矩以勾弦差为广,勾弦并为袤,而勾实方其里.”,证明了平方差公式,其中这里的割补法即我们所说的几何上的拼接法.

师: 除了面积割补法之外,同学们是否有其他的几何方法来证明平方差公式呢?

生3: 可以选用其他的割补方法.原来的割补法是将剩余部分分为上下两个矩形,再拼接起来;现在我们可以将剩余部分分为两个直角梯形,再进行拼接.

图4

师: 可以说的更具体详细一点吗?

生: 从大正方形的左上角连线小正方形的左上角,将剩余部分面积分为两个相同的直角梯形, 对其进行旋转拼接,通过面积的计算也可以证明平方差公式.其中,共有三种拼接方式: 长方形、平行四边形和等腰梯形.

图5

注: 从平方差公式的几何证明法巧妙的思路中认识到,几何证明的精彩性与学生数学知识面的宽广度是具有一定联系的,如何诱导学生联系以往知识经验、借鉴知识历史来解决新问题、理解新知识是教师应当深思的.往往这时候,教师在教学中起到的便是“中介”的作用,将学生所学和即将所学组织构建成一个流畅而有意义的整体,再借助相关数学史内容为学生的深度学习提供观念性的指导.

3.3 新知巩固——顺应式旧史新说、旧题新用,迁思回虑

巩固新知作为教学过程的重要一环,是检验教师教学成果、学生学习成效的重要依据.巩固新知重在“知”,知识地灵活运用是教学目的之一,而知识的运用要借助解题来实现.数学史当中散落的历史名题是代代相传的珍稀资源,蕴含着一代又一代数学家的智慧结晶,是加深知识理解的良好素材.但值得注意的是, 并不是只要是历史相关题目就是好材料,教师要有选择的取其精华去其糟粕.因此,在这一环节,应用练习题目的设置要遵循循序渐近、由简及繁、由易到难的设计原则,切勿一口气吃成个胖子,得不偿失.

师: 证明了平方差公式,同学们可以用自然语言描述它吗? 其中有什么值得注意的呢?

生1: 平方差公式描述的是:“两数之和与这两数之差的乘积等于这两个数的平方差”,我认为值得注意的是“这”这个词语,它是对象的限定.

生2: 我认为还需要值得注意的是找准两个相同数和两个相反数,从而确定其在公式中的位置.因为公式反应的是两个相同数的平方与两个相反数的平方的差.

图6

师: (简单套用公式计算练习已掌握后)请同学们思考问题3: 已知两个正数的和为20,积为96,求这两个数.

生3: 因为两正数之和为20, 则可以分别设两个数为10−x和10 +x, 又因为两数之积为96, 因此可得(10−x)(10+x) = 96, 再根据所学平方差公式不难推出102−x2=96,再进一步即可求得答案了.

师: 这样的问题和解法在现如今来说已经非常普遍了,但其发展经历极其漫长.早在公元三世纪,古希腊数学家丢番图在其著作《算术》一书中就已记录了该类问题及其解法,运用的便是古巴比伦人的和差术.该数学史内容不仅有教学意义,同学们也应当继续探索其背后的思想与价值,开阔视野.

3.4 课后作业——复制式讲历史、促交流,润泽精神

课后作业这一环节,不仅涉及的是书面作业,也要以多种方式开展拓展环节,在师生沟通交流中促进知识的理解和学习.适合安排在这一环节的数学史内容是有关于式和符号的起源历史,师生共同“读史解疑”.丰富的数学史拉近教师与学生的距离,有助于学生在课后轻松的氛围当中学习,同时历史背后所蕴含的教育价值也是不容忽视的.

4 结论

正如周燚所言:“数学是一种文化,回归源头能使我们获得对思想过程的重要认识,更加清晰地理解现在的问题[4].”数学史辅助数学教学能再现知识诞生的背景、发展和完善的过程,引导学生知其然,知其所以然;能给课堂注入活力的同时激发学生的兴趣;能培养学生坚持不懈、勇于探究的精神.同时,数学史也为教师的教学提供丰富的素材,使课堂不再单单是课本的实践.但数学史融入教学绝不能生搬硬套,如何巧妙地将数学历史安排在各个教学环节中是教师研究的重点,只有适当运用才能更好地发挥价值.