创设深度理解的学习 发展数据分析观念

【摘 要】 数据分析观念可以从数据分析意识、数据分析技能、数据分析评判质疑能力三个方面加以理解和落实.需要教师创造深度理解的情境，设计数学活动让学生在具体的现实情境中理解与体验，通过思考与解决得到渗透，进一步内化为核心素养.

【关键词】 深度学习;情境体验;统计量选择;数据分析观念

在当前信息社会中，数据分析能力是人们的基本素质，《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，“统计与概率”内容教学的核心价值是发展数据分析观念.发展数据分析观念可以从数据分析意识、数据分析技能、数据分析评判质疑能力三个方面加以理解和落实[1].那么，数据分析观念具体在课堂教学中如何落实？笔者有幸受邀参与浙江省教育厅教研室组织的拓展课程研讨活动，执教浙教版八下拓展课《哪家产品质量好？》，受到与会老师的广泛好评，现与同行分享本课备课过程中的思考与执教过程及反思.

1 备课中的思考

浙江省拓展课程是基础课程内容的延伸、应用和整合，旨在拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣，发展核心素养.本课是在学完浙教版八年级下册第三章《数据分析初步》后为帮助学生进一步理解平均数、众数、中位数和方差等统计量开设的，备课资源来自笔者担任册主编的省统编拓展课程教材《数学新探索》八下第三章《哪家产品质量好？》，笔者在授课过程中主要选择的资源是问题引例（见本文表1）和一道例题（见本文例题）.在备课过程中，主要思考了如下问题：

问题1 数据分析观念的具体内涵是什么？

《标准》指出，数据分析观念包括了解在现实生活中有许多问题应先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性.

问题2 本课的教学目标是什么？

日常教学中，更多的老师侧重统计量的计算，本课的核心是以“哪家产品质量好？”为载体让学生深度理解统计量的含义，学会在现实问题中选择合适的统计量解决问题，在问题思考与解决的过程中感受数据分析的方法和价值，发展数据分析观念，提升核心素养.

问题3 本课的教学思路如何确定？

本课的教学素材是“一个引例两个例题”，引例的作用是复习统计量，但由于引例直接以习题的形式给出，容易让学生直接进入计算，谈不上对统计量的深入理解.例1主要是平均数计算果断放弃;例2是统计量理解的典型例题.面对“一个引例一个例题”的素材资源，笔者将前面引例定位于复习统计量，后面例题定位于进一步巩固统计量，因此设计了以“汽车问题”为纽带的一条教学明线：调查汽车数量→估计全校汽车数量→汽车报废→选车系列问题（引例）→汽车零件加工（例题）→开车后遗症马拉松（增强体质），同时确定本课教学设计的一条暗线是：收集数据（感悟直接和间接的方法）→整理数据（统计图、统计表）→分析数据（各种统计量通过具体情境展现）→运用数据（例1和思考），感悟数据来源于生活又服务于生活.

2 教学主要过程

2.1 创设“用车问题”系列情境，重新理解“集中程度”的统计量

环节1 调查“交通方式”，收集数据理解“众数”

教学过程：

师：（出示图片配上选项）今天上学，你采用怎样的交通工具？

A.公交车 B.私家车 C.自行车 D.步行

生众：（依次站起来回答交通工具方式，教师记录）

师：在这里，出现次数最多的是什么交通工具？

生众：私家车.

师：在统计学中，我们把这个次数出现最多的量称为什么？

生众：众数.

师：可见，“众数”不一定是数！

设计意图 通过小调查，经历收集数据的过程，回顾“众数（此处是私家车）”，通过具体情境理解“众数”不一定是“数”，同时为后续问题的展开铺垫.

环节2 估计全校交通方式，计算数据理解“平均数”

师：现在我有一个新问题：如何估计我们全校有多少人乘私家車上学？

生1：用我们班的数据乘以42（全校的班级数）.

生2：先抽一些班级估计一个班有多少人乘私家车，再估计全校乘车人数.

师：我看生2的建议更合理！那怎么抽样呢？

生3：每个年级抽取几个班级.

师：老师也这样想！如图1是老师抽样调查的我校各年级1、6两个班的乘车情况，用什么数来估计我校乘车情况好呢？

生4：这6个班的平均数.

师：如何算平均数？

生5：全部相加除以班数，即（17+23+21+19+22+18）÷6=20.

师：有没有不一样的算法？

生6：选一个基准“20”（老师在图1上20处画了一条与横轴平行的虚线），这样17，23一对，21，19一对，22，18一对，正好20！

师：你为什么会想到这样算？

生7：因为这些数据都往“20”靠.

师：这个“靠”的意思就是这些数据都往“20”集中，非常好！我想问，“20”这个数据一个班级也没出现，能作为代表估计全校情况吗？

生8：可以，因为平均数是代表数据的平均水平，不一定真实出现！

师：你讲得真好！平均数并不一定是一个真实发生的数，但它能代表一组数据的平均水平.如果用“20”来估计，我们全校有840人乘车上学！可以想象，上学时学校“车水马龙”的状况！

设计意图 问题“如何估计全校有多少人乘私家车上学”让学生经历“抽样”过程，用6个班级的数据来估计全体，这里之所以设计这些数据（17，23，19，21，22，18），一是学生会想到用“平均数”这个统计量去估计，二是引导学生通过选基准“多退少补”的方式计算平均数，通过“基准”的选择，感受平均数“集中程度”的含义，同时这组数据没有出现数据“20”，但平均数是“20”，让学生感悟“平均数”这个统计量的数据不一定真实发生，但它能够代表一组数据的平均水平，用它来估计总体水平，深度理解平均数的含义.

环节3 分析“汽车报废年限”，深度理解“数据处理好与坏”

师：我也是开车族，19年来忠心耿耿地开着同一辆车，最近想了解我这个品牌汽车大致的报废年限，修理厂小工给了我这样一张记录（如图2）：你们觉得用什么量来估计这种品牌汽车的大致报废年限好呢？

某汽车修理厂小工记录的某款汽车的报废年限情况

生9：众数是22年，不能代表大多数汽车的报废年限！

生10：平均数是16.6年，达到16.6年的有10辆车，也不是太合理.

生11：中位数是18年，达到18年的有13辆车，刚好是25辆车的一半左右，挺好的.

师：看来都可以.但中位数更合理！所以，我们常说，统计量的选择没有对与错，只有好与坏.如果我还想知道，我这辆车在同款汽车中属于中上游还是中下游？用哪一个量更合适？

生12：中位数.

师：18年，我的汽车车龄已经超过大部分的汽车了，看来是应该淘汰了！最近我还真的去了解了新能源电动汽车.

设计意图 本教学片断呈现修理厂小工记录的直观形象的数据（符合修一辆记一辆的习惯），目的是让学生能很直观地感受这一组数据不适宜用众数，鼓励学生提出平均数，中位数，感受同样数据有不同的处理方式，数据处理不讲“对与错”而讲“好与坏”.此处设置“车辆报废”问题承前启后引出后续的换车问题.

2.2 创设“换车问题”系列情境，深度理解“统计量的选择”

环节4 出示“新能源汽车”数据，引发学生质疑数据来源.

师：新能源汽车就是用新能源替代发动机的功能，它与一般燃油汽车的区别是用电池为汽车提供驱动能源.3个厂给了我图3所示的电池信息：从电池使用寿命的角度选择产品，根据这些数据你能作出判断吗？

生13：不能！

师：那你对厂商提供的这些数据有什么想法？

生14：不知道他们这些“7年”的数据怎么来的？

师：这个习惯好！看到数据，想想它们是怎么来的？我这里得到质检部门对3个厂的一些调查数据（如表1），我们可以怎样处理这些数据？

生15：算一算平均数、中位数、众数（如图表2所示，先出示前3列数据）

师：各厂分别用了什么数据来为自己的产品做广告？

生16：甲厂用平均数，乙厂用中位数，丙厂用众数.

师：数据确实真实！但我看即使选择同一种统计量，也很难作出选择，你还会怎么区分？

生17：方差.因为方差表示偏离平均数的大小，方差越小越均匀.

设计意图 本教学片断由“换车”引发新能源汽车电池寿命.此处将课本中直接出示质监部门数据的形式，改为以“广告”的方式给出，希望学生能对数据养成“质疑”的习惯，从而引发数据来源的调查.接着，通过处理数据，让学生感受既需要“集中程度”的统计量，还需要“离散程度”的统计量.

環节5 多角度考量“汽车产品需求”，感悟理解“加权平均数”

师：我们在买车时，除了关注电池，可能还会考虑哪些要素？

生18：价格！

师：其实电动汽车还有一个数据需要特别考虑：汽车一次充满电后能够连续航行的里程数，即“续航里程”.如果就考虑这3个因素，对以下表3的3辆汽车，你如何进行综合排名？

生19：我可能会选择丙，因为我认为现在新能源汽车还不够成熟，所以先买一辆价格便宜的试一试！

生20：我可能会选择甲，因为我需要去很远的外婆家，需要续航里程比较长！

生21：我可能会选择乙，因为它的电池使用寿命比较长，性价比也就高了！

师：不同的人会根据自己的实际需要有所侧重，统计学中有一个量，能表达不同的侧重情况，你想到了什么统计量？

生22：加权平均数！

师：根据“权”怎么算？

生23：比如电池使用寿命占50%，价格30%，续航里程20%.

师：现在的问题是他们的单位各不相同，即使有侧重，也无法相加啊！有什么办法可以统一单位呢？

生24：（面面相觑，无法定夺）

师：我倒是想到了一个办法，先对它们进行打分.比如把每一个项目满分都记为10分，如表4，甲、乙、丙按电池使用寿命分别记为7，8，6分，那么价格、续航里程如何打分？

生25：价格越高分数越低，续航里程越长分数越高，打分如上表.

师：那现在请根据我们刚才的想法“电池使用寿命占50%，价格30%，续航里程20%”

列式计算.

生众：（生列式计算后作出选择）

师：这里如果有10辆车，50辆车，这样数据处理的意义就更大了！现在我们归纳一下，何时使用加权平均数？

生26：当我们需要突出某一个量时，需要使用加权平均数.

师：我们要根据问题解决的需要选择合适的统计量.

设计意图 本教学片断提出问题“你在考虑购车时，除了关注电池，还会关注哪些问题？”引出价格和续航里程这些因素.通过补充原教学素材中缺失的加权平均数，感悟加权平均数在实际生活中的应用以及数据处理的方法.此处，让学生经历数据处理的全过程并进行计算.同时归纳分析数据的方法，怎样根据问题解决的需要选择不同的统计量来分析数据.

2.3 现实问题解决，巩固运用“统计量”

师：刚才我们经过慎重选择乙厂.让我们一起来关注乙厂工人生产电池情况（出示例题）.请大家自主阅读课本，互相讨论，然后由你们进行展示互评.

例：某电子科技公司有40名技术员，某月他们组装一批电池零件产品的个数统计如表5.

（1）为了激励技术员的工作积极性，同时适当考虑成本控制，管理者准备对完成定额或超额完成的员工予以奖励，问：“定额”如何确定？

（2）若定额为71个，若达到或超过定额的员工，每件产品薪酬额外增加50%，若该公司技术员月平均工资4475元，问原来每件产品多少元？每个技术员的工资分别是多少？

（3）由于业务增加，该公司计划新招收一批技术员.如果你是应聘者，你认为选择哪一种统计量描述该公司中等水平技术员的基本工资比较恰当？

讨论结果，代表呈现如下：

生27：若选中位数70，这样40人里面有24人能获得奖励，成本太高，不是很合适;若选众数85，过高，员工不同意，不合适;若选平均数70.5，即71个，40人里面有18人获得奖励，员工和老板都能接受，所以我选择平均数“71”作为定额.

生28：对问题3，用中位数70描述中等水平技术员的基本工资比较合适，工资为3500元，如果是一名高级工程师，用其他数据比较合适，需要根据具体情况确定.

设计意图 本例题教学用理解性问题促进学生思考：如“定额过高会产生什么影响？定额过低会产生什么影响？”帮助学生理解题意，同时（2）题比书上增加了一个问题“每个技术员工的工资分别是多少？”为后续问题（3）的解决提供方便.

2.4 综合思考，深度体验

由开车引发健身，以迷你马拉松赛跑为情境设问（估计全国15—20岁少年的5km跑步成绩;了解参赛者小徐的成绩是否属于中上游水平;比较甲乙两组参赛者哪一组成绩比较均匀？），让学生设计统计方案，提出见解，同时弘扬马拉松“努力·拼搏·健康·快乐”的精神.

设计意图 将书上原例1舍弃改成马拉松赛跑的相关问题，让学生畅所欲言，进一步感悟如何选择统计量解决问题.

2.5 纵横梳理，内化素养

围绕以下问题进行梳理：对数据进行统计，有哪些作用？运用数据解决问题，一般有哪些步骤？让学生回忆收集数据的方法有直接（如小调查）和间接（如网络搜索），可以利用统计表、统计图等方法来整理数据，可以利用中位数、众数、平均数、方差等统计量来分析数据.鼓励学生“以小见大，以现在预测未来！”，开创属于自己的精彩未来！

设计意图 纵向回顾数据统计的一般步骤，进一步感受数据分析的方法和作用.

3 教学思考

3.1 问题情境是发展数据分析观念的重要载体

数据分析意识的觉醒，数据分析技能的形成，数据质疑与评判能力的养成，都不是靠教师“灌输”与“强调”，而是依靠具体的问题情境，通过学生参与问题解决的过程形成的.本课教学中，创设了“用车问题”系列情境，帮助学生进一步理解“中位数、众数、平均数”等集中程度的统计量：如众数不一定是“数”，平均数不一定是真实的數据，同时感受数据中蕴含着信息，对同一组数据可以采取不同的处理方法;创设了“换车问题”系列情境，如通过呈现甲乙丙三厂“7年电池使用寿命”唤醒学生的数据质疑意识和评判能力，通过选车不同因素的侧重引出加权平均数，帮助学生理解如何选择集中程度与离散程度的统计量，提高数据分析能力;通过“生产汽车配件”问题，进一步落实统计量的运算技能.在教学设计中，我们应着眼于数据分析观念的具体内涵和教学目标，设计合适有价值的问题情境，帮助学生发展数据分析观念.笔者认为，有价值的问题情境应具有激发学生兴趣、促进学生思考、易于拓展延伸等特征.

3.2 数学活动是发展数据分析观念的主要途径

如果说问题情境（问题）是一种静态的教学资源，那么只有让教师以静态资源为载体组织引导学生参与数学活动，学生才能在经历体验与感悟的过程中，不断发展数据分析观念，形成核心素养.笔者认为，数学活动包括数学思维活动与数学实践活动，实践活动离不开思维活动的参与，思维活动也可以依赖实践活动获得的经验.组织数学活动，表现为面对每一个问题，教师给予学生足够的思考时间和空间，通过学生的合作讨论和自主探究、展示互评，教师的适时点拨、即时评价，不断达成问题解决.本课教学中，对每一个问题情境，教师都舍得让学生犯错和反思，如在平均数计算问题情境中，先让学生通过直接计算平均数发现可以先定基准再算平均数;在加权平均数诞生的问题情境中，从汽车实际影响因素不断引发问题冲突，让学生经历权的诞生和设计过程.

3.3 问题引导是发展数据分析观念的主要手段

引导学生思考，帮助学生理解，发展思维能力是数学学习的核心任务.以问题情境为载体，通过数学活动创设师生交互的平台，实现思维能力的提升，发展核心素养.笔者认为，组织数学活动的主旨是引发学生的思考，主要措施可以表现为教师的设问和追问，学生的展示和互评.在本节课中，设计了若干思考性问题[2]，如“联系性问题”：“即使选择同一种统计量，也很难作出选择，你还会怎么区分？”帮助学生联想“方差”概念解决问题;让学生理解题意而设置的“定额过高或过低有什么影响”的“理解性问题”;“如果综合考虑电池使用寿命、价格、续航里程，如何选择？”等“拓展性问题”;“何时使用方差和加权平均数”等“归纳性问题”，这些问题穿插在每一个数学活动中，引导和帮助学生学会思考，践行“学为中心”的教学理念.

参考文献

[1]许芬英.“浙江省中小学学科教学建议”案例解读（初中数学）[M].杭州：浙江教育出版社，2015.

[2]许芬英，潘小梅.学为中心的初中数学思考性问题的类型及其设计[J].数学通报，2016（10）：13-17.