由两道例题引出抛物线焦点弦的一系列相关性质

任红玉 程国忠

【摘要】本文结合课本例题的求解，通过一系列的深入思考，帮助学生更好地理解抛物线焦点弦的相关性质，更好地培养学生的数学核心素养.

【关键词】 例题;抛物线;焦点弦;数形结合;核心素养

课本中例题教学的目的绝不仅仅是教会学生例题本身的解答，而是要通过挖掘例题中丰富的内涵以及对例题的再创造，引发学生思考，培养学生的逻辑推理能力.教师引导学生在思考过程中，通过数形结合的思想方法建立数与形的联系，借助几何直观把复杂的数学问题简明化、形象化，培养学生的直观想象能力，与学生一起发现和总结性质，让学生了解到性质的来龙去脉，更好地培养学生的数学核心素养.

例1 （人教版高中数学選修2-1P69例题的一般形式）斜率为k的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

解析 方法一：求出直线l的方程后与抛物线的方程联立，求出A，B两点的坐标，利用两点间的距离公式可以求出|AB|.

方法二：如图1，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A作AA′⊥准线于A′，过B作BB′⊥准线于B′.由抛物线的第二定义得：AF=AA′=x1+p2.同理BF=BB′=x2+p2.于是得：|AB|=AF+BF=x1+x2+p.

思考1 在方法一中若将直线l的斜率用tan θ来表示（θ是直线的倾斜角），则

当θ≠π2时，设直线l的方程为x=ycot θ+p2，由x=ycot θ+p2，y2=2px 得y2-2pycot θ-p2=0，由韦达定理得：y1+y2=2pcot θ，y1·y2=-p2，故|AB|= 1+cot2θy1-y2=2psin 2θ，且S△AOB=12OFy1-y2=p22sin θ，于是有：

性质1 x1x2=p24，y1y2=-p2.

性质2 |AB|=2psin 2θ.

性质3 S△AOB=p22sin θ.

思考2 因为AF=x1+p2，所以以AF为直径的圆的圆心坐标为AF的中点，其坐标为x12+p4，y12，所以圆心到y轴的距离为x12+p4=12AF，得出性质4.

性质4 以焦半径AF为直径的圆与y轴相切，以焦半径BF为直径的圆与y轴相切.

思考3 过F作FZ⊥AA′于Z（如图1），有|AZ|=|AF|cos θ，即 AF=AZ+A′Z=AFcos θ+p，得AF=p1-cos θ，同理得BF=p1+cos θ.

性质5 AF=p1-cos θ，BF=p1+cos θ.

思考4 若焦比AFBF=1+cos θ1-cos θ=γ，则cos θ=γ-1γ+1，故sin θ=2γγ+1，tan θ=k=2γγ-1，所以有|AB|=2psin 2θ=p2γ+1γ2，S△AOB=p22sin θ=p24γ+1γ.于是得出性质6.

性质6 若AFBF=γ（γ>1），则：

①k=2γγ-1;

②|AB|=p2γ+1γ2;

③S△AOB=p24γ+1γ.

例2 （人教版高中数学选修2-1P70）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

解析 以抛物线y2=2px为例，求出点D的纵坐标为yD=-p2y1=yB，即得证.（点D与点B′重合，如图2）

性质7 A，O，B′三点共线，B，O，A′三点共线.

思考5 因为kOA=2py1，kOB=2py2，所以kOA·kOB=2py1·2py2=4p2y1y2=4p2-p2=-4，得出性质8.

性质8 kOA·kOB=-4.

思考6 连接A′F，B′F.因为A′-p2，y1，B′-p2，y2，所以A′F=（p，-y1），B′F=（p，-y2），即A′F·B′F=p2+y1y2=0，则A′F⊥B′F，从而可得出性质9.

性质9 以A′B′为直径的圆与AB相切于点F.

【变式】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线，两切线的交点为M′，如图3，则直线MM′∥x轴.

解析 同样以抛物线y2=2px为例，易知直线AM′：y1y=px+y212，直线BM′：y2y=px+y222，两直线联立得M′点坐标为-p2，y1+y22，因为M点的纵坐标也为y1+y22，所以MM′∥x轴.（如图3）

思考7 因为M′的横坐标为-p2，所以点M′在抛物线的准线上，得出性质10.

性质10 过抛物线上两点A，B作抛物线的切线相交于M′，若M′在准线上，则直线AB必过抛物线的焦点F.（反之，过抛物线上两点A，B作抛物线的切线相交于M′，若直线AB过抛物线的焦点F，则M′在抛物线的准线上）

思考8 因为M′的纵坐标为y1+y22，所以点M′是线段A′B′的中点，即MM′是梯形AA′B′B的中位线，如图3，则MM′=AA′+|BB′|2=AF+|BF|2=|AB|2，得出性质11.

性质11 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且切点为M′.

思考9 以AB为直径的圆的直径AB所对的圆周角为90°，则∠AM′B=90°，即AM′⊥BM′.

性质12 过抛物线焦点弦两端点A，B的两切线垂直.

思考10 连接M′F，FM′=-p，y1+y22，AB=y222p-y212p，y2-y1=y2+y1y2-y12p，y2-y1，则有FM′·AB=0，即M′F⊥AB，得出性质13.

性质13 以AM′为直径的圆必过焦点F，以BM′为直径的圆必过焦点F.

思考11 连接A′F，B′F，kAM′=p（y1-y2）p2+y21=py1，kA′F=-y1p，则kAM′·kA′F=-1，同理kBM′·kB′F=-1，即AM′⊥A′F，BM′⊥B′F，得出性质14.

性质14 A，F，M′，A′四点共圆，B，F，M′，B′四点共圆.

思考12 直线AM′的方程为y=py1x+y12，且直线A′F的方程为y=-y1px+y12，即AM′与A′F的交点R的坐标为0，y12;同理，BM′与B′F的交点S的坐标为0，y22.得出性质15.

性质15 AM′，y轴，A′F三线共点于R，且R平分A′F和OA″A″是AA′与y轴的交点）.BM′，y轴，B′F三线共点于S，且S平分B′F和OB″B″是BB′与y轴的交点）.

思考13 因为kAM′=py1，kB′F=-y2p=py1，所以 AM′∥B′F，即M′R∥SF，同理M′S∥RF，则四边形M′SFR是平行四边形，又AM′⊥A′F，所以四边形M′SFR是矩形.

性质16 AM′∥B′F、BM′∥A′F，且四边形M′SFR是矩形.