2020年高考全国Ⅰ卷理科第21题与泰勒展开式的联系

广东省东莞市第四高级中学(523220) 王文涛

函数y= ex在x= 0 处的泰勒展开式(即麦克劳林公式)为ex=1+x++Rn(x),其中Rn(x)为泰勒展示的余项.受此启发,我们可以得到一系列高中生可以证明的不等式.

引理1当x≥0,n ∈N*,ex≥1+x+

证明欲证ex≥ 1 +x+只需证

设f(x)=则

所以f(x)在[0,+∞)上是减函数.f(x)≤f(x)max=f(0)=1,所以

题目(2020年高考全国Ⅰ卷理科第21 题) 已知函数f(x)=ex+ax2-x,

(1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性;

(2)当x≥0 时,f(x)≥+1,求a的取值范围.

首先,我们考虑上述高考题的一个推广形式.

推广1当x≥0,n ∈N*时,1+x+≤ex,求a的取值范围.

解当n= 1 时, 欲a+x≤ex, 只需a≤ex -x.设g(x) = ex - x(x≥0).注意到g′(x) = ex -1 ≥0, 则g(x)min=g(0)=1,所以a≤g(x)min=1.

下面考虑n≥2 的情形.当x= 0 时,a ∈R.当x ＞0时,

因为

所以

由引理1 知,当x ＞0 时,ex-＞0,所以当x ∈(0,n-1)时,f′(x)＜0;当x ∈(n-1,+∞)时,f′(x)＞0.所以f(x)min=f(n-1).

简评易见, 2020年高考全国Ⅰ卷理科第21 题的第二问无非是推广1 中取n= 3 的特殊情形.实际上, 由整理得1+x+≤ex,由推广1的结论知-2a≤所以a≥

推广1 给出一个普适性的结果,尽管推导过程看起来较为复杂,但是,重要的是思想方法,而不是公式本身.借助于推广1,可以构造一些新的题目,比如如下的变式1.(解答留给读者)

变式1f(x) = ex - x -当x≥0 时,f(x)≥+1,求a的范围.

我们还可以通过对引理1 的推广来得到前述高考题的进一步推广.

引理2(1)n为正奇数时,则有ex≥

(2)设n为正偶数.则有

证明设f(x)=,定义域为R.由引理1 的证明知:

(1)n为奇数时, 当x ∈(-∞,0),f′(x)＞0;x ∈(0,+∞),f′(x)＜0, 所以f(x) ≤f(x)max=f(0) = 1, 因此ex≥1+x+

(2)n为偶数时,f′(x) ≤0, 所以f(x) 在(-∞,+∞)上是减函数.当x≥ 0 时,f(x) ≤f(0) = 1, 所以ex≥1+x+当x ＜0 时,f(x)＞f(0)=1,所以ex ＜1+

推广21 +x+≤ex,n ∈N*,求a的取值范围.

解(1)当n= 1 时,a+x≤ex,a≤ex -x,设g(x) =ex -x, 问题归结为a≤g(x)min.由于g′(x) = ex -1.当x≥0,g′(x) ≥0;x ＜0,g′(x)＜0,所以g(x)min=g(0) = 1,因此a≤1.

(2)当n≥2 时,当x= 0 时,a ∈R.下面研究当x /= 0时的情形.

(i)当n是大于1 的奇数时,设f(x) =f′(x) =由引理2 知x ∈(-∞,0),(0,n -1) 时,f′(x)＜0;x ∈(n-1,+∞)时,f′(x)＞0.当x ∈(-∞,0)时,

以下证明:

构造函数

则a的取值范围是(-∞,ηn-1].

(ii)当n为偶数时,当x ＜0,考虑不等式

由引理2 知

综上所述,当n= 1 时,a的取值范围为(-∞,1].当n为大于1 的奇数时,a的取值范围为(-∞,ηn-1];当n为偶数时,a不存在.

根据推广2,可以给出2020年高考全国Ⅰ卷理科第21 题如下变式:

变式2已知函数f(x)=ex+ax2-x,

(1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性.

(2)f(x)≥+1,求a的取值范围.(答案:a≥