高等代数与高中数学教学衔接问题与策略研究

朱迪　张昆龙

摘 要：高等代数课程对提升学生的思维水平有很大的帮助，因其与高中数学在知识、思维方法等方面存在衔接问题，很多学生在学习高等代数时都会遇到困难。基于对问题的解决，文章提出添加几何获得直观、改变教学观念、增加教学实践等改进策略，以提高高等代数教学效率和教学质量，提升学生思维水平。

关键词：高等代数;高中数学;衔接问题;几何直观;教学观念;教学质量;思维水平

中图分类号：G642;O15-4 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2021）03-0110-03

一、引言

作为基础数学、应用数学、数学师范等专业的必修科目高等代数，自开始在高等教育阶段进行授课时起，就有很多学生反映课程难学，很抽象。虽然高等代数知识在课本的编写上做出了调整，但从实际的教学效果看，作用甚微。并且在听不懂的学生中不乏许多在高考中取得好成绩，高中知识学得比较扎实的学生。这种情况出现的原因是什么呢？

在阅读完高中教材、高等代数教材以及各学者对这个问题的分析之后，笔者发现学生觉得困难的一个原因是高等代数中常用的知识和思想在高中知识的教授中没有做足够的关注，但在大学学习时已经默认该知识学生已经熟练掌握了，因此出现了高中知识和高等代数知识之间的衔接问题。

在这样的背景之下，解决高等代数的教学问题就变成了一个具有实际意义的问题。本文依据高等教育出版社出版的高等代数（第三版）教材，分析高等代数知识和高中数学知识之间的衔接问题以及解决策略，希望能为高等代数教学提供一定的帮助和借鉴。

二、衔接问题

高等代数课程的内容包括线性空间、线性变换、多项式等多项内容，并且高等代数具有理论性强、抽象性强等特点。由于其内容多、抽象性强、对学生的要求也高。因此高中数学与高等代数的衔接问题也是多方面的。

1.知识层面

（1）在求解方程方面。高中数学在求解二元一次方程（组）和三元一次方程（组）的问题时是利用消元的方法，而在高等代数中求解方程问题是利用矩阵和行列式的方法。高中求解的二元一次方程和三元一次方程都是具体的方程（组），并且消元之后带来的影响也是非常明确的。而高等代数中的矩阵和行列式是抽象的，并且需要经过矩阵的变换来求解，这对于刚学习高等代数的学生来说无疑是困难的，很多学生甚至不知道什么是矩阵，不知道矩阵是如何产生的，也不知道为什么要这样求解。

（2）在向量方面。高中时学习了向量的长度和两个向量之间的夹角知识，这为学习欧式空间的长度和夹角问题做了铺垫。高中对于向量部分的知识是通过列出代数式把几何问题转化成代数问题来求解，但在高等代数中随着维度的增加，学生对于向量所表示的几何体越来越不可以直接观察到。并且，教师在教授高等代数的过程中，很少利用几何来解释向量、由向量构成的矩阵等内容，大多是直接从代数的角度来推理论证知识，对学生的数学抽象素养要求很高。此时讲空间概念，对学生的理解来说无疑是困难的。

2.思想方法层面

（1）在数学归纳法方面。在高等代数的学习中有一種重要的处理问题的方法——归纳法。例如，在高等代数中的行列式按行（列）展开的公式证明中就用到了这种方法。但在高中数学的学习中，虽然在数列的证明中有运用归纳推理来证明题目的案例，但这种从特殊到一般的推理方法在高中知识中并不多见。由此可见，这种处理高等代数问题的常见方法，在高中数学的教学中并没有受到重视，在进入高等教育阶段之后很多学生表示难学也在预料之中。

（2）在严谨的逻辑推理方面。弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中说道：“不同阶段数学知识具有不同的严谨性。”即学生在高中时接受的严谨性和在接受高等教育时期接受的严谨性是不同的。因此，对同一个知识点会有不同的描述，也会引起一定的混淆和断连。例如，高中数学对于向量共线的定义为若两个向量和满足=λ，则这两个向量共线。高等代数中的相对应知识点定义为：对于线性空间A中的向量：a1，a2，…，an，如果存在不全为零的数k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，则称向量组是线性相关的，否则称它为线性无关。在高中数学中对于“基底”的定义为如果两个向量不共线，那么这两个向量叫作一组基底;在高等代数中则定义为设V为一线性空间，如果r个向量a1，a2，…，ar∈V，且满足以下条件：（i）a1，a2，…，ar，线性无关;（ii）V中任一向量都可由a1，a2，…，ar线性表示，那么向量a1，a2，…，ar，就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。若能够找到满足上述两个条件的无数个向量组，此时V为无限维线性空间。同一知识点用不同的方式呈现，就会导致学生不能够较好地将高中知识和高等代数知识相联系，从而造成衔接的断层。

3.对数学的认知层面

学生从高中过渡到大学，对数学的认知也在不断变化之中。高中时期学生认为数学是用自己的语言去描述这个现实世界中的数量关系和空间形式，其研究对象为现实世界，具体表现为点、线、图形、数字、代数式、方程等内容。而到了高等代数学习时期，学习内容和研究对象变成了抽象的矩阵等价、矩阵变换、向量之间的线性关系等非具体对象。向量空间、欧式空间的出现，打破了传统的、可以具体看到的数学研究对象，成为一种高度抽象的数量关系和空间形式。

三、衔接策略

高中数学和高等代数之间衔接问题的出现不能简单归咎于某一方，也不能归咎于教学方法存在不足，更多的是教学观念使然。因此，应对两个阶段的教学同时进行调整。

1.改变教学观念，关注学生的过去与未来

教育应贯彻落实“以人为本”的教学观念，教师在授课时，不应该把眼光只放在某一节课上，而应该把眼光放在学生的过去与未来，关注学生在未来需要学习什么，以便为学生未来的学习做好铺垫。大学教师也应当关注学生已经学了什么知识，以便与学生已学的知识做好呼应和衔接。大学教师可通过发放网上问卷的形式，了解学生对知识的掌握情况，以便更好地开展教学。

2.高等代数的教学方面

（1）添加几何，形成直观。随着信息技术的发展，教师不仅可以在网上上课和查找资料，还可以利用计算机技术制作需要的教学课件。特别是数学中关于几何的部分，如果用几何动画来演示和复现图形的呈现过程，学生就可以直接看到，易于理解和掌握。高等代数讲授中加入几何内容，能对纯代数推理进行补充，学生会更容易学习。

例如，在线性变换的学习中，加入几何、矩阵的本质意义就是一种变换。矩阵的变换主要包括旋转、剪切、伸缩三种类型，下面以旋转变换为例，演示几何角度下的线性变换。如图1所示设点（x， y）离坐标原点的距离为r，与x轴夹角为θ0，将其绕原点逆时针旋转θ，旋转之后点的坐标为（x'， y'）。显然（x'， y'）与原点距离不变，仍旧为r。此时可得

整理①②可得：

x'=xcosθ-ysinθ③

y'=xsinθ-ycosθ④

把③④两式整理成矩阵形式可得

x'y'=cosθ-sinθsinθ-cosθxy

即上述矩阵的作用为将一个向量旋转得到另一个向量。

（2）巩固旧知，得到新知。高中时期学过函数和复合函数的概念，函数和复合函数从本质上来说都是一种映射，而这对于理解高等代数中的线性变换以及线性变换的复合具有很大作用。

高中时函数的定义为A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数，记作y= f（x），x∈A。由定义可知x经过对应关系f的作用变成了f（x）。复合函数g（f（x））的含义则为x先经过对应关系f的作用变成f（x），而f（x）又在对应关系g的作用下变为g（f（x））。

高等代数中线性变换的定义为线性空间V的一个变换T称为线性变换，如果对于T中的任意元素α，β和数域P中任意数k，都有T（α+β）= T（α）+T（β），T（kα）= kT（α）。由定义可知向量α在映射T的作用下变成了T（α）。此时将T与函数定义中的对应关系f对比可知，两者的作用相同，对于现行变换中的复合变换矩阵B成矩阵T的作用与复合函数的作用相同，先对向量实行矩阵T带来的变换，再进行矩阵B带来的变换。如图2所示。

（3）立足“教学做合一”的教育理念，增加实践内容。“教学做合一”的教学理念是陶行知先生提出的。陶行知先生认为“教”“学”与“做”是一件事情的三个方面，三者相互融合，要在做中教也要在做中学。“教学做合一”不仅是一种教育理念，还是一种教学方法，即教师教授的方法需要以学生的学习方法为基础，学生学习的方法需要以做的方法为基础，怎样做的就怎样学，怎样学的就怎样教。如果光教不做，或者光学不做，就不能算是学习。强调教与学都应该以做为中心，特别强调了“做”在学习中的重要性。高等代数作为一门极其抽象的课程，如果能够在教学或者课后作业中增加实际应用，比如，利用高等代数知识调节图片色彩，不仅可以提高学生的学习兴趣，还可以促进学生对图片色彩改变原理的了解，拓展学生的知识面。

3.高中教学方面

（1）注重思想方法的讲授。高中数学涉及很多关于思想方法的内容，比如数列证明中的数学归纳思想，从圆的定义及性质到椭圆的定义及性质的类比思想，解决函数题目时的分类讨论思想。但在高中的学习中，这些思想都运用在解决问题上，对于思想方法产生的源头、过程、如何运用，这些内容都在课堂讲授中很少涉及。进入大学的学习之后，学习的内容需要更加深入，不再是简单的知道一个公式就可以了，而是要深入了解思想方法。

（2）注重对概念的讲解。在高等代数的学习中，一些概念性的内容已经在高中数学中有所涉及。比如上述例子中的线性变换的概念和函数的概念，都是在映射的基础上做出的定义。但是高中数学中对于映射这个概念只是做了粗略的讲解。如果学生在高中时期对映射有了一个较为深入的理解，那么将会对高等代数的学习有很大的帮助。此外，教师对知识概念做深入的讲解，鼓励引导学生探究或归纳出一些定义，将有助于学生对知识的认知和理解。

四、结语

高等代数是提高思维品质的一门重要课程，要提高高等代数教学质量，做好高中数学与高等代数之间的衔接是非常重要的。衔接并不仅仅是在知识上，更重要的是在思维方式及对数学的理解上。总之，处理高等代数课程和高中数学的衔接问题应该对大学和高中两个阶段的教学进行改进，包括教学方式、教学内容以及教育观念等。

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