浅析分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用

陈秀君

（广州市培英中学 广东广州 510000）

一、分类讨论思想的概念

分类讨论思想，是指在解决某一个问题时，不能够用同一种方法进行研究时，需要制定一个标准将问题切割成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，最后归纳概括各类解决结果，这就是分类讨论思想。[1]分类讨论思想贯穿于整个高中阶段的数学学习，通过分类能使大量抽象复杂的数学问题区间化、简单化。简而言之，分类讨论思想即“先分后合”的一种解题策略，对学生的理性思维能力和数学理论知识要求都比较高。

二、分类讨论思想的应用案例

分类讨论思想在高中数学各阶段模块学习中的应用非常广泛，但很多学生对分类讨论思想理解不透彻、掌握不扎实，不明白为什么要分类，以谁为对象分类，应该怎么分类，导致解题思路非常混乱漏洞百出。下面三个例题都是研究函数的单调性，是分类讨论思想的一个典型应用，是高考考查的重要知识点之一，它也是解决最值、极值、恒成立、不等式证明等相关函数问题的灵魂，这类问题对学生的各方面能力要求比较高。但解决问题要抓住事物的本质，判断函数单调性的本质就是分析函数的导函数在定义域内各子区间上的符号。三个例题有共性：导函数的符号是由含有参数的二次函数型函数决定；也有不同之处：导函数中参数的位置不同。通过这三个例题的分析解答，可引导学生学会分析思考，善于挖掘研究对象的特征：哪些因素确定不变，哪些因素是变化的，即清楚产生讨论的原因。防止学生遇到参数就盲目讨论的倾向。

解析：（ⅰ）-a ＜0 即a ＞0 时，x2=-a 舍去

x∈(0，1)时，f'(x)＜0，f(x)为减函数

x∈(1，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)为增函数

（ⅱ）0 ＜-a ＜1，即-1 ＜a ＜0 时

x∈(0，-a)，(1，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)为增函数

x∈(-a，1)，f'(x)＜0，f(x)为减函数

（ⅲ）-a ＞1，即a ＜-1 时

x∈(0，1)，(-a，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)为增函数

x∈(1，-a)时，f'(x)＜0，f(x)为减函数

（ⅳ）-a=1 即a=-1 时

x∈(0，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)在(0，+∞)为增函数

解析：

第一层次分类：（针对a=0 还是a≠0 进行讨论）

x∈(0，1)时，m(x)＞0，则f'(x)＜0，f(x)为减函数

x∈(1，+∞)时，m(x)＜0，则f'(x)＞0，f(x)为增函数

第二层次分类：（针对a ＜0 还是a ＞0 进行讨论）

x∈(0，1)时，m(x)＞0，则f'(x)＜0，f(x)为减函数

x∈(1，+∞)时，m(x)＜0，则f'(x)＞0，f(x)为增函数

解析：

第一层次分类：（针对a=0 还是a≠0 进行讨论）

令f'(x)=0 得x=-1

x∈(0，+∞)时，m(x)＜0，则f'(x)＞0，f(x)为增函数

（ⅱ）a≠0 时

第二层次分类：（针对a ＜0 还是a ＞0 进行讨论）

①a ＜0 时，函数开口向下

第三层次分类：（针对Δ ≤0 还是Δ ＞0 进行讨论）

x∈(0，+∞)时，m(x)＜0，则f'(x)＞0，f(x)为增函数

第二层次分类：

②a ＞0 时，函数开口向上第三层次分类：（针对Δ ≤0 还是Δ ＞0 进行讨论）

后两道题难度大，分类讨论情况错综复杂，变化元素多，分类层次多。像这类题掌握分类的思路基本从以下几点展开：①决定导函数符号的函数形如二次函数且二次项系数含有参数时，函数是否二次函数即a=0 还是a≠0 是我们分类的第一个标准；②a≠0 时，二次函数若能直接因式分解求出零点，这时函数开口向上还是向下即a＞0与a＜0是我们分类的第二个标准；③确定了二次函数的开口方向，二次函数的零点在不在定义域的范围之类，两零点的之间的大小如何又是我们分类的第三个标准；④a≠0 时，二次函数不能直接因式分解，这时我们还必须针对判别式判断函数是否有零点展开讨论。当然整个过程中一定要利用数形结合的思想，直观地借助二次函数图像的变化来帮助我们制定分类的标准，结合图像分区间讨论导函数的符号，从而对原函数在各区间上的单调性作出判断。这样一层层讨论下去，让学生体会成功带来的精神享受，慢慢爱上数学、喜欢数学，有足够的自信去学好数学，面对困难能迎难而上。