“数射线上的分数”教学研究

缪敏珠 黄兴丰

摘要：已有的很多研究表明，学生学习分数时，从关系到对象的认识，要经历一段曲折而艰辛的历程。为了促进学生从关系到对象的发展，可以利用长度模型（如纸带、刻度尺）过渡，最终让学生在数射线（数轴的非负半轴）上找到表示分数的点。对此，从沪教版小学数学教材中的分数内容出发，研究学生理解数射线上的分数有何基础和困难，教师如何设计这一内容的教学等。

关键词：数射线;分数;沪教版小学数学教材;学情分析;教学设计

分数既可以表示部分与整体的关系，也可以作为一个对象表示现实世界中的量。已有的很多研究表明，学生学习分数时，从关系到对象的认识，要经历一段曲折而艰辛的历程。为了促进学生理解分数从关系到对象的发展，可以利用长度模型（如纸带、刻度尺）过渡，最终让学生在数射线（数轴的非负半轴）上找到表示分数的点。而且，线上的点与数的关系，正是学生发展有理数概念和进一步领悟数形结合思想的重要载体。对此，我们从沪教版小学数学教材出发展开了教学研究。

一、沪教版小学数学教材中的分数内容：没有把“数射线上的分数”作为重要的概念来设计

尽管《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》对“数射线上的分数”均无明确的要求，但是沪教版小学数学教材中有相关的内容——这大概是教材编者对课程标准的拓展延伸。

沪教版小学数学教材把分数的学习大致划分为两个阶段。

在三年级第二学期，教材设计“分蛋糕”“分纸带”“分糖果”等平均分活动，借助实物和图形，帮助学生具体而直观地认识几分之一（分数单位）和几分之几（一般分数）。由此可以推测，学生在平均分的基础上建立起对分数概念的初步认识，通过具体、直观的模型理解分数的含义。教材中常用的分数模型有两类：一类是连续量模型，包括圆形（面积）模型（如蛋糕、比萨）和线形（长度）模型（如纸带、刻度尺）;另一类是离散量模型，如一些糖果、一群鸭子。之后，教材还基于自然数与分数的比较，通过分数单位的叠加，引导学生认识“几个几分之一就是几分之几”;并借助分数单位的概念，帮助学生建立真分数大小序列的概念，逐渐开始用分数表示现实世界中的量。

在四年级第一学期，教材借助具体实物，引导学生学会比较同分母或同分子分数的大小，并且认识相等分数;在涂一涂、画一画或利用分数单位推算的过程中，引导学生初步学会计算分母在20以内的同分母分数的加减。在这个阶段，教材在线形（长度）模型的基础上引入“分数墙”（不同分数单位線形模型的叠加），由此对分数大小比较和加减计算进行整理，直观建立起分数大小比较和加减计算的统一模型。不仅如此，教材还在最后的“整理和提高”单元中，把数射线作为工具，用来比较同分母或同分子分数的大小、计算同分母分数的加减。

从上述梳理中我们发现，教材利用具体、直观的面积模型、长度模型和离散数量模型，帮助学生理解分数概念的两个侧面：从部分与整体的关系定义分数，由分数单位的计数表示作为对象的分数。但是，教材仅把由长度模型进一步抽象得到的数射线作为工具，用来比较同分母或同分子分数的大小、计算同分母分数的加减，并没有把数射线上的分数作为重要的概念来设计。

二、学生理解“数射线上分数”的基础

在文献研究中我们发现，关于“数射线上的分数”，美国的州际核心数学课程标准（Common Core State Standards for Mathematics）有相关表述：（1）把数射线上从0到1的线段等分成若干份，取其中一份，将该线段的一个端点和原点对齐，另一个端点在数射线上对应的点就表示几分之一;（2）把数射线上从0到1的线段等分成若干份，取其中几份，将该线段的一个端点和原点对齐，另一个端点在数射线上对应的点就表示几分之几。而且，编写组解读在数射线上表示分数的学习进阶时，强调了如下两点：第一，长度模型可以看作数射线的直观模型;第二，学生测量长度的经验是理解数射线上分数的基础。

对此，沪教版教材事实上也已经做好了准备：

第一，关于数射线。在一年级第一册“10以内的数”单元中，就已经引入数射线，使用数射线表示整数的次序及大小的比较;在后面整数的加、减法以及乘法计算中，不断使用数射线帮助学生直观地理解计算过程。从这个视角来看，数射线作为一种工具或模型，四年级学生是比较熟悉的。

第二，关于长度测量。在一年级第二册“几何小实践”单元中，就已经引入长度测量：从学生在日常生活中积累的大量关于比较物体长短的感性经验出发，让学生对熟悉的事物做长度的比较和测量，通过操作活动，发现对于同一物体，所用的测量工具（标准）不同，测出的结果也不一致，由此引起认知冲突，从而体会到统一度量单位的重要意义，知道长度单位的重要作用，认识长度单位米和厘米，认识米尺和厘米尺，学会用它们来测量……从这个视角来看，四年级学生已经能够运用正确的方法测量物体的长度，了解测量长度时需要注意的0、长度、刻度三要素：测量对象一端与0刻度对齐，另一端对应的刻度就是其长度。

三、学生理解“数射线上分数”的困难

沪教版教材一年级就引入了数射线，用于认识整数及其次序，进行加减运算;而且介绍了长度测量的方法，为学生在数射线上找分数提供了可类比迁移的固着点。那么，学生在四年级学习了分数之后，在数射线上表示分数还会存在困难吗？对此，我们设计了三个部分的教学前测试题：（1）用直观模型（面积、长度、数量）表示分数;（2）在数射线上表示整数;（3）在数射线上表示分数。由此，我们对上海市静安区一所小学四年级一个班的38名学生进行了测试。

结果表明，第一部分试题，学生的正确率几乎是100%。特别是在标有17米长度的纸带图形上找37米的长度时，学生表现出对分数概念的两种理解。第一，部分与整体的关系。恰好有一半学生先将纸带7等分，再取其中的3份。第二，分数单位的计数。另一半学生直接利用17米重复测量三次，得到37米，即通过分数单位构造同分母的其他分数。

第二部分试题，只有4位学生发生错误。

上述测试结果说明，学生已经初步建立了良好的分数概念，同时比较熟悉数射线上的整数。

然而，第三部分试题出现了截然不同的测试结果：

首先，给定数射线的原点和1的位置，在数射线上找13的位置。13位学生找到了表示13的点，他们能够在单位“1”的基础上找到表示几分之一的点;7位学生标出了从原点开始表示13的线段，他们能够找到表示几分之一的线段，但是没有把它对应到数射线上的一个点;3位学生标出了表示13的中间的那条线段，他们能够找到表示几分之一的线段，但是没有让它的一端从原点开始，另一端点落到对应的点上;另外的15位学生发生了各种错误，其中有少数直接放弃。可见，尽管用直观模型表示分数时，所有的学生都能找到对应的量，在数射线上表示整数时，几乎所有的学生都很自然地把数和点对应了起来，但是在数射线上表示分数时，学生出现了困难。究其原因，可能是把长度模型中用分数表示长度（线段）关系转变为数射线上用分数表示位置（点）对象，以及增加了平均分单位“1”这一步骤，给学生迁移测量长度时需要注意的关键要素0、长度、刻度之间的关系得到数射线上原点、线段与对应点之间的关系带来了干扰。

其次，给定数射线的原点和1、4的位置，在数射线上找34的位置。只有2位学生找到了表示34的點。24位学生把在这个点放在3和4之间。他们的误解可能在于两个方面。第一，表示单位“1”的量。在之前接触的所有模型中，无论是面积、长度还是数量，总是把所有的作为一个整体，看作单位“1”。于是，学生很自然地把从原点到4这个点的长度看成单位“1”。事实上，哪个量作为单位“1”是分数表示的关键：即使是相同的量，在不同的单位“1”下，分数表示也是不相同的。然而，在这些模型中，并不一定要把整体作为单位“1”，我们可以任意规定单位“1”。比如，一个正方形等分成4个小正方形，如果整个大正方形作为单位“1”，则每个小正方形可以表示14;如果整个正方形的一半作为单位“1”，则每个小正方形可以表示12。这个和整数的表示在本质上是完全一致的。一开始表示整数时，我们极其自然地把一当作计数单位，甚至毫无察觉。后来，在十进制下，我们把10个一作为一个复合的单位十。以后还有更大的单位百、千、万等。第二，分数的大小。估计很多人会十分惊讶：四年级学生学完了这么多分数的知识，怎么可能还不知道34比1小呢？然而，在新的情境中，学生对分数大小的认识和表示分子和分母的整数“无缝对接”了起来（也可以说是混用了“分数视角”和“整数视角”），得到了“34就在3和4之间”的结果。

再次，给定数射线的原点和13的位置，在数射线上找34的位置。没有学生能找到表示34的点。这是我们预料之中的。解决这个问题，一种方法是，首先由13找到单位“1”，然后在单位“1”的基础上构造新的分数单位14;另外一种方法是，在相等分数的概念下，先找到这两个分数13=412，34=912的共同单位112可以通过四等分13实现，再构造新的分数单位14也可以不构造14，直接利用112。无论采用哪种方法，学生都会遭遇极大的挑战。

四、“数射线上的分数”教学设计

我们针对美国州际核心数学课程标准的内容要求，基于沪教版教材的编排以及上海学生的学习基础和困难，设计了“数射线上的分数”的教学。

（一）复习引入

在引入环节，首先出示四道辨析题（如图1所示），帮助学生回忆数射线的三要素，即原点、方向和单位长度。这里，相对而言，第4条数射线是最合适的：第1条数射线可以用原点这个要素排除，第2条数射线可以用方向这个要素排除，第3条数射线可以用单位长度这个要素排除。

教学中最重要的一点，是让学生意识到，在数射线上找自然数是从“0”出发向右、以“1”为基本单位的——1个“1”是1，2个“1”是2，3个“1”是3，以此类推。这时，需要注意的是，学生在数射线上找自然数时，常常关注对应的线段（长度），比如说“从0开始向右数1段”“从0开始向右数3段”等，甚至有时手上指着的其实是对应的点。对此，教师需要强调数射线上的点（位置）与数之间的对应关系（可以联系长度测量的方法）：每个数都有其特定的位置，一个点对应一个数。教师可以用手指一指点的位置，并说一说这个点表示的数，如“这个点表示的是1”“这个点表示的是3”。这样，才能为学生后续在数射线上找分数，理解分数是自然数的扩充做好准备。

（二）在数射线上找分数

探究1在数射线上可以用点表示1、2、3、4这些自然数，那么最近学习的分数能不能也在数射线上找到相对应的点呢？比如12、14这两个点在哪里？

基于上述第三部分试题第1题和第2题的测试结果（数射线上的分数表示的是一段长度还是一个点？从哪一个点开始向右数？究竟把哪一部分看作整体？分数与整数的大小关系如何？），我们设计了“探究1”，引导学生在知道数射线上包括单位“1”在内的多个自然数的情况下，迁移找自然数的方法，找比较简单的分数单位。教学中，教师不仅要引导学生注意数射线上的点（位置）与分数单位之间的对应关系，而且要帮助学生理解在数射线上找分数与在长度模型中表示分数的另一个不同：数射线上表示单位“1”的量只能是从点0到点1的长度，即单位长度，否则表示某个分数的点（位置）就不是确定的，而且分数作为对象与整数的大小关系也是不确定的。以及在数射线上找分数与找整数的主要不同：平均分单位“1”，得到分数单位。这时，教师特别需要注意用多媒体技术动态演示找分数单位的过程，从而促进学生掌握在数射线上找分数单位的方法。

探究234这个点在哪里？

基于上述第三部分试题第2题的测试结果，我们设计了“探究2”，引导学生在知道数射线上包括单位“1”在内的多个自然数的情况下，基于找分数单位的方法，找稍微复杂的一般分数。由于学生在“探究1”中，经历了找分数单位的过程，这里能够比较容易地找到一般分数。这时，教师特别需要注意引导学生用比较规范的语言说清楚找一般分数的过程，进而充分理解分数序列的概念。

探究3有一条不完整的数射线，上面除了原点，只标出了12的位置，你能不能在这条数射线上找到23的位置？

基于上述第三部分试题第3题的测试结果，我们设计了“探究3”，引导学生在知道数射线上的一个分数的情况下，逆向思考，先找到单位“1”，再找另一个异分母的分数，从而帮助学生进一步认识单位“1”的重要性，并巩固找分数的方法。这时，教师特别需要引导学生在数倍数与平均分的过程中，注意测量得到的具体长度与抽象表示的数之间的转化关系。

探究4你能不能在这条数射线上找到54的位置？

“探究4”是拓展性的探究活动，意在引导学生基于找真分数的方法，找更复杂的假分数。教学中，教师要特别强调对“分数是分数单位的计数”的理解，从而帮助学生顺利迁移找一般的真分数的方法。当然，这里还可以增加一个变式——在数射线上除了原点，只标出2（或其他非单位“1”的整数）的位置，从而强化学生找单位“1”的意识。

（三）追问升华

在课尾，追问学生：“你能说一说自然数与分数之间的联系吗？”引导学生理解：1个1个地数就有了自然数，“1”是自然数的单位;不满“1”时，就要把“1”平均分，得到分数单位，1个1个地数分数单位就有了分数。在此基础上，引导学生有效沟通自然数与分数之间的联系，进一步认识数系的扩充。

五、“数射线上的分数”教学反馈

教学“数射线上的分数”两周后，我们再次对学生进行了测试，结果发现：（1）给定数射线的原点和1的位置，有92%的学生能找到14的位置;（2）给定数射线的原点和1、2、3、4的位置，有71%的学生能找到23的位置;（3）给定数射线的原点和13的位置，有92%的学生能找到23的位置;（4）给定数射线的原点和14的位置，只有16%的学生能找到45的位置。

这说明，经过教学，学生对数射线上分数的理解已经有了很大程度的提高，但是在知道数射线上一个分数的情况下找另一个异分母的分数，还是感到困难——即使他们已参与过类似的探究。这进一步启发我们，只安排一课时，学生并不能充分掌握“数射线上的分数”这一内容，还需要增加一课时，重点帮助学生巩固在数射线上找分数的方法，引导学生学会用数射线比较分数的大小，计算同分母分数的加减。

参考文献：

[1] 全美州長协会和首席州立学校官员理事会.美国州际核心数学课程标准：历史、内容和实施[M].蔡金法，等译.北京：人民教育出版社，2016.

[2] 王凌.从整数视角到分数视角——“分数的初步认识（二）”的学生错误与教学对策[J].教育研究与评论（课堂观察），2021（1）.