数学建模在高中数学课堂教学中的应用

谢定亮 魏有莲

【摘 要】教育领域关注学生核心素养的培养，高中数学教学的重点在于知识的实践运用，数学教师要以学生创新意识以及科学精神的培养为重点，让其经历问题发现、提出、分析和解决的一系列过程。建模思想的应用有助于培养学生的学习兴趣，引导学生主动探究，使其全面发展。对此，本文简要介绍数学建模思想和应用价值，并对于数学建模的实践运用做深度分析。

【关键词】数学建模;高中数学;课堂教学;应用

数学建模是指结合现实问题将抽象的数学知识提取出来，并建立模型，运用相关知识的数学思想解决问题的方式。学生形成建模思想之后，能够将数学知识和具体问题相关联，快速寻找问题的解决途径，不断提高综合素养。因此，高中数学课堂教学中适当运用建模思想十分必要，教师需要对数学建模的具体运用展开探索，发挥其在课堂中的应用价值。

1   数学建模概述

1.1  建模思想介绍

数学建模属于数学思想之一，主要是结合学科知识，包括定义、公式、定理、数学方法，对于上述内容形成本质认识，也可以将建模思想视为对数学方法和知识的总体认识。数学模型是利用数学语言描述现实世界，运用数学模型有助于学生快速理解知识，并且将数学模型运用在实践当中，有助于学生将模型作为载体归纳常见的数学现象和问题，明确问题的实质，联系模型和知识。总体而言，数学建模主要是指对生活问题、生活情境展开抽象分析，寻找其中存在的变量关系，利用数学语言或者符号建立模型，将模型求解出来，并将这些模型应用在同类问题的求解中[1]。

1.2  数学建模的应用价值分析

高中数学课堂中，数学建模的应用价值主要体现在如下几方面：第一，应用建模思想能够转变传统教学观念，关注学生应用意识和能力的培养;第二，应用建模思想可设计建模活动，激发学生对知识的探索欲望，开阔其视野;第三，灵活应用建模思想，有助于数学教师不断更新和完善自身的知识结构，课堂教学更加高效;第四，应用建模思想能够激发学生的想象力，培养其观察能力，促使其深入学习数学知识，形成创新能力;第五，通过建模活动，组织学生合作交流，共同探究知识，有助于学生自学、探究与合作等能力的培养，使学生不断增强应用意识，实现高效解题。

2   高中数学教学中数学建模的应用

2.1  函数问题的应用

应用模型，主要是指通过教学，不断深化和拓展知识，让学生形成新理解，将建构知识和学习知识等过程加以关联和对比，在脑海当中建立知识模型，从而对问题有深入认识，不断完善知识结构，有助于数学素养的提升[2]。

高中数学函数知识贯穿始终，属于重点内容。函数是利用变量关系对于客观世界进行描述的重要工具，有助于学生解决数学问题。函数知识中的概念问题、单调性问题、导数问题属于学习重点，而上述知识的教学均可利用建模思想完成，以数学模型关联函数所有知识。在讲解函数的概念性质等内容时，可介绍如下内容：一是初等函数，二是三角函数，三是数列知识。教学中，教师需要带领学生感受函数模型建立和应用模型解决问题等过程。

在函数概念讲解阶段，可选择生活化案例，将案例数学化，利用表格、图象或者解析式等模型将案例呈现出来，循序渐进地将函数变量、函数关系、对应内容等展开讲解，让学生明确函数概念的本质，并理解y=f（x）的形式意义。可使用温度变化这样贴近生活的实例构建模型，引导学生分析函数图象，明确其性质以及几何意义，使用语言建立单调性模型，即当 x1f（x2），此时函数单调递减。在函数奇偶性问题的讲解中，要重点突出当f（-x）=f（x）时，函数为偶函数;当f（-x）=-f（x）时，函数为奇函数。讲解函数周期性知识时，要将f（x）=f（x+T ）系列概念模型加以明确[3]。

初等函数属于数学学习的基础。指数函数学习中，可通过“折纸”或者“细胞分裂”等案例，引导学生配合图象或者计算工具，将指数函数用数学语言描述出来，即 y=ax，a>0且a≠1，用数学语言描述对数函数为 y=loga x，a>0且a≠1，用数学语言描述幂函数为 y=xa。要让学生对不同模型形式有基本了解，并掌握函数的运算规律以及变化趋势。教学中，要指引学生利用初等函数相关模型，对函数概念、性质等模型进行提炼，并利用模型解决现实问题。

三角函数问题也可利用建模思想解决。教师要将单位圆作为基础，完成三角函数模型的建立，引导学生分析单位圆的对称性，使学生使用定义将诱导公式的数学模型推导出来，结合问题情境，掌握的具体意义，从多个角度进行分析和思考，完成三角函数公式变换模型的建立，不断形成模型观念。

讲授数列模型时，也可渗透建模思想，将“人口增长”“教育贷款”等相关案例引入课堂，帮助学生构建数列的概念模型，引导其对等差、等比数列的变化规律展开探索，建立等差数列的通项公式模型 an=a1-（n-1）d ，等比数列的通项公式模型 an=a1qn-1，a1、q≠0 ，体会数列模型对解决实际问题的价值。

函数教学的重点是让学生通过对客观世界存在的变化規律加以描述，体会指数、对数、幂、三角等函数的实际应用价值，培养其学习信心，让学生关注数学知识的深度和广度，对建模思想有深入感知，结合实际问题完成探究、自主提问、模型建立以及求解的过程。

2.2  几何和代数问题的应用

几何和代数知识模型建立中，应该将几何知识和代数知识相互关联。平面向量和其应用、几何初步和解析几何、空间向量和立体几何等知识都要利用到图形性质，教师要引导学生在脑海中形成解析几何的解题思想，利用相关主题建立模型。

在平面向量和应用讲解阶段，可以和其他学科建立联系，如将物理学科中有关速度、位移和力等知识的相关情境引入课堂，使物理情境数学化，逐渐帮助学生完成向量概念的模型建立，并将向量模型向平面、空间延伸，使学生对向量几何意义有深入理解，明确向量代表的代数含义，并感受向量在其他学科或者生活中的应用。

立体几何教学方面，可选择长方体作为背景，让学生对空间内部点、线、面位置的关系模型有初步感受，（A∈l，B∈l，A∈α，B∈αl∈α）。教学中，可利用班级内部各类实物，包括教室墙壁或者黑板等，完成几何模型的构造，培养学生的空间观念，使学生掌握线线平行、线面平行判定定理以及性质定理等模型意义，能够利用数学语言表示客观世界。

平面解析几何讲授阶段，可利用抛物线的运动轨迹或者行星的运动轨迹作为教学情境，帮助学生完成代数知识和几何图形之间的转换，引导学生利用坐标系完成直线模型、圆模型、椭圆模型、双曲线模型、抛物线模型的建立。

空间向量以及立体几何讲授阶段，可利用类比法以及向量法等建立空间的线面平行、面面平行判定的模型，让学生经历模型建立、应用等系列过程，从多个角度理解几何问题的求解方法，并能利用向量模型完成实际问题的求解。

2.3  统计和概率问题

统计和概率相关内容的教学中，可运用“掷色子”和“掷硬币”相关实例，引导学生收集和整理数据，建立统计、概率等模型，感受生活中决策的可行性以及必要性。教学中可利用计术原理、概率和统计等内容，建立主题模型，使学生感受到概率、统计之间的联系。具体教学流程如下：针对需教学的知识建立模型，利用学生熟悉的生活情境，提出问题，组织学生归纳，将问题分类，使学生体会到问题的意义。可使用“捆绑法”建立排列与组合相关计算公式的模型。内容如下，排列公式的计算模型为;组合公式的计算模型为。

教学统计和概率知识时，应该结合背景知识，选择“掷色子”和“掷硬币”等生活实例，建立“古典概型”和“二项式定理”等模型，即：

通过上述流程，让学生掌握统计、概率知识的本质和意义，经历模型建立全过程，将知识数学化，灵活运用模型解决生活問题[4]。

总之，高中数学课堂教学中，可结合具体内容，适当渗透建模思想，转变传统授课模式，组织课堂活动，帮助学生建立模型，培养其独立思考问题的意识，使其能不断发现和解决问题，利用所掌握的数学模型解决实际问题，开阔思维，形成创新意识，提高数学素养。

【参考文献】

[1]张鑫.数学建模在高中数学教学中的应用与研究[J].科学咨询，2020（23）.

[2]齐忠新.数学建模在高中数学课堂的有效运用[J].数学大世界，2020（3）.

[3]周建东.加强高中数学建模教学培养学生数学应用能力[J].求知导刊，2019（44）.

[4]郭洁.新课标下高中数学建模教学探微[J].南北桥，2020（5）.