分途与合流：从算学与经学的关系看南北朝数学史

朱一文

(中山大学哲学系暨逻辑与认知研究所，广州 510275)

1 问题的提出

南北朝是中国数学发展的重要时期。唐显庆元年(656)，李淳风(602—670)等编订的十部算经中，除了汉代《周髀算经》《九章算术》、魏刘徽所作《海岛算经》、唐王孝通所撰《缉古算经》，剩余的六部算书《缀术》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》都完成于这一时期。因此，尽管分期略有差异，学术界普遍认为三国至隋代中国传统数学理论获得了高度发展([1]，页33—38；[2]，页14—15；[3]，页3—5)，最终形成了以十部算经为代表的理论体系[4—7]。

不过，尽管我们对这一理论体系已有相当程度的了解，但是对此背后的历史动因却并不十分清楚(1)陈巍认为《五曹算经》“田曹”卷的田地面积算法与北魏土地制度的实际需求有关，这是少数关于影响南北朝数学社会历史因素的研究。参见参考文献[8]。。学术界普遍认为作为中国传统学术显学的经学在南北朝时期出现了分野([9]，页170—192；[10]，页173—187；[11]，页188—200)，初唐颜师古(581—645)校订“五经”(2)初唐“五经”指《毛诗》《尚书》《礼记》《周易》《春秋左传》五部儒家经典。、孔颖达(574—648)等编撰《五经正义》完成了经学的统一([11]，页237—247)。那么，算学是否也有从分野到统一的过程？该问题的复杂性在于：时人就已观察到南北经学“所为章句，好尚互不相同”([12]，页2709)，但是在算学领域似乎知识的一般性(generality)才是学者们共同持有的价值(3)林力娜(Karine Chemla)通过《九章算术》刘徽注论证在中国古代数学中一般性(generality)是高于抽象性(abstraction)的认识论价值。参见参考文献[13]。。

事实上，南北朝时期算学与经学的关系确实十分密切。周瀚光认为北周甄鸾所撰《五经算术》是辅助阅读儒家经典的工具书[14]，陈巍认为它是经学中的算学[15]。笔者将《五经算术》与初唐儒家对于同样文献的注疏作对比，揭示出两者并不相同，因此该书既不是儒经的辅助读物，也不是经学中的算学[16—20]。《五经算术》实际折射出南北朝时期儒家算法传统的兴起[21]，它与以《九章算术》为代表的传统算学分庭抗礼，甄鸾撰、李淳风等注释该书是将传统算学应用于经学[22—23]。这些研究说明有必要从算学与经学关系的视角重新审视南北朝数学史，增进我们对于数学本质的理解。

2 南北传统算学的分途与合流

前人已经观察到南北算学有所差别。李迪认为“这个时期的数学家一方面学习和研究《九章算术》……另一方面又打破《九章》格局……”([6]，页214)郭书春认为南朝算学“在魏晋数学的基础上继续发展”，“与之相对照的是，北朝出现了一批普及性著作”，并认为“就抽象程度和理论水平而言”，后者不如前者([7]，页171)。纪志刚则“用《世说新语》对南学和北学的概括，来总结南北两朝的数学特点，即：南朝数学清通简要，北朝数学渊综广博”([3]，页9)。笔者认为有必要在算学与经学关系的脉络下来理解南北朝算学史。

2.1 南朝传统算学之特色

南朝算学的代表人物是何承天(370—447)、祖冲之(429—500)及其子祖暅之(一说祖暅，456—536)，三人生活的年代涵盖南方宋(420—479)、齐(479—502)、梁(502—557)三朝。何承天作《元嘉历》、创设调日法，并以之来设置朔望月的奇零部分([24]，页261—265)。北宋周琮指出何氏创立此法([25]，页1686)，南宋秦九韶《数书九章》给出了该算法的计算细节。李继闵详细分析了调日法算理([26]，页212—288)。李淳风《隋书·天文志》云何氏“周天三百六十五度三百四分之七十五。天常西转，一日一夜，过周一度。南北二极，相去一百一十六度、三百四分度之六十五强”([27]，页512)。据此计算，钱宝琮认为何氏使用了22/7的圆周率数值([5]，页87)(4)李淳风《隋书·律历志》论述圆周率，提到刘歆、张衡、刘徽、王藩、皮延宗和祖冲之等人(见参考文献[27]，第387页)。除了皮延宗，其他人的圆周率数值都流传至今。因此，钱宝琮认为《隋书》“说有皮延宗而遗漏了何承天大概是错记的”(见参考文献[5]，第87页)。然而，两处文献同为李淳风所撰，记错的可能性非常小。事实上，李氏注释《九章算术》、撰《隋书·律历志》都把22/7归功于祖冲之。因此皮延宗应该另有新率，而何承天可能对22/7“用而不知”。。

祖冲之作《大明历》，其求上元积年，在确定日名、岁名、回归年和朔望月的条件下，需解同余方程组([28]，页66—70)。李淳风《隋书·律历志》载祖冲之“更开密法”得到圆周率在3.1415926至3.1415927之间，及355/113与22/7两个近似值([27]，页387)；并载祖氏分别以“算术”和“圆率”考订氏量和王莽铜斛事迹(5)原文分别有“祖冲之以算术考之”和“祖冲之以圆率考之”字样(见参考文献[27]，第408—409页)。这两条与李淳风关于率和圆周率发展的论述正好对应。李淳风《晋书·律历志》考察氏量的文字与《隋志》相同，但“以算术考之”上没有“祖冲之”三字，这是因为根据李氏撰写原则《晋志》中尽量避免出现晋朝之后的人物名字(参见参考文献[23])。因此，郭书春认为“祖冲之以算术考之”的“祖冲之”三字是衍文，是有问题的(参见参考文献[29])。。《隋书·律历志》又载祖冲之“又设开差幂、开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名曰《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理”([27]，页388)(6)郭书春据此认为初唐学官看不懂《缀术》(见参考文献[7]，第194页)，这是有问题的。此条为李淳风所记，而李氏同时也是唐代国子监算学馆的学官，教习包含《缀术》在内的十部算经。李氏应该不会说自己看不懂《缀术》。实际上，李淳风这里是指北朝算学馆的学官看不懂《缀术》，进而暗示《缀术》在唐朝已经获得了很好的教学。李氏这一策略把数学与王朝正统性相结合，从而论证数学的重要性(参见参考文献[23])。。《缀术》今已不存，开差幂和开差立大约与解方程相关。《南齐书》云祖冲之“注《九章》、造《缀术》十篇”([30]，页906)。祖氏《九章注》今已不存，唯有李淳风注释《九章算术》保存了祖暅之在刘徽注基础上对开立圆术的推演。

综上所述，南朝的算学研究主要是在三个领域中：第一，天文历算的不定分析；第二，量器尺寸的考订；第三，《九章算术》刘徽注所未尽之处(包含刘氏涉及的天文历算和量器尺寸的问题)。由于关系到历算，所以南朝算学很可能是在师徒、父子间传承。

2.2 北朝前期算学之特色

北朝前期算学与三本数学著作关系密切：《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》。《孙子算经》成书于公元400年前后[31]。原本《夏侯阳算经》今已不存，只有约600字被征引下来[32]。今本《夏侯阳算经》是唐中叶韩延所著。《张丘建算经》约成书于431—450年之间[33]，是书序云“其夏侯阳之方仓，孙子之荡杯，此等之术，皆未得其妙”([34]，页1b)，并署名“清河张丘建”。故知其为北朝数学著作，且成书晚于《夏侯阳算经》和《孙子算经》。三书在撰写体例、预备知识、算学内容等方面有传承关系。

《孙子算经》卷上首先给出度量衡、大数记法制度、“周三径一”“方五邪七”、黄金、白金等物质比重，继而论述算筹记数法和乘除法，之后给出谷物换算率、分数便捷运算口诀及两道筹算乘除实例([35]，页2a—6a)。这些都没有出现在《九章算术》中。今本《夏侯阳算经》引“夏侯阳曰：夫筭之法，约省为善。有分者通之……”([36]，页2a)《张丘建算经》序云：“夫学算者，不患乘除之为难，而患通分之为难。”([34]，页1a)其卷上开头就是六道筹算分数乘除实例([34]，页2a—5b)(7)林力娜分析了这六问的筹算操作及其反映出的文本语言特点。参见参考文献[37]。。很明显，该书认为先前数学著作未讲清楚筹算分数算法(尤其是通分)，故着力介绍之。其实，与其说筹算记数、整数和分数运算、度量衡制度等是预备知识([6]，页214)，不如说是写出《九章算术》未言之处(《孙子算经》还给出了筹算开方的具体细节)——由此打破算学在师徒或父子间传授的藩篱，导致北朝算学的传授模式与南朝不尽相同。

今本《孙子算经》《张丘建算经》都分成上、中、下三卷，史籍载《夏侯阳算经》有三卷([38]，页2039)或一卷([39]，页1545)，它们都不是《九章算术》的九卷编排。虽然《孙子算经》《张丘建算经》有不少算题类似或者直接取自《九章算术》([3]，页62—63、 86—87)，但是两书都扩展了新的算题语境，如《孙子算经》物不知数、孕妇生男生女问题、《张丘建算经》百鸡问题。《孙子算经》序云：“夫筭者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪……”([36]，页1a)此论述十分夸张地表现出作者认为算学无所不包的观点，展现了扩大算学应用范围的倾向(8)关于《孙子算经》序言所蕴含意义的分析，参见参考文献[40]。。

综上所述，北朝前期相关算学著作中的基础知识、不定问题等主要是拓展《九章算术》未尽之处，从而使得这些算书成为习算者较好的数学课本。宋刘义庆(403—442)《世说新语》云“如筹算，虽无情，运之者有情”([41]，页239)，言中了南朝算学的特点——旁观者仅凭筹算操作并不能完全感受到运筹者之情，这一情感的内在性对天算知识的私密性是一种保护。《孙子算经》等数学著作试图将筹算过程写下来，正是希望将运筹者之情纸面化，从而开启了筹算文本化之进程(9)数学史家研究古代筹算制度的重要文献，一处是《孙子算经》《张丘建算经》中的文字描述，另一处是宋元秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等人著作中的算图。前者开启了筹算文本化之进程，后者使中国传统数学取得了半文本化和符号化成就。参见参考文献[42—45]。。

2.3 从经学史看南北算学差异之原因

颜之推(531—597)《颜氏家训》云：“算术亦是六艺要事。自古儒士论天道，定律历者，皆学通之。然可以兼明，不可以专业。江南此学殊少，唯范阳祖暅精之，位至南康太守。河北多晓此术。”([46]，页524—525)该论述符合我们对南北算学差异之分析。隋初刘祐撰《九章杂算文》([38]，页2039)，书名体现了北朝算学既继承《九章算术》，又在此基础上扩展算题语境的特点。

南北算学为何会形成这些差异？这个问题学术界讨论较少，自然地回答是南北分治导致经学、文学和史学等都有所不同([10]，页17—44)，因而算学概不能外。笔者认为此说固然不误，但还可以进一步讨论。《北史·儒林传》云：“南人约简，得其英华；北人深芜，穷其枝叶。”([12]，页2709)叶纯芳认为此说“语义不详，且有重南轻北之嫌，近人多不以为然”，并认为南北经学之别大致是“南朝重魏晋经学、北朝重两汉经学”([11]，页188—190)。玄理化是魏晋经学的特色之一。叶氏以南朝唯一完整传世至今的经学著作——梁皇侃(488—545)《论语义疏》为例，指出该书虽以何晏(？—249)《论语集解》为基础，但玄风远在何书之上。叶氏又指出北学基本保持汉代经说传统，较少受到玄学影响。与此相对，钱宝琮认为《九章算术》是东汉初年儒学的一部分[47]。笔者认为郑玄引《九章算术》以注经，力图使之成为经学的一部分[48]。郭书春论证刘徽受到郑玄和魏晋玄学辩难之风的影响([49]；[50]，页321—330)。以此观之，南朝何承天、祖冲之父子等人的工作是建立在《九章算术》刘徽注之上；与北朝前期相关的《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》则建立在《九章算术》之上。故南北算学的分野大致是“南朝重刘徽注，北朝重《九章算术》”，恰与南北经学分野的情况一致。

总之，从算学与经学关系的角度看，郑玄引《九章算术》注经、刘徽注《九章算术》是两大重要事件。前者进一步经典化《九章算术》，使算学与经学紧密联系；后者则使中国数学打上了魏晋玄学的烙印。南朝算学继承刘徽注，取得了很高的理论成就；北朝算学继承《九章算术》和郑玄注，补充相关基础知识和新的算题，既改变了算学知识的传承模式，又开启了中国传统筹算文本化之历程。

2.4 南北算学之合流

南北朝后期，分途的算学逐渐合流。纪志刚观察到一个值得注意的现象：北魏后期(公元520年之后)，历家蜂起，至隋朝初年(584年前后)，60余年间竟有10部历法问世(其中4部未正式颁布)([3]，页8)。这与北魏初期行用《景初历》、前期改历不多的情况形成鲜明对比。纪氏认为这是因为张子信的一系列天文学发现。其实，张氏发现主要影响隋初的《皇极历》和《大业历》。笔者认为北魏后期改历频繁可能与公元525年祖暅之被魏兵俘虏，在元延明(484—530)家滞留一年有关。当时，信都芳为元氏召入宾馆。在他的建议下祖暅之获得礼遇，第二年祖氏被送回南朝。在滞留期间，祖氏向信氏传授天文历算([12]，页2933； [51]，页675)。信都芳由此对历法更加精通，私撰《灵宪历》，并对李业兴等人的《兴和历》提出批评[52]。今本《夏侯阳算经》卷上有“梁大同元年甄鸾校之……”([36]，页6b)可知甄鸾原为梁朝人(梁大同元年为535年)，之后入仕北周，作《天和历》(北周天和元年为566年)。由此可见，南北朝后期多有南方算家因各种原因往北，从而形成合流。

《隋书·律历志》载：“《甄鸾算术》云：‘周朝市尺，得玉尺九分二厘。’”([27]，页405)又载：“《甄鸾算术》云：‘玉升一斗，得官斗一升三合四勺。’”([27]，页410)可见，甄鸾仕周之后研究度量衡和量器的问题。据李俨统计，史籍记载甄鸾撰注的算书极多，计有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》《数术记遗》《三等数》《甄鸾算术》等11部([53]，页70—72)。这些书由南北算书和甄鸾自撰著作组成。初唐国子监算学馆的数学教科书总计12部，即十部算经加上《数术记遗》《三等数》两部。与此相比，甄氏撰注算书仅少了祖冲之《缀术》和唐王孝通所撰《缉古算经》(10)甄鸾未注《缀术》很可能是因为看不懂(即《隋书·律历志》所云“学官莫能究其深奥，是故废而不理”)。。因此，甄鸾撰注算书导致了南北算书的合流，并为李淳风选择算学馆教科书奠定了基础。

总之，在南北朝后期，随着祖暅之、甄鸾等出于各种原因来到北方，形成了南北算学、算书合流之趋势：算学研究语境获得了扩展，知识传授模式逐渐完备。隋唐建立国子监算学馆、李淳风等注释十部算经之后，南北传统算学最终完成了合流。

3 经算的兴起与算学的再次分途

南北朝数学史值得注意的另一面是：在扩大算学应用范围的过程中，出现了《五经算术》这部解释儒家经典中数学文献的著作。笔者将之与南北朝隋唐儒家对经典的同例注疏作对比，发现两者并不相同[16—21]。因此，《五经算术》折射出传统算学研究与经学研究中算法的分歧。张缵所撰《算经异义》([27]，页1026)，从书名上看，应是解释不同算学著作间的“异义”，类似东汉儒学大师许慎(约58—147)的《五经异义》和郑玄的《驳五经异义》。这一“异义”体现在两方面：

其一，一系列解释儒家经典的算学著作出现。元延明欲抄集五经算事为《五经宗》(一说《五经宗略》)，并令信都芳算之([54]，页1955)。“会延明南奔，芳乃自撰注”([12]，页2933)。元氏《五经宗》原意也许只是将儒家关于数学的注解抄出来，但信氏注释之后，无疑加上了传统算学的内容。李迪认为甄鸾是将之其中数学性强的部分抽出来，加按语完成《五经算术》([6]，页275)。两唐书所载阴景愉《七经算术通义》和宋泉之《九经术疏》应该也是类似的作品。

其二，经算传统的兴起(11)本文匿名审稿人认为“汉、三国、南北朝、隋唐的儒家注疏儒家经典中的算学内容、算法与《九章算术》及其刘徽注传统的算学内容、算法体量上不对称，而且前者浅易、粗泛，后者更专门、精深，将它们并立是否合适？(传统社会中，专门研究算学的人是轻视儒家的数学水平的)”。笔者同意两家算法传统在体量上不对称的观点，但强调两者在算法文化与数学实作上是可以比较的。此外，诚如审稿人所言，专门研究算学的人是轻视儒家的数学水平的，但另一方面儒家算法传统由于其强势地位，也轻视算家传统。因此，在此两者形成另一种有趣的可比较之处。。汉儒郑玄等注经，时常用到《九章算术》，实际是期望将算学纳入经学，统一融合古今文说(12)郑玄注解儒家经典多次用到数学。例如郑玄引郑众说注《周礼》九数，使得《九章算术》与九数关联起来。郑玄多次引粟米法或粟米之法注解经典，又以数学来消除各经版本之间的差异。《后汉书·郑玄传》载郑玄晚年写给其子的书信云：“念述先圣之元意，思整百家之不齐，亦庶几以竭吾才，故闻命罔徒。”(见参考文献[55]，第1207页)由是可知，数学成为郑玄统一经义的有力工具。。然而，他们的注解往往只给出计算结果或算法大概，而没有具体细节，这提供了后世儒家发展数学的文本空间。皇侃《论语义疏》中给出几何开方算法，开经算之先河[21]。由于儒学强大的地位优势，儒家解经并不理会传统算学和《五经算术》等著作，从而使得算学再次分途[22]。

在既有研究的基础上，本节进一步探讨经算兴起、算学再次分途的过程，以使对于南北朝数学史的论述更为完备。

3.1 经算之兴起

皇侃是梁经学大家，“尤明三礼、孝经、论语。兼为国子助教，于学讲说，听者常数百人。撰《礼记讲疏》五十卷。书成奏上，诏入秘阁”，“又撰《论语义》《礼记义》，见重于世，学者传焉”([56]，页1744)。其所撰《论语义疏》注解“千乘之国”，在马融注的基础上补充开方细节，然而却非《九章算术》筹算开方术[21]。皇氏开方算法基于图形操作([57]，页8—9)，不仅不用筹算，而且不同于刘徽等算家对开方的几何理解(即已知方面积求其边)，认为开方是利用已知面积求做一个方形。唐贾公彦发展了皇氏开方算法[21]。

皇侃《礼记义疏》之《坊记篇》注解周代天子、诸侯国之大小，《服问篇》注解丧服绖带大小，都用数学([58]，页1032—1036)。《礼记·丧服》给出五服绖带(即头带和腰带)相差1/5递减，郑玄注给出首绖9寸，以下依次计算。皇氏注“三年之丧”云“首绖五寸余，要带四寸余……要带四寸余，其首绖合五分加一，成五寸余也”([58]，页1036)。虽然首绖数值不同于郑注，但皇氏开启了对此问题计算细节的讨论。孔颖达、贾公彦按郑玄数值和经算方法给出了完整的计算细节[18，22]。

孔颖达《礼记正义》“服问篇”在引用上述皇侃义疏之后，云“此皇氏熊氏之说”([59]，页1659)。熊氏即是北朝经学大家熊安生(？—578)。据《北史·熊安生传》载，熊氏受业于陈达、徐遵明、李宝鼎等人。孔疏说明熊氏很可能通过某种方式受到皇侃的影响。南北朝后期学者交流频繁，沈重(500—583)是南朝经学大家，北周武帝(560—578在位)闻其名，以厚礼聘至周都([12]，页2741—2742；[60]，页808—811)。北方学者来南者亦有崔灵恩、卢广、蒋显等人([11]，页203)。皇侃讲学听众常数百人，包含其算法在内的学说完全可能传到北方。隋代大儒刘焯(544—610)和刘炫(546—613)受业于熊安生。孔颖达尝入刘焯门下，其编撰《礼记正义》“仍具皇氏以为本，其有不备，以熊氏补焉”([59]，页1223)，可见孔氏对皇侃礼学成就的肯定。贾公彦氏系有北学渊源，其注疏《周礼》《仪礼》亦多因袭旧疏([61]，页153—159、201—212)。

总之，皇侃延续魏晋玄风，创设儒家算法。其重要特征是依靠文字进行推理，与以《九章算术》为代表的传统算学不尽相同。南北朝后期学者交流频繁，皇氏算法很可能随着其经学研究一道传至北方，并获得进一步发展。入隋之后，经学趋向统一。唐初孔颖达编撰《五经正义》、贾公彦撰《周礼注疏》《仪礼注疏》都运用了经算方法。随着这些著作成为唐初国子监的儒学教科书，经算逐渐为大部分读书人所熟悉，并形成了儒家独特的算法传统。

3.2 算学之再次分途

如果说南北传统算学的差别与政治地理、南北经学分野等相关，那么算家与儒家两家算法传统之分途则情况完全不同。两家传统可视为不同之数学文化——不同群体所共享的做数学方式有别(13)林力娜把数学文化定义为群体所共享的做数学的方式(参见参考文献[62])。笔者此处采用了她的说法。。传统算学之《九章算术》及刘徽注，其术依靠筹算实施，具有构造性和机械化特色[63]，其数学推理有寓理于算的特点([64]，页38)，文本具有“问题+算法”的形式。儒家算法传统则不用筹算，其算法也不具有构造性和机械化特色，数学推理亦依赖文字而非寓理于算，问题文本则隐藏在儒家经典注疏中，这些都与传统算学不同。儒家算法传统十分契合经学研究的特点，是经学中的算学，故后世称之为“经算”。

算家出现许多类似《五经算术》把算学应用于经学的著作，实际是希望取代经算体系，然而终不能成功。其主要原因有二：第一，经学与算学地位差距悬殊。虽然在算家看来，儒家算法传统比较初级和简单，甚至劣于算家传统，但是经学的地位远远超过算学——附之于经学之经算则亦如此。既然经算体系已经形成，那么诸儒注解经典时，便不再考虑使用算家传统。这一情形背离了郑玄将《九章算术》引入儒家经典的初衷，反映出经算传统深受魏晋玄风之影响。第二，初唐国子监儒学三馆与算学馆并立，两家算法传统都获得了制度的确认。然而，在师资、生源、考试方式等方面，两者都差距悬殊[22]。制度化使得两家算法传统之别从学术领域进入实际生活。因此，经学研究必须沿用经算传统，《五经算术》则被限于算学领域内部(14)算家往往倾向于算学应用的普遍性，而唐代儒家则坚持经学研究使用经算体系，宋代大儒朱熹更认为不同领域所用之数不同(参见参考文献[22][65])。林力娜认为不同数学文化会形成不同的数学本体论(参见参考文献[66])。。相较之下，尽管算学与天文历算也并非完全相同[45]，但是两者在地位、制度安排方面颇为接近，因此历算往往应用传统算学，两者的差别较小。

总之，经算的兴起导致算学再次分途，是以往不为学术界所知的一面。这一分途的原因来自文化与制度两方面，折射出中国古代数学的多样性和混杂性本质。晚清以降，现代数学传入中国。两大算法传统都被汇入现代数学的大海之中，从而再次实现了合流。

4 结语：重述南北朝算学史

综上研究，笔者重述南北朝算学史。

东汉大儒郑玄引《九章算术》注儒家经典与魏景元四年刘徽注《九章算术》是影响南北朝传统算学走向的两件大事。郑玄引《九章算术》的初衷是希望凭借数学融合古今文说，却造成了算学与经学密切相关的认识。刘徽注《九章算术》呈现出魏晋经学之底色。南北朝时期，南朝重魏晋经学，北朝重两汉经学。在算学属于经学的意义之下，《九章算术》与其刘徽注被分别理解为两汉与魏晋之学。因此，南朝算学建立在刘徽注的基础上，何承天、祖冲之父子的历算、度量衡研究是其后继，补刘徽算理研究之未尽，取得了高度理论化的成就，但传授模式私密；北朝算学则以《九章算术》为基础，《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》是其后继，补《九章算术》基础知识、算题语境等之未尽，在知识文本化、普及算学等方面取得突破。南北朝后期，随着祖暅之、甄鸾等南人适北，南北算学逐渐合流。甄鸾注南北算书、撰《五曹算经》《五经算术》，隋唐建立国子监算学馆、李淳风等注释十部算经，完成了这一合流。

然而，经算的兴起却造成算学的再次分途。梁经学大家皇侃《论语义疏》《礼记义疏》延续魏晋玄风，创设儒家算法。南北朝后期，两边学术交流逐渐繁荣，北朝经学大家熊安生等采纳皇氏经算方法，逐渐形成独立于传统算学的经算传统。唐初孔颖达等编撰《五经正义》、贾公彦注疏《周礼》《仪礼》均延续儒家算法传统。《五经算术》这一类以传统算学解释儒家经典中数学注疏的作品，表明算家意识到两种算法传统之别，并在普遍性的价值观之下，将算学应用于经学。唐初李淳风将《五经算术》纳入十部算经，确立其属于算学经典；又撰《隋志》《晋志》，极大地论述了数学对王朝正统性的作用[23]。随着国子监儒学三馆与算学馆的并立，两家算法传统都获得了制度的保障，并一直延续到清末现代数学传入为止[48，67]。

总之，南北朝数学的发展，受两汉魏晋经学的影响极大。南朝何承天、祖冲之、祖暅之的算学突破、皇侃创设儒家算法都受到魏晋玄风之影响。北朝算学普及性著作则受两汉经学之影响。隋朝一统，唐朝国子监的设立，既完成了南北传统算学之合流，又确保了算家与儒家两种算法传统之并立。

从本文的研究来看，政治地理、文化制度等因素都会影响不同数学传统的形成。这些数学传统在实作、文本语境、本体论和认识论价值等方面都可能有差别，显示出数学的基础或其本质深受历史和文化因素的影响。因此，如果数学史研究不局限于某一特定的数学认识，而采用开放的观念，就有可能从历史的角度给出“什么是数学”的新解答[68]。