超结构夹芯板及其低宽频振动带隙机理

2021-04-12 08:50李锁斌魏儒义周安安李丽霞何彦斌李欣

西安交通大学学报 2021年4期

李锁斌，魏儒义，周安安，李丽霞，何彦斌，李欣

(1.西安石油大学机械工程学院，710065，西安；2.中国科学院光谱成像技术重点实验室，710119，西安;3.西安建筑科技大学机电工程学院，710055，西安；4.西安交通大学机械工程学院，710049，西安;5.低渗透油气田勘探开发国家工程实验室，710018，西安)

超构材料(metamaterials)作为21世纪一种新的人工智能材料概念,已发展成为一个具有重要工程应用价值和广泛应用前景的前沿科学领域。超构材料虽以材料命名,但实际是一种特殊的人工合成结构[1-4],通过对其关键子结构的微妙设计,使其在动态响应时可获得自然界材料/结构所不具备的、超常规的、全新的等效物理性质[5-8],如振动带隙特性,即当振动波通过时,特定频率范围的振动会被抑制。因此,应用超构材料的带隙方法,将大尺度工程结构(如隔振器件或工程结构本身)设计成超结构,利用其自身的振动带隙特性来实现减振,为抑制工程中的有害振动提供了一种全新的思路和方法。

板类结构作为工程中最常用的基本支撑防护单元构件,是产生和传递振动的主要载体和导体,也是噪声的主要传入路径与直接辐射声源,一直以来被看作工程结构振动控制领域里的主要减振对象,需要其具备高比刚度的同时还兼具减振降噪功能。

基于传统减振方法的不足[9],近年来,人们提出应用超构材料带隙的减振思路,即把板设计成超板(metamaterial plate)[9-20],通过对其关键子结构的巧妙设计,使其具有自然板不具备的全新物理性质——振动带隙特性,目前已有大量新型结构提出,归纳起来主要有两种:一种为通过在周期性开孔板中填充软材料[12],或在板面上周期性布置各种吸振器[10,11,13-14,16-17],或在基板中阵列各种压电材料[18-20]而形成的单面型超板;另一种为通过在双层板间周期性布置由软硬材料构成的振子而形成的双面型超板[15]。然而,这类方法只适用于薄板类结构,无法对厚板类结构进行减振设计,即在保持厚板结构高刚度的同时尽量减小结构质量,使其形成低宽频振动带隙物理特性。

因此,如何解决轻质高刚度厚尺寸板结构在低宽频范围内的振动控制问题,仍然是目前工程振动控制领域里急需突破的一项关键技术。

夹芯板作为一种周期复合结构,原理如图1所示,具有天然的轻质、高刚度、尺寸较厚等结构特点,却不具备全新的振动带隙特性。

图1 夹芯板

是否存在一种新型板,不仅具有夹芯结构的高比刚度等结构特性,同时还具有超结构的带隙特性,即在满足质轻、刚度高、尺度厚等结构特点的同时,还能形成低宽频振动带隙,实现高比刚度、厚尺度和低宽频减振三者的统一。

本文基于超结构理论,结合夹芯结构概念,提出了夹芯设计减振超结构的思想和方法:将超材料/结构概念引入夹芯板中,通过构建夹芯周期基板(夹芯板)和夹芯振子的方法,获得一种新型减振板——超结构夹芯板/夹芯型超板(本文统称为夹芯型超板);基于此,通过设计一种夹芯型超板结构,在对其带隙特性和形成机理研究的基础上,提出夹芯型超板结构低宽频振动带隙的形成机理,寻求一种带隙调节方法,以便获得能满足工程实际需要的各种低宽频带隙。该研究可为超构材料在工程实际减振中的应用提供方法突破,为厚板类结构的低频减振提供新思路和方法。

1 理论模型及能带计算方法

基于夹芯设计思想,设计了一种夹芯型超板,该结构的形成原理如图2所示,其中图2a表示夹芯型超板形貌,夹芯型超板是在夹芯型周期基板空腔中周期性地填入夹芯型振子而成;图2b表示夹芯型超板的超单元示意图(剖视图);图2c表示夹芯型周期基板,图2d表示夹芯型周期基板夹芯基单元的形成过程,图2e表示夹芯型振子的形成过程。

图2 夹芯型超板结构及其形成原理

夹芯型周期基板由夹芯基单元沿x、y方向通过周期性阵列而成,结构原理如图2c所示,其结构由上下面板、周期性夹芯层及其形成的周期性空腔组成。夹芯基单元由基面板夹基芯构成,结构形成过程原理如图2d所示,其中基面板为开孔薄板结构,其厚度为e,边长为a,孔径为D;基芯可为蜂窝结构、泡沫结构甚至点阵结构,为方便分析,该结构中采用薄壁圆柱管结构,沿长度方向具有较大刚度,起支撑加强作用,其内外径分别为d1和d2,高为h。相比薄壁板/管构件,由开孔基面板夹圆柱管基芯组成的夹芯基单元沿单元厚度方向具有较高刚度;同时,构成夹芯型周期基板的开孔型面板和圆柱管型基芯均为薄壁构件,如壁板厚度可小至1 mm及以下,但形成的夹芯型周期基板其板厚却相对较大,板厚度可为1cm及以上,于是形成了典型的小尺度/薄壁结构构建大尺度/厚壁结构。因此,通过周期性阵列夹芯基单元构建的夹芯型周期基板为一种夹芯板,具有比刚度高等结构特点。该结构可通过3D打印成型,所打印的环氧树脂样板如图3所示。

图3 基于3D打印的夹芯型周期基板(5×10)

夹芯型振子单元由2层轻质弹性面膜夹住夹芯柱而成,结构形成过程原理如图2e所示,夹芯柱又由轻质弹性表柱A和夹芯柱B构成,其中弹性面膜相当于弹簧(刚度为k1),其直径为d,厚度为e;表柱A和夹芯柱B的直径同为d,高分别为hA和hB,且分别由轻质弹性材料和高密度材料组成,因此构成的夹芯型振子等价于一个兼具串并联特性的等效质量弹簧系统,其中表柱A相当于弹簧(刚度为k2),与弹性面膜相互串联形成串联弹簧,夹芯柱B相当于块(质量为m)。该振子结构可通过3D打印成型,所打印的样件如图4所示,其中弹性面膜和表柱A用8400N软胶打印,夹芯柱B用316L钢打印,二者粘接成型。

图4 基于3D打印的夹芯振子样件

综上所述,夹芯型超板是由超单元沿x、y方向周期性阵列而成,其中超单元是将夹芯型振子装配于夹芯基单元空腔中形成,夹芯柱悬空于夹芯基单元的空腔内,超单元边长(晶格常数)为a。3D打印的夹芯型超板样件如图5所示。

图5 基于3D打印的夹芯型超板样件(1×10)

基于周期性理论[2],以如图2b所示的超单元为研究对象,采用有限元方法计算夹芯型超板的能带结构和超单元的振动位移云图,在分析其带隙特性基础上,提出并阐明夹芯型超板中振动带隙的形成机理。计算过程中,在超单元周期方向施加布洛赫周期性边界条件

ui(x+a,y+a)=ei(kxa+kya)ui(x,y)

i=x,y,z

(1)

式中:u表示位移;kx与ky分别表示第一布里渊区内周期性波矢。当波矢沿着第一不可约布里渊区的边界方向进行扫描时,通过计算各个波矢下结构的固有频率和固有振型,最终可得到夹芯型超板的能带结构图和超单元的模态位移云图。

为了进一步说明夹芯型超板的带隙机理,采用有限元方法计算了由6×6个超单元沿xoy平面组成的有限夹芯型超板结构振动传输谱,在结构一端施加加速度激励信号,从另一端拾取加速度响应信号,并通过式(2)得到有限结构的传输谱

TL=10log(αo/αi)

(2)

式中:αo和αi表示输出与输入加速度。依次改变激励频率最终得到夹芯型超板的振动传输谱。

2 带隙特性分析

选取超单元参数为10 mm(超单元的长宽高均为10 mm),基面板厚e为1 mm,开孔直径为7 mm,圆柱管基芯壁厚为0.5 mm,内径为8.25 mm,高为8 mm,弹性面膜厚为1 mm,直径为7 mm,表柱A直径为5 mm,高为2.5 mm,夹芯柱B直径为5 mm,高为3 mm。结构中面板和圆柱管基芯采用环氧树脂,面膜和表柱A采用橡胶,夹芯柱B采用钢,材料参数如表1所示。

表1 结构材料参数

计算如图2b所示的一个超单元,得到夹芯型超板的能带结构,如图6所示。从能带结构中可以看出:在0～500 Hz频率范围内,能带主要由结构纵向振动模式形成的面内波能带、横向振动模式形成的面外波能带和局域共振模式形成的平直能带3种能带组成,说明夹芯型周期基板中可形成面内和面外两种振动模式,其中,面内振动模式主要为夹芯型周期基板的纵向振动模式,如图6c中能带S2的振动模式为夹芯型周期基板的纵向振动模式,面外振动模式主要为夹芯型周期基板的横向振动模式,如图6b中能带A2的振动模式,为夹芯型周期基板的横向振动模式;局域共振模式主要为夹芯振子的振动模式,包括:可以和夹芯型周期基板振动模式耦合的局域振动模式,如图6中能带S1、A1的振动模式;不能跟夹芯型周期基板振动模式耦合的振动模式,如图6中形成平直能带的振子振动模式。

(a)完全带隙 (b)面外子带隙 (c)面内子带隙

夹芯型周期基板和夹芯振子的两种振动模式依据模态叠加原理,在主导系统主模态的过程中相互耦合,耦合过程中夹芯振子的振动模式通过抑制夹芯型周期基板主模态,使得夹芯型超板中产生了只能抑制面外波的面外子带隙和只能抑制面内波的面内子带隙两种带隙,分别如图6b中绿色区域和图6c中黄色区域所示,两种子带隙叠加形成完全带隙,如图6a中红色区域所示,带隙内夹芯型超板中的所有振动模式均被抑制。

图6b中,由夹芯型周期基板的面外振动模式A2与振子的局域共振模式A1相互耦合而成的面外子带隙,其频率范围为171～445 Hz,带宽为274 Hz;图6c中,由夹芯型周期基板的面内振动模式S2与振子的局域共振模式S1相互耦合而成的面内子带隙其频率范围为143～296 Hz,带宽为153 Hz;图6a中,由面内和面外子带隙相互叠加形成的完全带隙,其频率范围为171～296 Hz,带宽为125 Hz。

为了说明本文新型超板形成的带隙为低宽频特性,采用有限元法计算了具有相同几何尺寸和材料参数的夹芯型周期基板和非夹芯型超板(单层超板)的能带结构,其中非夹芯型超板由振子填充于周期性开孔板(厚板)中构成,三者的能带结构如图7所示。

(a)夹芯型超板 (b)夹芯型周期板 (c)非夹芯型超板

3种板结构带隙的带宽特性对比结果如表2所示。

表2 3种结构带宽比较

由表2可以看出,在500 Hz频率范围内,夹芯型周期基板中无带隙产生;非夹芯型超板中虽有带隙出现,但带宽较窄,完全带隙带宽仅为18 Hz,同时板质量相对较大;而夹芯型超板形成的完全带隙带宽为125 Hz,相比非夹芯型超板,带隙被扩大了近7倍。因而说明提出的夹芯型超板具有质轻、刚度高和低宽频振动带隙特性。

3 低宽频振动带隙形成机理

为了进一步研究夹芯型超板中低宽频振动带隙的形成机理,提取了面外子带隙和面内子带隙上下边界能带对应的超单元振动模式A1、S1和A2、S2,以分析揭示其低宽频振动带隙的形成过程机理。

夹芯型超板中面外子带隙上下边界对应的超单元振动模式如图8所示,其中带隙下边界能带对应的超单元振动模式如图8a所示,带隙上边界能带对应的超单元振动模式如图8c所示,将超单元的两种振动模式进行等效,得到其等效理论模型如图8b所示,其中夹芯基单元的等效质量用M表示,夹芯振子的等效质量(芯柱B质量)用m表示,由于夹芯振子为一串并联混合等效弹簧,即轻质弹性面膜与轻质弹性表柱A相互串联,各自的等效刚度分别为k1和k2,如图2e所示,于是芯柱B两端的夹芯振子部分等效刚度k均为

(a)下边界模式 (b)理论模型 (c)上边界模式

(3)

夹芯振子的总刚度K为

(4)

当横向振动激励夹芯型超板,夹芯型周期基板的板波模式A2被激活放大成为基板的主模态,表现为基单元沿z方向振动,如图8c所示,此时夹芯振子处于静止状态,夹芯型周期基板的波模式主导夹芯型超板的响应,于是横向波可按该模式在夹芯型超板中传播,无面外子带隙形成;当激励频率接近夹芯振子固有频率时,夹芯振子的振动模式A1被激活放大成为振子主模态,表现为夹芯振子沿z方向振动,如图8a所示,此时夹芯基单元处于静止状态,夹芯振子的振动模式主导振子的响应,与夹芯周期基板的振动模式耦合,通过给夹芯型周期基板一个反作用力,抑制了其沿z方向的振动模式,致使夹芯型周期基板中波传播模式消失,此时横波无法在夹芯型超板中传播,形成面外带隙。

夹芯振子沿着垂直方向(z向)振动时,通过轻质弹性圆膜给夹芯基单元作用力,也称耦合力,其计算公式为

(5)

式中:|A1|为夹芯振子的主模态位移,属于系统固有特性。因此,夹芯振子与基板的耦合力大小主要取决于夹芯振子的等效刚度。由于芯柱B两端的振子并联组成夹芯振子,通过添加轻质弹性表柱A使得系数k2增大,于是夹芯振子的总刚度增大,致使耦合力变大,形成宽频带隙。横向带隙的打开位置由夹芯振子的固有频率f确定,f的计算公式如下

(6)

由于芯柱B两端的振子各自串联,因此通过添加轻质弹性面膜使得系数k1减小,于是夹芯振子的总刚度减弱,致使夹芯振子的固有频率变小,形成低频带隙。

为了进一步说明该振动子带隙的形成机理,给一个在xoy平面内由6×6超单元组成的夹芯型超板一端施加沿板厚方向的振动激励,在另一端A、B处分别测量其响应。计算该结构在500 Hz频率范围内的振动传输特性,结果如图9所示。

图9 夹芯型超板的振动传输特性

结合传输特性图提取激励频率在带隙内(图9中绿色区域)超板中振动传播的可视化过程,如图10所示。可以看出:超板中夹芯型周期基板基本保持静止,夹芯振子沿z方向振动,吸收耗散了激励能量,使得带隙频率范围内的振动在有限超板中传播时发生了衰减。

图10 带隙频率范围内的面外激励传输过程

同理,提取激励频率在带隙外时超板中振动传播的可视化过程,如图11所示。可以看出:超板中夹芯振子基本不动,而夹芯型周期基板作为一等效板则按其模态振型进行振动,即输入的振动能量激发夹芯型周期基板的模态,致使基板按振型发生弯曲振动,激励可在夹芯型超板中传播。这进一步说明夹芯型超板中振动带隙的形成是由夹芯振子与夹芯型周期基板的耦合而引起,可对振动进行有效衰减。由图11还可以看出:结构不同面板的减振特性基本一致,即A、B处振动传输特性相同;该结构在提取频率范围内具有较好减振效果。

图11 带隙频率范围外的面外激励结构传输过程

同理,提取的面内带隙上下边界对应的超单元振动模式如图12所示,其中带隙下边界能带对应的超单元振动模式如图12a所示,上边界能带对应的超单元振动模式如图12c所示。将两种振动模式进行等效,得等效理论模型如图12b所示,相比面外带隙形成时夹芯振子等效模型,该模型(质量-弹簧系统)中等效质量以及弹簧连接形式均不变,但在夹芯振子振动过程中,轻质弹性面膜以纵向振动为主,同时轻质弹性表柱A未有效参与振子振动,于是夹芯振子的等效刚度变小,致使面外子带隙打开位置降至更低,同时其带宽变窄。

(a)下边界模式 (b)理论模型 (c)上边界模式

当纵向振动激励夹芯型超板,夹芯型周期基板的板波模式S2被激活放大成为基板主模态,表现为基单元在xoy平面内振动,如图12c所示,此时夹芯振子处于相对静止状态,夹芯型周期基板的波模式主导超板响应,此时纵向波可按该模式在夹芯型超板中传播,无面内子带隙形成;当激励频率接近夹芯振子固有频率时,夹芯振子的振动模式S1被激活放大成为振子主模态,表现为夹芯振子在xoy平面内振动,如图12a所示,此时夹芯基单元处于静止状态,夹芯振子的振动模式主导振子响应,给夹芯型周期基板反作用力,抑制其沿xoy平面内的振动模式,致使夹芯型周期基板中波传播模式消失,此时纵波无法在夹芯型超板中传播,形成面内带隙。

以上对夹芯型超板的理论模型、振动带隙特性及其形成机理进行了说明和理论分析,为了进一步说明其减振特性,对图5制备的两种样品的结构减振性能进行了实验测试,测试中通过柔索将样品自由悬挂,采用脉冲力锤对样品一端沿着板厚方向激励,安装在另一端的加速度传感器采集振动输出信号,信号经过测试系统进行数据采集、分析和处理,最终得到样品的振动传输特性,结果分别如图13和图14所示。从图13可以看出,树脂夹芯型超板的振动传输特性曲线在0～500 Hz 频率范围内与图9仿真结果大体一致,即整个带宽内基本均存在衰减,由于测试样品中各个零部件通过粘接装配,结合面处的刚度略有不同,导致仿真和实验结果出现差异。比较图13和14可以看出,由两种不同材料打印的夹芯型超板,对低宽频范围内的振动均能衰减,说明减振特性主要依赖于结构形式,因此提出的夹芯型超板结构具有较好的低宽频减振特性。

图13 树脂夹芯型超板的振动传输特性

图14 钢夹芯型超板的振动传输特性

4 带隙特性的影响规律

通过上述分析可知,夹芯振子是决定带隙特性的主要因素,其固有频率不仅决定着带隙的打开位置,其刚度也间接决定着带隙宽度,于是,通过进一步研究夹芯振子对带隙的影响规律进而提出带隙的调节方法。由于夹芯振子由轻质弹性面膜夹夹芯柱构成,夹芯柱又由轻质弹性表柱A夹芯柱B构成,因此分别以轻质弹性面膜与夹芯柱直径之比D/d和芯柱B与表柱A直径之比dB/dA为参数研究夹芯振子对带隙的影响,获得夹芯型振子对带隙特性的影响规律如图15～图18所示。

图15 芯柱与表柱直径之比dB/dA对面内带隙的影响规律

从图15和图16中可以看出,当芯柱B与表柱A直径之比dB/dA从1逐渐变化至2.5时,夹芯振子变轻,致使夹芯型超板比刚度趋于更大,同时面内带隙和面外带隙的打开位置逐渐降低至更低频,带宽却逐渐变窄,因此,通过调节夹芯柱结构中芯柱与表柱的尺寸关系,可获得目标带隙和结构特性。

图16 芯柱与表柱直径之比dB/dA对面外带隙的影响规律

从图17和图18中可以看出,当轻质弹性面膜与夹芯柱直径之比D/d从1.25逐渐变化至2.5时,夹芯振子变轻,致使夹芯型超板比刚度趋于更大,面内带隙和面外带隙的打开位置先降低,后升高,最后又回落至更低频,带宽却逐渐变窄。因此,当通过调节夹芯振子结构中轻质弹性面膜与夹芯柱的尺寸关系,可获得目标带隙。

图17 弹性面膜与夹芯柱直径之比D/d对面内带隙的影响规律

图18 弹性面膜与夹芯柱直径之比D/d对面外带隙的影响规律

5 结论

基于周期结构带隙理论和夹芯结构概念,提出了夹芯设计减振超结构思想和方法,获得了一种新型减振板——夹芯型超板,通过研究得出如下结论:

(1)通过周期夹芯方法构建的夹芯型周期基板,具有夹芯板的高比刚度等结构优点,同时基板中亦可形成面内和面外两种振动模式,该基板可构建各种具有高比刚度特性的超板;

(2)通过夹芯方法构建的夹芯振子,其刚度具有串并联特点,以其为振子,可构建具有低宽频带隙特性的超板;

(3)由具有高比刚度的厚尺度夹芯型周期基板和具有优异刚度特性的夹芯振子复合组成的夹芯型超板,不仅具有轻质、高刚度和厚尺寸的结构特点,还具有低宽频振动带隙物理特性;

(4)夹芯振子通过抑制夹芯型周期基板的主模态,使夹芯型超板中无波传播模式,形成带隙;夹芯振子的串并联刚度特点,可同时对带隙的位置和宽度进行调节,形成低宽频带隙;通过设计夹芯振子结构,可主动设计目标带隙。