解读“弹簧振子”模型

黎超雄

摘要：弹簧振子模型是一个理想化模型，也是教学中的难点。本文结合若干例题对弹簧振子的成立条件、受力特征、运动特征、能量特征进行了讨论。

关键词：弹簧振子；特征

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148(2009)4(S)-0078-2

弹簧振子是简谐运动的一个重要实例，是一个理想化模型。笔者在教学中发现很多同学在学习弹簧振子时，把握不住其要点，或对要点理解不深刻，在解此类题目时常常出错。笔者在教学中通过正确理解弹簧振子，注意以下几个方面的教学，取得了较好的效果。

1 理解振子的成立条件

弹簧振子是由一根可认为质量为零的弹簧和一个有孔的振子小球组成的。振子小球穿在一水平光滑杆上，可以在杆上滑动，振子在运动中没有任何摩擦和介质阻力，如图1所示。在实际情况下其成立条件可概括为：①弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略弹簧的质量；②杆光滑，忽略摩擦和介质阻力；③受回复力作用（回复力为弹力T）。满足以上三个条件的系统称为弹簧振子。

2 理解振子的受力特征

振子小球在振动过程中受竖直向下的重力mg、竖直向上的支持力F璑和水平方向的弹力T三个力的作用，重力和支持力相互平衡，回复力由弹簧的弹力提供，即F=-kx。此式表明振子小球所受的回复力的大小跟振动中的位移x成正比，方向始终与位移方向相反，总是指向平衡位置，此回复力是周期性变化的，如图1 所示。

例1 图2为一水平放置，在水平方向振动的弹簧振子的振动图象，由此可知（ ）。

A.在t₁时刻，振子的速度最大，所受的弹力最大

B.在t₂时刻，振子的速度最大，所受的弹力最小

C.在t₃时刻，振子的速度最大，所受的弹力最小

D.在t₄时刻，振子的速度最大，所受的弹力最大

解析 由图2知，在t₁和t₃时刻，振子分别处于正向最大位移和负向最大位移，速度为零，弹簧形变最大，振子所受弹力最大。由图2知，在t₂和t₄时刻，振子处于平衡位置，速度最大，弹簧无形变，振子所受弹力最小，故选项B正确。

点评 弹簧振子振动过程中，回复力由弹簧的弹力提供，回复力的大小随位移的增大而增大，随位移的减小而减小；速度的大小随位移的增大而减小，随位移的减小而增大。

3 理解振子的运动特征

(1)位移特点：位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，是矢量，其方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。振子在两端点A、A′时位移最大，在平衡位置O点时位移为零，振子通过平衡位置位移方向改变，如图1所示。但要注意，振子位移与直线运动中的位移含义不同。

(2)速度特点：速度是描述振子在平衡位置附近运动快慢的物理量。在建立的坐标轴上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。应该明确速度与位移是彼此独立的物理量。如振子通过同一位置，它的位移的大小是一定的，而其速度方向却有两种：指向或背离平衡位置。振子在两端点A、A′（最大位移处）时速度为零，在平衡位置O处速度最大，振子在最大位移处速度将改变方向，如图1所示。

(4)运动性质特点：由于简谐运动的回复力是变力，所以振子的运动性质是变加速运动，不是匀变速运动。如图1所示，在A→O过程中，振子做加速度减小的变加速运动；在O→A′ 过程中，振子做加速度增大的变减速运动；在A′→O过程中，振子做加速度减小的变加速运动；在O→A过程中，振子做加速度增大的变减速运动。

例2 一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是（ ）。

A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值

B.振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大

C.振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同

D.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

解析 因为弹簧振子的位移是以平衡位置O为起点的，设向右为正方向，则当振子在OA段时，位移为正，在OA′段时，位移为负，可见振子由O向A′运动时其位移为负，速度也为负，所以选项A错误。振子在平衡位置O时，回复力为零，加速度为零，但速度最大，所以B错误。振子在平衡位置O时，速度方向是不同的（可正可负），所以选项C错误。由a=-kmx可知，x相同时，加速度相同，但振子在该点的速度方向可向右也可向左，所以选项D正确。

点评 分析振动过程中物理量的变化关系时，应以位移为桥梁进行分析，即位移增大时，回复力、加速度均增大，速度减小；位移减小时，回复力、加速度均减小，速度增大。速度在位移最大处改变方向；位移、回复力、加速度均在平衡位置处改变方向。

4 理解振子的能量特征

弹簧振子做简谐运动，振动过程是一个动能和势能不断相互转化的过程，在任意时刻动能和势能之和等于振动物体的机械能。在没有损耗时，振动过程中机械能守恒，振动物体的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振子的能量越大。

例3 如图3所示为某一个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知（ ）。

A.在1s时由于位移为零，所以振动能量为零

B.在2s时振子具有最大势能

C.在3.5s时具有的能量尚未达到最大值

D.在4s时振子的动能最大

解析 在1s时振子位移为零，但速度最大，动能最大，振动能量不为零，所以选项A错误。在2s时振子位移最大，势能最大，所以选项B正确。做简谐运动的弹簧振子，机械能守恒，在任意时刻机械能相等，所以选项C错误。在4s时振子位移最大，动能为零，所以选项D错误。

点评 弹簧振子振动过程中机械能守恒，动能与势能相互转化，可以以位移作为联系的桥梁，即势能随位移的增大而增大，动能随位移的增大而减小；势能随位移的减小而减小，动能随位移的减小而增大。

(栏目编辑张正严)