负刚度非线性系统的回复力曲面参数辨识方法

胡方圆，刘清华，曹军义，张颖

(西安交通大学现代设计及转子轴承系统教育部重点实验室，710049，西安)

近几年,负刚度结构成为了振动控制和能量俘获领域的研究热点[1]。随着高精密领域对振动控制技术的要求逐渐提高,许多学者把负刚度装置运用到隔振和能量俘获领域中,并取得了显著效果。其中,系统非线性回复力最直接反映系统的非线性特性,对系统的动力学特性的研究有很大价值。目前,国内外学者获取负刚度隔振器或俘能器等强非线性系统的非线性回复力,通常基于解析计算[2-3]、磁场仿真[4-5]或测量[6-7],再利用哈密顿原理进行系统的力学方程正向建模。此方法计算繁琐、精度不高且仅适用于理想的装配环境,尤其是会受到实验平台搭建后装配条件影响,导致了非线性回复力很难精确表征。

因此,基于实验测量的输入、输出数据进行非线性回复力(NRF)的逆向建模十分必要。Malatkar等利用频谱分析辨识含立方刚度与平方刚度的非线性悬臂板系统[8];Vakakis等通过波特图及奈奎斯特图区分刚度非线性和阻尼非线性[9];Chatterjee等利用Volterra级数实现多项式非线性类别辨识[10];Bendat等用回复力曲面(RFS)直观地判断机械系统中常见的几种单自由度非线性特征[11];Gondhalekar等建立了非线性频域回复力曲线库,实现了单自由度和多自由系统非线性类别辨识[12];Marchesiello等提出了一种子空间辨识算法来辨识三次刚度和间隙性非线性振子的回复力[13]。

非参数辨识法无需预先确定NRF的形式,在系统辨识的过程中得到广泛的应用。Anastasio等利用实验RFS来描述双稳态振子的刚度和阻尼力[14]。Feldman和Cohen等提出一种基于非平稳信号振动分解的希尔伯特变换识别方法,用于识别双稳态电磁能量俘获装置的NRF[15-16]。但是,这些方法在只能从实验中得到位移数据的情况下对噪声很敏感,难以获得非稳态点附近的刚度力和保证辨识精度。

RFS法是直接利用实验手段获得系统模型中的参数,无需事先确定NRF形式的纯粹时域非参数辨识方法。通过滤波或数据前处理可以减少噪声干扰,构造出真实的三维力-速度-位移曲面,可直观地分析出系统的非线性特性。该方法最初由Masri和Caughey[17-18]提出,并经Crawley等[19]加以发展和利用。其中,Kerschen等用RFS法实现了VTT Benchmark系统刚度曲线和阻尼曲线的识别研究[20]。Sun等利用RFS法识别螺栓组合梁结合部的刚度及阻尼特性参数[21]。Anastasio等基于RFS法成功解决了负刚度隔振器中摩擦的非线性辨识问题,辨识出系统的刚度回复力和阻尼回复力[22]。Worden等用RFS法识别在仿真计算和实验两种情况下分段线性的悬臂梁刚度[23],理论和实验结果吻合较好。事实证明,RFS法可以很好地解决没有确切解析表达式的非线性系统辨识问题。

RFS法的关键是需要通过实验测量同时得到加速度、速度和位移。然而,由于实验噪声或者对实验数据的积分和微分处理不恰当会导致相位失真,从而导致回复力面杂乱,拟合出的系统参数出现较大的辨识误差。为解决这个问题,需要选择有效的数据处理方法,Worden等针对地震数据,对RFS法中积分和微分两种数据处理方法进行评估及优缺点的对比[24]。Jiang等将RFS法应用于颗粒阻尼器的研究,选择数值积分作为数据前处理的方法[25]。但是,以上研究都对测得的加速度信号进行数值积分,会出现干扰趋势项使信号偏移,而数值微分可以有效避免这种情况出现。目前,基于对测量位移进行微分处理且用于多稳态负刚度振子回复力辨识的RFS法还未做过系统研究。

本文基于RFS法,提出一种负刚度系统非线性回复力的辨识方法。首先提出4种不同磁力耦合多稳态负刚度振子回复力的构造方法,基于RFS法的辨识原理,对比研究位移微分和加速度积分的RFS数据处理方法,对4种类型多稳态振子进行仿真研究,分析刚度力和阻尼力的辨识精度。搭建实验台,对不同加速度水平下的多稳态振子进行扫频实验,建立多稳态振子的回复力模型的表面,验证RFS法对辨识负刚度非线性振子的有效性和准确性。

1 多稳态悬臂梁非线性回复力建模

为实现对称和非对称多稳态悬臂梁结构,通常采用外部磁铁耦合的方法[4-5],且靠近悬臂梁末端对称布置两块可旋转磁铁。由于磁力的相互作用会改变悬臂梁的稳态特性,当两块磁铁旋转角度不一样时会形成图1所示的不对称多稳态结构。本文采用多稳态磁耦合悬臂梁进行研究分析。

(a)对称双稳态 (b)不对称双稳态 (c)对称三稳态 (d)不对称三稳态

实践经验表明,非线性回复力是磁场力和线性回复力共同作用产生的,则非线性回复力Fr表示为

(1)

式中:K为悬臂梁线的等效刚度;p为非线性项个数;L表示0、1或-1;k为各非线性项系数;u为悬臂梁末端位移。

为了探究4种典型多稳态悬臂梁的回复力方程,需要这4种结构最简单的回复力表征形式。当回复力方程中p=3时,便可以构造出双稳态悬臂梁,此时非线性回复力为

Fbi=(K+L1k1)u+L2k2u2+L3k3u3

(2)

非线性势能函数包括两个稳定平衡点(势阱)和一个不稳定平衡点(势垒),其中偶次项系数决定了系统是否不对称,若为零则完全对称,该函数为回复力在位移上的积分如下

(3)

当回复力方程中p=5时,非线性回复力方程为

Ftri=(K+L1k1)u+L2k2u2+L3k3u3+

L4k4u4+L5k5u5

(4)

非线性势能函数有3个稳定平衡点(势阱)和两个不稳定平衡点(势垒),回复力中偶数项次数决定了系统不对称,表示如下

(5)

实践中,不会先确定非线性回复力各项系数后再设计一个多稳态结构,这也是需要辨识的内容。但是,可以先确定稳态点位置和不稳定点位置,再选取合理的K+L1k1范围设计多稳态结构,这里定义K+L1k1为主刚度项系数。

对于双稳态结构,通常设不稳定平衡点u2为零作为一个基准,其余两项非线性系数为

L4k3=(K+L1k1)/u1u3;L2k2=-L3k3(u1+u3)

(6)

对于三稳态结构,若将3个稳定平衡点位置u1、u3、u5和两个不稳定平衡点位置u2、u4(u3通常设为0)作为基准,其余4项非线性系数可表达为

(7)

2 非参数辨识原理

2.1 RFS法辨识原理

RFS法是一个仅在少量系统结构信息下,利用时域信号进行系统辨识的方法。其原理是从悬臂梁的时域响应轨迹中构造出力、速度和位移的三维数据。从力-位移截面得到刚度力曲线,从力-速度截面得到阻尼力曲线,NRF的系数可以通过最小二乘拟合得到。RFS能够通过三维曲面直观地看出系统的动力学特性,真实地表征NRF。

对于一非线性单自由度系统,根据牛顿第二定理有

(8)

根据哈密顿原理,具有磁耦合的多稳态悬臂梁的集中参数模型如下

(9)

式中:C为悬臂梁等效黏性阻尼。实验中,磁力耦合非线性悬臂梁系统的M和激励f(t)为已知量,加速度和速度可通过数值微分计算得到,那么将式(7)(8)进行变换,依据采样定理,以Δt为时间间隔,采样的ti=(i-1)Δt表示第i个采样时间点,那么在时间点i上有

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:c=(c0,…,cn)T。

同样地,利用阻尼曲线可以得到回复力曲面在x=0处的剖面曲线。对这条曲线进行多项式拟合,可以得到阻尼力曲线的表达式如下

(14)

(15)

2.2 数据处理

RFS的关键问题是必须同时得到每个采样点的位移、速度和加速度,然而要通过实验同时测量这3个量又是不现实的,目前有多种方法来解决这个问题,其中最直接的两种方法为时域上的数值积分和数值微分。根据采样定理,做微分或者是积分运算要求时间域数据要足够多,采样的频率要足够高,所以采样频率应至少为最高频率的10倍以上。

2.2.1 时域上的数值积分 数值积分的方法有Trapezium公式、Simpson公式、Tick公式等。Trapezium公式的具体形式如下

(16)

(17)

式中:A、B都为常数。

Simpson公式如下

(18)

Tick公式如下

(19)

因为在计算积分达到相同精度的情况下,Trapezium公式计算量少,计算过程简单,计算速度更快。所以本文用Trapezium公式对一个微分方程的实例进行验证

(20)

(a)速度

图3 时域数值积分下得到的回复力曲面

仍用上文中的例子,再次利用Trapezium公式进行两次积分运算,得到速度和位移的真实值与估计值,如图4所示。这时,速度真实值和估计值之间的均方根误差为0.278 9%,而位移的真实值和估计值之间的均方根误差为6.322 4%。从图5可以看出系统是线性的,尤其是位移的真实值和积分值的比较,移除趋势项后的估计值准确性提高了很多。

(a)速度

图5 去趋势项后时域数值积分下得到的回复力曲面

2.2.2 时域上的数值微分 实验中,如果得到的是位移信号或者是速度信号,那么就要对其做数值微分计算。数值微分计算有多种公式,这里介绍3、5、7数值点微分公式。3数值点微分公式

(21)

5数值点微分公式

(22)

7数值点微分公式

50(yi+1-yi-1)]/60Δt

(23)

(a)速度

图7 时域数值微分下得到的回复力曲面

因为时域积分对测得的加速度信号直接进行积分会出现干扰趋势项,需要拟合趋势项以去除信号偏移,并且因为安装要求无法准确测量悬臂梁的加速度,所以通过测量位移信号,采用7数值点微分公式进行数值微分,完成回复力曲面的绘制。因为本节通过一个线性微分方程对传统的回复力曲面法进行验证,对回复力曲面做了处理,将速度和位移线性映射到[-1,1]区域,能更加直观对比。对于多稳态系统,将曲面投影至xoy坐标无法直观地看出系统的非线性特性,所以将直接在三维空间表征RFS。

3 仿真分析

根据第2节原理,构造出4种不同类型的负刚度悬臂梁。对4种类型多稳态振子进行仿真研究,分析刚度回复力和阻尼回复力的辨识精度。表1列出了4种不同类型的振子的参数。

表1 4种不同类型负刚度悬臂梁的参数

根据上文需给出梁的等效刚度K和非线性磁力的一阶多项式系数。选取K为112 N/m,非线性刚度系数k1为-180～-60 N/m,如图8所示,k1可以确定双稳态或三稳态振子的势阱深度。仿真中,考虑了对称双稳态和非对称双稳态悬臂梁的k1=-120 N/m,对称三稳态和不对称三稳态悬臂梁的k1=-100 N/m,悬臂梁的等效质量M和黏滞阻尼C分别为0.006 kg和0.01 N·s/m。

(a)对称双稳态

表2为依据稳态点和主刚度项系数构造的4种类型的NRF方程。

表2 4种类型的NRF方程

值得注意的是,双稳态和三稳态悬臂梁可以表现为势阱间振荡或势阱内振荡,识别数据集的选择尤为重要。数值算例表明,选择的输出位移信号必须同时包含势阱间振荡和势阱内振荡。本文选取恒激励加速度的扫频信号,保证输入激励力幅值恒定。得到悬臂梁的位移,通过微分得到速度和加速度,构造出力、速度、位移的三维点,用Grawley-O’Donnel法将这些点通过插值,绘制成象限上的连续曲面得到RFS,如图9所示。从RFS图中能够直观的观测系统的非线性特性及稳态点位置,说明数值微分方法能够可靠地从测量位移中估计到速度和加速度的值,从而完成系统RFS的精准绘制。通过截面法得到,系统刚度回复力曲线和阻尼回复力曲线见图10。从刚度回复力曲线可以看出系统的负刚度稳态特性及其稳态点位置,从阻尼曲线可看出系统的阻尼是线性的。用最小二乘法对回复力参数进行辨识,结果见表3,RFS辨识得到的刚度回复力曲线的辨识精度大于95%,辨识得到的阻尼回复力曲线的误差不超过5%,辨识结果和仿真值吻合度高,说明回复力曲面法对磁力耦合多稳态非线性悬臂梁系统辨识的精确性和有效性。

(a)对称双稳态

(a)对称双稳态刚度力曲线

表3 4种典型负刚度非线性振子回复力参数辨识结果

4 实验验证

为验证计算方法和非线性回复力辨识精度,搭建了如图11所示的实验系统。系统是由信号发生器(VT-9002-1)和功率放大器(YE5874A)控制的激振器(JZK-50)在恒定频率和扫频激励下建立的。用位移传感器(HL-G112-A-C5)测量悬臂梁响应的绝对位移,用示波器(TBS2000)采集实验数据。由于悬臂梁的内部应力、两个旋转磁铁的不均匀性以及安装条件等原因,很难实现完全对称,因此如果悬臂梁两个稳态点的位置相对于中心位置的误差小于5%,则视为对称。

图11 实验系统组成

4种不同类型的多稳态振子的稳态点位置如表4所示,它们是通过旋转磁体或改变磁体的相对位移来实现的,此外其他实验参数也列于表4。

表4 4种不同类型的多稳态悬臂梁的实验参数

根据第2节,RFS方法可用于系统回复力的辨识,包括刚度回复力和阻尼回复力。因此,对多稳态梁的位移响应进行了测量和处理,包括对采集位移信号的平滑处理和数值微分,以构建RFS。图12显示了对称双稳态悬臂梁系统的实验结果,不对称双稳态系统、对称三稳态系统及不对称三稳态系统实验结果如图13～15所示。从中可以看出,回复力曲面法能直观地展示实验数据的非线性特性,其中刚度回复力的拟合精度为97%以上,阻尼回复力的拟合精度为94%以上,所以通过刚度和阻尼函数的精确辨识,能够更加准确地显示系统的非线性特性。通过大量的仿真数据和实验数据集辨识结果可知,RFS的辨识精度很大程度上取决于数据的前处理。总之,辨识出的NRF与测量的RFS有很好的一致性,验证了RFS法对辨识负刚度非线性振子的有效性和准确性。

(a)测量位移数值微分结果

(a)测量位移数值微分结果

(a)测量位移数值微分结果

5 结 论

(a)测量位移数值微分结果

(1)对比分析了位移微分和加速度积分的数值处理方法,数值模拟结果表明,对时域数值积分进行趋势项去除后的精度能达到93%以上,对时域数值微分的精度能达到99%以上。所以,微分处理办法比积分处理办法更好,对位移数据的微分处理精度可达99%。

(2)基于RFS法的非参数辨识方法,辨识得磁耦合多稳态悬臂梁系统,数值模拟结果表明,通过对数据集中加入40、20和10 dB的高斯白噪声,在不同势阱下,刚度回复力和阻尼回复力的辨识精度都能保证95%以上。

(3)实验结果表明,识别结果与实测回复力面吻合很好,依据最小二乘法,在不同势阱下的刚度回复力拟合精度能保证在97%以上,阻尼回复力辨识精度能保证在94%以上,证明了回复力曲面法对辨识负刚度非线性振子的有效性和准确性。

(4)通过RFS法对实测数据进行绘制得到的三维回复力曲面,能够直观地看到系统的非线性特性及稳态位置。本文是RFS法在负刚度及多稳态非线性系统中的首次应用。

(5)负刚度结构的发展提高了能量俘获或振动控制能力,回复力曲面法可以将非线性回复力精准的表征出来,此研究结果为能量俘获及振动控制领域的非线性研究提供了一种可行的方法。