频域加权LQR控制器改进设计*

李 欣，张进秋

(1. 陆军装甲兵学院 车辆工程系， 北京 100072； 2. 中国人民解放军92578部队， 北京 100161)

在船舶隔振领域，为了抑制设备振动向船体传递，通常在设备与船体间安装各种类型的隔振装置，以降低振源传递到船体或其他隔振对象的振动[1-2]。这些传统隔振装置对于高频振动的隔离效果较好，但对低频段振动的抑制作用有限，而且船舶隔振普遍存在低频部分振动量级较大的问题。

振动主动控制技术可以使隔振系统较好地适应外界激励的变化，而且对低频振动抑制效果显著[3-4]，是当前振动控制领域的研究重点。振动主动控制的实现方法有多种[5-6]，其中，基于线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator, LQR)的方法是较为成熟的振动主动控制方法之一[7]，该方法通过对某些性能指标进行加权的方式，达到对某个特定频段的振动进行重点控制的目的[8]。黄兴惠等[9]在车辆悬架系统中采用了LQR方法，针对人体较为敏感频率范围内的振动实施了控制，取得了较好效果。王檑等[8]以卫星隔振平台为研究对象，设计了一种频域加权LQR控制器，通过对某些振动量级较大的频段进行加权，降低了卫星在该频段内的振动，且在其他频段没有恶化。受上述研究启发，本文在频域加权LQR控制器基础上，通过对LQR控制器滤波器的改进，提出了一种新型滤波器设计方法，其通过增大低频部分权重来增加低频控制力，进而提高振动控制效果。

1 隔振系统数学模型

基于电磁式准零刚度隔振器设计一个单层隔振系统，主动控制力作用于被隔振质量及基础之间，该隔振系统集中参数模型如图1所示。其中，电磁式准零刚度隔振器的刚度可以随着电流的变化而改变。

图1 隔振系统集中参数模型Fig.1 Lumped parameter model of vibration isolation system

1.1 标准LQR控制器设计

根据力学原理，模型运动微分方程为：

(1)

式中：z为垂向振动位移；m为系统总质量；c为系统阻尼系数；k为准零刚度隔振器线圈通电后的系统刚度；u为执行器产生的控制力；f为作用在系统上的扰动力。

(2)

为了利用较低的成本，即较小的控制力u，使原系统达到较好的性能指标，即受扰后的状态变量X(t)变化尽可能小，于是以控制力和状态变量的二次型函数的积分作为性能指标：

(3)

设控制力增益为Ke，则根据标准LQR控制器设计原则，最优控制力为如下形式[7]：

U=-KeX=-R-1BTPX

(4)

式中，P为如下Riccati方程的解:

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(5)

1.2 频域加权LQR控制器设计

根据Parseval定理[10]，将性能指标(3)改写为频域内的指标：

U*(jω)R(jω)U(jω)]dω

(6)

频域内加权相当于修改了对应频率下的状态变量权重。设定频域内的权系数矩阵和状态变量为如下形式：

Q(jω)=W*(jω)W(jω)

(7)

Xf=W(jω)X

(8)

利用直接分解法，方程(8)可写成状态方程形式：

(9)

其中，Af、Bf和Df是状态方程的系数矩阵。

(10)

将方程(7)和方程(8)代入方程(6)，得到如下形式：

U*(jω)R(jω)U(jω)]dω

(11)

结合方程(6)和方程(11)并根据Parseval定理可得增广系统时域内的性能指标为：

(12)

从上述推导过程可以看出，频域加权的实质是将原有的状态方程扩充为新的增广系统状态方程，矩阵的维度发生了变化。这一变化作用在特定的频域上，从而达到对特定频域控制性能改善的目的。基于改变后的增广系统状态方程，再次采用LQR求解最优控制力的方法离线求解新的增广系统状态方程下的最优控制力，方法和形式与方程(4)和方程(5)相同，不再赘述。

1.3 滤波器设计

方程(8)中的滤波器通常采用具有式(13)所示形式的带通滤波器。

(13)

式中：ω0为中心频率；ξ为决定带宽的因子；p为设计常数。

将标准的时域LQR控制器转换到频域，通过改变特定频率下的权重，可以改善对应频率下的振动控制效果。但是，当振源频率低于执行器的下限响应频率时，频域加权控制器由于没有覆盖边界外的频率，导致执行器输出力减小，控制效果变差。此时通过改变滤波器结构，可以达到增大低频部分权重，从而产生类似执行器输出补偿的效果，即增加执行器低频输出力性能。

本文对照高通、低通和带通滤波器结构，在原有频域加权滤波器的基础上进行了改进设计，通过引入待定参数，设计了一种新型滤波器，只需根据一定条件确定表达式中的待定参数，即可让改进后的滤波器在作用于特定频率的带通滤波器和作用于低频的低通滤波器之间转换。改进后的滤波器传递函数为：

(14)

式中，参数p=0或者p=2。当振源频率大于执行器下限响应频率时，p=0，此时设计的滤波器与通常的滤波器效果相同；当振源频率小于执行器下限频率时，p=2，此时设计的滤波器增大了低频部分权重。

2 数值仿真分析

现采用如图1所示的隔振系统模型仿真验证上述各种情况下的振动控制效果。假设执行器的频率下限为0.5 Hz，仿真分析过程中的选取参数见表1。

表1 仿真参数设置Tab.1 Simulation parameter setting

2.1 滤波器对比

当参数p改变时，设计的滤波器可以在类似带通的滤波器和针对低频隔振执行器输出补偿的滤波器之间切换。切换前后滤波器的幅频特性如图2所示。

(a) 切换前滤波器幅频特性(a) Amplitude frequency characteristics of filter before switching

(b) 切换后滤波器幅频特性(b) Amplitude frequency characteristics of filter after switching图2 滤波器幅频特性对比Fig.2 Comparison of filter amplitude frequency characteristics

从图2看出，切换前设计的滤波器幅频特性与带通滤波器幅频特性类似，0.5 Hz附近权重大；切换后的滤波器幅频特性表现为类似低通滤波器的特性，且低频部分整体权重均有所增加。这样的设计可以在执行器响应下限频率被突破后，显著增大相应的控制力，进而产生类似输出补偿的效果。

2.2 频域加权控制效果

当振源频率大于执行器下限频率时，参数p=0，此时滤波器可以看成带通滤波器。这时对采用带通滤波器构造的LQR控制器进行研究，并将其性能与标准LQR控制器进行对比，以分析频域加权的影响。仿真结果如图3所示。

(a) 加速度传递率(a) Acceleration transfer rate

(b) 振幅位移(b) Amplitude displacement

(c) 加速度幅值(c) Acceleration amplitude

(d) 控制力(d) Control force

(e) 加速度功率谱密度(e) Acceleration power spectral density图3 频域加权后的控制效果Fig.3 Effect of frequency-shaping control

从图3可以看出，频域加权后的LQR控制器性能更好。具体来看，被隔振物体位移(图3(b))、加速度(图3(c))以及加速度功率谱密度(图3(e))结果中，重构后的时域LQR控制器相比标准LQR控制器，幅值均有所减小。通过图3(d)可以看出，实现这一效果的原因是增大了控制力，即重构后的LQR控制器相比标准的LQR控制器权重系数发生了改变，使控制力增大，从而得到较好的控制效果。量化后的加速度均方根值结果见表2。

表2 频域加权控制下加速度均方根值对比Tab.2 Comparison of root mean square value of acceleration under frequency domain weighted control

2.3 低频补偿控制效果

当振源频率小于执行器下限频率时，p=2，此时滤波器切换为类似的低通滤波器，低频部分权重显著增加。对切换后的LQR控制器进行研究，将其性能与切换前LQR控制器进行对比，以分析改进后的LQR控制器性能。仿真结果如图4所示。

从图4可以看出，滤波器切换后的LQR控制器相比标准LQR控制器以及切换前的LQR控制器性能更好。承载质量位移(图4(b))、加速度(图4(c))和加速度功率谱密度(图4(e))结果中，滤波器切换后的LQR控制器各项性能幅值均有所减小。进一步通过图4(d)看出，上述效果的实现原因同样是增大了控制力，即滤波器切换后的LQR控制器相比滤波器切换前的LQR控制器权重系数发生了改变，控制力进一步增大，从而得到更好的控制效果。量化的加速度均方根值结果见表3。

(a) 加速度传递率(a) Acceleration transfer rate

(b) 振幅位移(b) Amplitude displacement

(c) 加速度幅值(c) Acceleration amplitude

(d) 控制力(d) Control force

(e) 加速度功率谱密度(e) Acceleration power spectral density图4 滤波器切换后的控制效果Fig.4 Effect of filter switching

表3 低频补偿控制下加速度均方根值对比Tab.3 Comparison of root mean square value of acceleration under the improved frequency domain weighted control with a new filter

3 结论

在频域加权 LQR控制器的基础上，对其常用滤波器进行了改进设计，提出了一种基于新型滤波器的频域加权 LQR控制器，该滤波器可根据振源频率切换滤波器类型，以达到提高低频振动控制效果的目的。在此基础上，通过数值仿真得出结论如下：

1)频域加权通过构造新的系统状态方程并调整权重系数从而改变控制器性能。频域加权得到一个增广系统，其状态变量的权重系数改变可以提高LQR控制器性能。

2)通过构造新的滤波器，增大了低频部分权重，进一步增大了控制力，进而提高了执行器下限响应频率之外的控制性能。