构造相关函数 破解一类抽象函数不等式问题

肖志军

(北京工业大学附属中学 100022)

在近几年高考和模拟考试中，常有一类抽象可导函数成为考试的热点，此类试题难度较大，学生往往感到无从下手.若能根据题目条件构造恰当的相关函数，根据条件得出所构造函数的性质，如奇偶性、增减性、周期性等基本性质，即可巧妙地破解此类抽象函数不等式问题，本文结合实例，谈谈构造哪些相关函数，如何构造相关函数.

一、构造和差函数

例2 设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(-x)+f(x)=x2，且x∈(0,+∞)时，f′(x)>x．若f(2-a)-f(a)≥2-2a，则实数a的取值范围为( ).

A．[1,+∞) B．(-∞,1]

C．(-∞,2] D．[2,+∞)

因为f(e)=-1，所以g(e)=f(e)+lne=0；所以当x∈(0,e)，g(x)<0，当x∈(e,+∞)，g(x)>0.

所以当x∈(e,+∞)，则不等式f(x)+lnx>0成立.

思路点拨构造函数g(x)=f(x)-ex，f(2)-f(1)>e2-e.

二、构造积函数

例7 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且满足f(x)+xf′(x)>0(f′(x)是f(x)的导函数)，则不等式(x-1)f(x2-1)

解析构造函数g(x)=xf(x)，其中x>0，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，所以函数y=g(x)在定义域(0,+∞)上为增函数.在不等式(x-1)f(x2-1)

故不等式(x-1)f(x2-1)

例8 设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)+xf′(x)>x2，则不等式(x+2020)2f(x+2020)-9f(-3)>0的解集是____.

解析将不等式(x+2020)2f(x+2020)-9f(-3)>0化为(x+2020)2f(x+2020)>(-3)2f(-3)，构造函数g(x)=x2f(x)，则上式化为g(x+2020)>g(-3).因为g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，由已知2f(x)+xf′(x)>x2，又x∈(-∞,0)，所以g′(x)<0，g(x)在(-∞,0)上是减函数，故x+2020<-3，x<-2023.

所以不等式的解集是(-∞,-2023)．

具有特征xf′(x)+f(x)时，可构造g(x)=xf(x)；具有特征xf′(x)+2f(x)时，可构造g(x)=x2f(x)；一般情况，具有特征xf′(x)+kf(x)时，可构造g(x)=xkf(x).

例9 已知奇函数f(x)和其导函数f′(x)的定义域均为R，当x∈(0,+∞)时，3f(x)+xf′(x)<0，则不等式(x-1)3f(x-1)-8x3f(2x)<0的解集为( ).

例10 已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(-1,0)中心对称，其导函数为f′(x)，当x<-1时，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0，则不等式xf(x-1)>f(0)的解集为( ).

A．(1,+∞) B．(-∞,-1)

C．(-1,1) D．(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析构造函数g(x)=(x+1)f(x)，则g′(x)=f(x)+(x+1)f′(x).

因为当x<-1时，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0，所以当x<-1时，f(x)+(x+1)f′(x)>0，则g(x)在(-∞,-1)上递增.因为函数f(x) 的定义域为R，其图象关于点(-1,0)中心对称，所以函数f(x-1)的图象关于点(0,0)中心对称，则函数f(x-1)是奇函数，令h(x)=g(x-1)=xf(x-1),所以h(x)是R上的偶函数，且在(-∞,0)递增，由偶函数的性质得：函数h(x)在(0,+∞)上递减.因为h(1)=f(0),所以不等式xf(x-1)>f(0)化为h(x)>h(1)，即|x|<1，解得-1

具有特征(x+1)f′(x)+f(x)时，可构造g(x)=(x+1)f(x).一般情况，具有特征(x+k)f′(x)+f(x)时，可构造g(x)=(x+k)f(x).

A．(-1,0)∪(1,2019) B．(-2019,-1)∪(1,2019)

C．(0,2019) D．(-1,1)

可知不等式的解集为(0,2019)，故选C．

例12已知定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(-2)=0，f′(x)为函数f(x)的导函数，当x<2时，有f(x)+f′(x)>0，则不等式x·f(x)>0的解集为( ).

A．(0,6) B．(-2,0)

C．(-∞,-2) D．(-∞,-2)∪(0,6)

解析构造函数g(x)=exf(x)(x<2)，则g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0，g(x)在(-∞,2)单调递增，且g(-2)=e-2f(-2)=0，当x∈(-∞,-2)时，g(x)<0;当x∈(-2,2)时，g(x)>0.又ex>0，当x∈(-∞,-2)时，f(x)<0;当x∈(-2,2)时，f(x)>0，又f(x)满足f(x)=f(4-x)，所以f(x)图象关于直线x=2对称，所以当x∈(-2,6)时，f(x)>0;当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，f(x)<0.

解得x∈(-∞,-2)∪(0,6)，故选D.

具有特征f′(x)+f(x)时，可构造g(x)=exf(x)；具有特征f′(x)+2f(x)时，可构造g(x)=e2xf(x).一般情况，具有特征f′(x)+kf(x)时，可构造g(x)=ekxf(x).

例13 定义在R上的函数f(x)满足e4(x+1)f(x+2)=f(-x)，且对任意的x≥1都有f′(x)+2f(x)>0(其中f′(x)为f(x)的导数)，则下列一定判断正确的是( ).

A．e2f(2)f(2)

C．e4f(4)f(-2)

思路点拨构造函数g(x)=e2xf(x)，选B．

三、构造商函数

所求不等式的解集为(1,+∞).

例15设f′(x)是偶函数f(x)(x≠0)的导函数，当x∈(0,+∞)时，xf′(x)-2f(x)>0，则不等式4f(x+2019)-(x+2019)2f(-2)<0的解集为( ).

A．(-∞,-2021)

B．(-2021，-2019)∪(-2019，-2017)

C．(-2021,-2017)

D．(-∞，-2019)∪(-2019，-2017)

例16 设f′(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数,f(-1)=0,当x<0时,xf′(x)-3f(x)>0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( ).

A．(-1,0)∪(0,1) B．(-∞,-1)∪(1,+∞)

C．(-1,0)∪(1,+∞) D．(-∞,-1)∪(0,1)

例17已知f(x)为R上的可导函数，且对任意的x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有( ).

A．e2020f(-2020)e2020f(0)

B．e2020f(-2020)

C．e2020f(-2020)>f(0)，f(2020)>e2020f(0)

D．e2020f(-2020)>f(0)，f(2020)

A．(-∞,1) B．(-∞,e) C．(1,+∞) D．(e,+∞)

四、构造混合型函数

例19 设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)+f′(x)>1，f(0)=2018，则不等式exf(x)>ex+2017(其中e为自然对数的底数)的解集为____.

解析构造函数g(x)=ex[f(x)-1]，则g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1].

因为f(x)+f′(x)>1，所以f(x)+f′(x)-1>0，即g′(x)>0，g(x)在R上单调递增.因为g(0)=f(0)-1=2018-1=2017，所以原不等式可化为g(x)>g(0).

由g(x)的单调性得x>0，所求解集为(0,+∞).

具有特征f(x)-1+f′(x)时，可构造g(x)=ex[f(x)-1]；具有特征2[f(x)-1]+f′(x)时，可构造g(x)=e2x[f(x)-1].一般情况，具有特征k[f(x)-1]+f′(x)时，可构造g(x)=ekx[f(x)-1]；具有特征k[f(x)-m]+f′(x)时，可构造g(x)=ekx[f(x)-m].

例20 已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f′(x)，若2f(x)+f′(x)≥2，且f(0)=8，则不等式f(x)-7e-2x>1的解集为( ).

A．(-∞,0) B．(0,+∞)

C．(-∞,-1)∪(0,+∞) D．(1,+∞)

解析构造函数g(x)=e2x[f(x)-1]，选B.

例21已知e为自然对数的底数，定义在R上的函数f(x)满足f′(x)-f(x)<2ex，其中f′(x)为f(x)的导函数，若f(2)=4e2，则f(x)>2xex的解集为( ).

A．(-∞,1) B．(-∞,2)

C．(1,+∞) D．(2,+∞)

所以f(x)>2xex的解集为(-∞,2).故选B.

例22已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意实数x均有(1-x)f(x)+xf′(x)>0成立，且y=f(x+1)-e是奇函数，不等式xf(x)-ex>0的解集是____.

例23 设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)-f′(x)<1，f(0)=2016，则不等式f(x)>2015·ex+1(其中e为自然对数的底数)的解集为( ).

A．(-∞,0)∪(0,+∞) B．(0,+∞)

C．(2015,+∞) D．(-∞,0)∪(2015,+∞)

构造函数是一种创造性的方法，它较好地体现了数学中函数与方程思想、转化与化归思想，渗透着猜想、实验、特殊化、探索等数学研究手段．同时，构造函数又是一种行之有效的方法，具有较大的灵活性和技巧性，根据要解决的问题，充分利用已知条件，灵活转化、恰当构造，有的放矢，从而使问题得以突破．