利用“主线”破解立体几何中的垂直问题

罗 红

(云南省蒙自市第一高级中学 661199)

立体几何在高考中是必考内容，垂直的证明与应用是考题中的热点，对于学生而言，都希望在高考中这道大题能得满分，但是有很大一部分学生不但不能得到满意的分数，还容易陷在此题中耗费过多时间，尤其是遇到证明线线垂直、线面垂直和面面垂直时，有的学生看似在证明，其实不得其法，思路混乱入不了门，完成不了证明.

在立体几何垂直的证明中，无论是线线垂直、线面垂直还是面面垂直，归根结底是要证明线面垂直，下面给大家介绍一种方法：“一主线，多垂直”.所谓“一主线”指的就是到底要用哪条线来证明它与另一个面垂直；“多垂直”指的是我们在图形中能找到的垂直，两者合二为一就能快速解决问题.

一、高中数学几何中常见的几种垂直

二、线面垂直

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

例1如图1，已知PA⊥BC,AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A,B的任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.

求证：AE⊥平面PBC.

分析要证AE⊥平面PBC，只需要证明AE垂直平面PBC中的两条相交直线即可，题目中已有一条AE⊥PC，另一条要去找垂直多的地方，观察图形，发现底面有一个直径所对的圆周角，左边还有题设给的垂直PA⊥BC没有用，整体“重心”在左方和下方，所以考虑应该找AE⊥BC.

证明因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC.

因为PA⊥BC，PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.

因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE.

因为AE⊥PC且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.

(1)证明：PO⊥ 平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.

分析第(1)问的证明题目中没有给现成的垂直，但是给了很多的线段长度，这种类型的题要注意数据，看有没有等腰三角形三线合一，有没有满足勾股定理的逆定理，从而得出直角.通过观察，我们发现PA=PC,O为AC的中点,所以有PO⊥AC,要证明PO⊥平面ABC，还差一条线,从图上看底面ABC中还剩下AB,BC，PO与AB,PO与BC是异面直线，显然不是这两条，所以我们要重新找一条能够和PO构成一个平面，又能充分利用已知数据，自然联想连接OB,容易证得OP2+OB2=PB2,从而得出PO⊥AB.

由OP2+OB2=PB2，知OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC，知PO⊥平面ABC.

三、线线垂直

如果一条直线垂直于一个平面, 那么这条直线与此平面内的任意一条直线都垂直.

例3(2017年全国Ⅲ卷文数19题)如图4，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

证明：AC⊥BD.

分析要证明线线垂直多用线面垂直，需要找出一条线和一个面，所以要区分到底哪条线是主线，哪条线要放在平面内，在做题之前可用不同颜色标明两条线.下面来看两条线谁的垂直会多一些，因为△ABC是正三角形，AD=CD，出现了等腰三角形和等边三角形，很自然地联想“三线合一”，所以取AC的中点O，连接DO,BO,这样就构成了一个平面，而且还有两个垂直,如图5，所以AC是主线，BD要放在平面内.

证明取AC的中点O，连接DO,BO.

因为AD=CD，

所以DO⊥AC.

又由于△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.

又DO∩BO=O,从而AC⊥平面BOD，故AC⊥BD.

例4(2020年全国Ⅲ卷文数)如图6，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1．

证明:当AB=BC时，EF⊥AC.

分析AC是长方体上底面的一条对角线，因为AB=BC,所以上底面是正方形，两条对角线互相垂直，显然AC和EF比较，AC能找到的垂直更多，所以AC是主线，要把EF放在一个平面内，至此，主线与平面已区分开来，只需构造平面即可.

证明如图7，连接BD，B1D1．因为AB=BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD．又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1．所以AC⊥平面BB1D1D．

由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC．

四、面面垂直

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

证明：平面AMD⊥平面BMC.

证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．

因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

例6(2020年全国Ⅱ卷文数)如图9，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M,N分别为BC,B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于点E，交AC于点F．

证明：AA1∥MN，且平面AA1MN⊥平面EB1C1F.

分析先将需要证明垂直的两个平面用不同颜色勾勒出来，再去看题目中的条件，很快能够发现B1C1的垂直最多，所以B1C1是主线.

证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点，

所以MN∥CC1．

又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．

因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．

又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面AA1MN．

又因为B1C1⊂平面EB1C1F，

所以平面AA1MN⊥平面EB1C1F．

例7(2017年全国Ⅰ卷文数)如图10，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

证明：平面PAB⊥平面PAD.

分析先将需要证明垂直的两个平面用不同颜色勾勒出来，我们发现有一条线是公共的，那么这条线一定不会是主线，剩下4条线有明显垂直的就是AB，所以AB是主线.

证明由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP,CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD.

从而AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

通过以上例题我们不难看出，立体几何中的垂直证明关键在于找到那条“主线”，而主线的寻找往往依赖于题目中的条件，主线一般会在垂直多的地方，大部分在底面、侧面里，很少是体的对角线(看上去是悬空的线)，证明面面垂直时，两个面的公共线不会是主线，所以找出题目中的信息很关键，哪里有垂直，哪里的垂直多，整个题目的条件偏向于哪里，哪里就是这道题的“重心”，我们只需要依着这样的规律，就能够快速地破解这类题，做题时思路就会很清晰，也就能够起到事半功倍的效果！